(整理)传输矩阵法

1、传输矩阵法 传输矩阵法概述 1.传输矩阵 在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。如图1(a)所示, 在(a)中若已知A点电压及电路电流，贝賊们只需要知道电阻 R,便可求出B点 电压。传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。 Eo Ei (b) 图1传输矩阵模型及电路模拟模型 如图1(b)所示，有这样的关系式存在：B=M(z)Ei。M(z)即为传输矩阵，它将介 质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将 A、B两点的电势联系起来的实质是 相似的。 图2多层周期性交替排列介质 传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质(如图 2所示)，M(z)反映 的介质前后空间电磁场之间的关系， 而其实质是

2、每层薄膜特征矩阵的乘积， 若用 M j表示第j层的特征矩阵，则有： (1) N M二M j = 其中, COS、j Vj sin COS j -：j为相位厚度，有、;j . NjdjCOSj k (3) 如公式（2）所示，Mj的表示为一个2X2的矩阵形式，其中每个矩阵元都 没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。 2传输矩阵法 在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义： 传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输 矩阵形式，变成本征值求解问题。 从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩 阵，也就是传输矩阵

3、法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧 邻层面上的电场和磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介 质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。 传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：求解矩 阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。 传输矩阵的基础理论 一一薄膜光学理论 1.麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组由四个场量： D E、B、H,两个源量：J、，以及反映它们 之间关系的方程组成。而且由媒质方程中的参数、匚反映介质对电磁场的 影响。方程组的实质是描述电磁场的传播， 即: 一个变化的磁场引起邻近区域的 电场变化，而此电场的变化又引起邻

4、近磁场的变化， 如此进行下去，便可抽象出 电磁场的传播。如图3所示。 H E H E H E H E 图3 将媒质方程带入麦克斯韦方程组, 电磁场传播的模拟图 并对方程组求解可得以下两个重要结论: c . 1) 二 V （4n - jk 式（4）中，N即为介质的光学导纳，单位为西门子。特别说明：光波段时, J约等于1, N数值上等于折射率。自由空间导纳 0 =0.00265 377 2) 2；：2E 2e =- 2 - 2+ C ： t 1 :2 2 : V护t 式（5）为电场的波动方程，与经典波导方程（ 常把光速c和电磁波在介质中速度之比定义为折射率, n = V（7） C，通 即得折射率公

5、式： 6）相比可得v 程如图4所示。 2.边界条件及反射折射 场均与入射面垂直，则它们的切向分量既是本身。根据边界条件可得: 1 电磁波在介质交界处满足切向分量连续的边界条件。垂直入射时，电场和磁 巳二和（卽 hhh-j 式（8）中，上标为+的代表入射波，-表示反射波。又由导纳定义式（4）可 得: H。二 N(k Eo) H o 二 N o ( - k (电0 H厂 N1(k E1) 将式(9)、( 10)代入(8) E； N。- N1 r 00- E N N1 中，整理可得反射系数定义式: R= r 为反射系数，R为反射率。 透射系数原理相同，在此不再推导 上面讨论的是垂直入射的情况，斜入射

6、时情况类似，只是用修正导纳0、1 代替（11）中的N。、Ni 其实，无论电磁波入射情况如何，电磁波只有两种情况：一种是电场E平行 入射面即丁皿波（P分量），此时电场的切向分量 Etg rEcosd （二为入射角）， 而磁场的切向分量是其本身，因此由（4）式可得: H=Htg=N(k Etg)=N(k E cost) (k E) (12) cosB 将（12）式与（4）式对比可得到P分量的修正导纳，同理可得 TE波（S 分量）的修正导纳: N (13) cos 可得一般情况下的反射、透射系数表达式: n - n 0 1 r n + n 0 1 介质的传光特性可以由反射、 t _2 o （14）

7、o1 透射系数所表征，而由以上讨论可知，这两个 参数与导纳紧紧联系。因此，求解介质的传光特性就可以转换为求解导纳问题， 这也是传输矩阵法所解决的核心问题之一。其实，传输矩阵法就是通过求得介质 的导纳，从而得到介质的反射透射系数。 3传输矩阵 这一部分将应用薄膜光学理论详细推导介质的传输矩阵，以及如何求得介质 导纳，根据第一部分传输矩阵的介绍可以知道，它其实是每层特征矩阵的乘积， 所以，这一部分的推导就从单层薄膜的特殊矩阵入手， 进而推广到整个介质空间 推导出介质的传输矩阵。 d1的单层薄膜过 F面就详细介绍单层薄膜的特殊矩阵。电磁波通过厚度为 0 Eo N2 E2 町。 图4电磁波通过单层薄膜

8、 E0 Ni N2 E2 图5单层薄膜等效为介质面的示意图 薄膜是存在一定厚度的，电磁波从 Eo透过薄膜变为E2的过程，与简单的穿 过介质面相比多了个Ei的中间变换，如果可以将 Eo和E2通过导纳直接联系起 来，那么薄膜就可以等效为一个介质面（如图 5所示），前面所介绍的反射透射 公式便可用。因此，我们第一步完成从薄膜到介质面的等效推导。 令薄膜导纳（介 质面1和介质面2的组合导纳）为丫，则可得到薄膜的透射反射系数： (15) 由式（15）可知，求得丫便可求得r、to 由导纳定义并对薄膜的第一介质面应用边界连续条件可得: H。二 Y(k Eo)(16) (17) E = E EE E o o

9、o 1111 + _ k Eo 二 kE1 kE11 Ho = Ho H= H11 H11 Ho 二 i(k Eii-k EG 图4中的E11、E1?表示刚刚穿过介质面一的瞬时状态。E12、EQ表示即将穿 过介质面二的瞬时状态。这两个瞬时状态的唯一不同只是因为薄膜厚度引入的相 位因子，即有: E12 =巳浄八1 E!2 = Nd 1 将式（18）代入式（17）中可得式（ N1d1 cos r 1 (18) 19），并将其转为矩阵形式 20): (22) (19) k Eo = (k 巳2疋 1 Ho = (k 巳2)1 k Eod1 _Ho 一 1* -1h1 _k (20) E1； 同理，薄

10、膜的第二介质面有如下关系式: E 巳2 E1； k E2 = k E12 k E12 (21) H 厂 H12H1； H厂 1(k E12-k EQ, AA H2 2 ! 2 k E12 =?(k E2) 11 k E12 (k E2) H2 2212 一1 1 1 k火 1 = 7 21 E21 (23) Ik汇 I1 1 I.H2 一 2 21 1 _! 式（20）、（23）分别表示介质面一、二两侧空间电磁场之间的联系，若将 式（23）代入式（20）中相乘，则所得到的结果就表示整个薄膜两侧空间电磁场 之间的联系，即： 1 1 1 k E0 11 eL1 1 2 21 k E2 1 II1

11、lu 丨 Ho 一 1e 1 _ e 1 1 1 lj1 h2 12 2 1 1 _! - cos 1 I i Sin, sin q k E2 1H2 COS J 2 (24) 从式（24）中得到了第一层的特征矩阵： -昌i M = cos 1sin 1 Mi1 _i pin r cos 1 (25) H 二 Y(k Eo) H2“2(l E2). (26) 考虑到导纳定义有如式（26）的关系，则可对式（24）进一步化简: (k Eo) y = - cos 1 I i 1si n sin n 1 cos1 为为膜系的特征方程，则有关系式: (28) (29) 2 - cos isin (29)

12、 从而由式（15）可求得单层薄膜的反射、透射系数 至此完成了第一步, 即从薄膜到介质面的等效推导 将将单层得到的结论推 广到整个介质空间可得: COS j sin j (30) _i j sin j cos j Njdj cos j (31) M(z) (32) (33) 丄 si n1 nI 1 In cos 1- 对比式（24）等号左边的形式，由导纳定义可得整个单层薄膜的组合导纳: (34) 2 0(35) 0 式（30）为介质第j层的特征矩阵，需要注意的是特征矩阵的行列式值为1。 由式（32）即可得到整个介质的传输矩阵。 至此，完成了多层介质传输矩阵的建模过程。 值得一提的是，在讨论单层

13、薄膜时，得到单层薄膜的反射率后，若对薄膜的 光学厚度H（H=nd，n为薄膜折射率，d为薄膜实际厚度）求导，可得如图6的结 果。从结果中我们可以看出，在厚度为时，反射率根据折射率的不同可达到最 4 大或最小值。 图6反射率与光学厚度的关系 三、 传输矩阵法的应用举例 传输矩阵法的典型应用是对多层周期性交替排列介质的分析，具有这样结构 的器件实例有：光子晶体、光栅、量子阱结构、DBR吉构器件等。 具体应用过程请参见文献传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性 四、小结 阵分析的计算方法。 (2) 传输矩阵：形式为每层特征矩阵的乘积。 (3) 典型应用：多层周期性交替排列介质。 (4) 解决问题：传光特性(R、T)、场强度(E、H)o 注意：(3)、( 4)共同决定传输矩阵法对所研究问题的适用性。 (5) 重要结论：导纳 N、折射率定义n,光波段下，导纳无意义，它就 是折射率。 (6) 传输矩阵的推导(薄膜光学理论)是繁琐的，但实际应用中可忽略推导， 直接应用结论式(30) ( 35)o (7) 用传输矩阵法求解问题过程： 1 )应用已有结论式(3