2019年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题(文科)(20190117)(含答案)

1、绝密启用前试卷类型：（a）深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）20192第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=x|-1x2，b=1,2,3，则aib=2设（a）1（b）2（c）1,2（d）1,2,3z=2-2i1+i，则|z|=3在（a）2（b）2（c）5（d）3平面-直角坐标系xoy中，设角a的顶点与原点o重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角a终边过点p(2,-1)，则sin(2a)的值为5（c）35（d）44设x，y满足（a）-45（b）-35件0y4，则z=3x+y的最大值为2x+y6约束条0x35已知

2、（a）7（b）9（c）13（d）15f(x)是定义在r上的偶函数，在区间(-,0为增函数，且f(3)=0，则不等式f(1-2x)0的解集为6如图（a）(-1,0)（b）(-1,2)（c）(0,2)（d）(2,+)所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为挖去一个棱（a）64（c）80（b）68（d）1097已知圆锥的母线长为5，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为4（b）16（a）25（c）25（d）32连接ac；（2）以c为圆心，bc为半径画弧，交ac于点d；（3）以a为圆心，以ad为半径画弧，8古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄

3、金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段ab=2，过点b作ab的垂线，并用圆规在垂线上截取bc=1ab=1，2c交ab于点e点e即为线段ab的黄金分割点若在线段ab上随机取一点f，则使得beafae的概率约为daeb（参考数据：52.236）第（8）题图9已知直线x=是函数f(x)=sin(2x+j)(|j|b0）的左，右焦点，过f的直线与椭圆交于p，q两点，若pqpf21且qf=2pf，则dpff与dqff的面积之比为11121212已知函数（a）2-3（b）2-1（c）2+1（d）2+3f(x)=若xx且f(x)=f(x)，则|x-x|的最大值为x

4、+1,x0,xlnx,x0,121212（a）1（b）2（c）2（d）22第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13曲线y=ex-1x在点(1，f(1)处的切线的斜率为14已知平面向量a,b满足|a|=2，|b|=4，|2a+b|=43，则a与b的夹角为15已知f，f是双曲线的两个焦点，以线段ff为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于a,b,c,d四个1212点，若这四个点与f1，f2两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为16在dabc中，abc=150，d是线段ac上的点

5、，dbc=30，若dabc的面积为3，当bd取到最大值时，ac=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）记sn为等差数列an的前n项和已知a1=4，公差d0，a4是a2与a8的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）求数列1sn前n项和为tn18（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标y有关，具体见下表质量指标y频数一年内所需维护次数9.4,9.8)829.8,10.2240(10.2,10.6161（1）以每个区间的中点值作为

6、每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标y都在9.8,10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19（本小题满分12分）已知四棱

7、锥p-abcd的底面abcd为平行四边形，pd=dc，adpc（1）求证：ac=ap；（2）若平面apd平面abcd，adc=120，ad=dc=4，求点b到平面pac的距离20（本小题满分12分）设抛物线c：y2=4x，直线l:x-my-2=0与c交于a，b两点（1）若ab=46，求直线l的方程；（2）点m为ab的中点，过点m作直线mn与y轴垂直，垂足为n，求证：以mn为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标21（本小题满分12分）已知函数f(x)=(ax+2)ex-x-2，其中a-2（1）当a=0时，求函数f(x)在-1,0上的最大值和最小值；（2）若函数f(x)为r上的单调函数，求实数a

8、的取值范围请考生在第22、23两题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为y=tsina,x=-2+tcosa,（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为r=2cosq，直线l与曲线c交于a，b两个不同的点（1）求曲线c的直角坐标方程；（2）若点p为直线l与x轴的交点，求1pa2+1pb2的取值范围（2）若不等式f(x)g(x)在-2,-上恒成立，求m的取值范围23（本小题满分10分）

9、选修45：不等式选讲设函数f(x)=x+1+x-2，g(x)=-x2+mx+1（1）当m=-4时，求不等式f(x)g(x)的解集；12深圳市2019年高三年级第一次调研考试文科数学试题参考答案及评分标准一选择题（1）c（2）b（3）a（7）c（8）a（9）c第卷（4）c（5）b（6）a（10）b（11）d（12）c2max，12【解析】不妨设xx，由f(x)=f(x)，要使|x-x|最大，即转化为求(x-x)2112121问题可转化为（如图所示）a(x1,y1)到y=x+1(x0时，f(x)=lnx+1，令f(x)=1，则x1=1，a(1,0)，x2=-1所以|x1-x2|的最大值为2二填空题

10、：13e+114601521627dabc=116【解析】由题意可知s1acsin150=ac=3，得ac=43设bd=x，则24sdbcd+sdabd=1343ax+cx=43，可得x=44a+3c，当且仅当a=3c时x取到最大值，所以a=23，（2）求数列1前n项和为tc=2，由余弦定理可得b=27三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）记sn为等差数列an的前n项和已知a1=4，公差d0，a4是a2与a8的等比中项（1）求数列an的通项公式；snn【解析】（1）a，a，a成等比数列，248a42=aa，28(a+3d)2=(a+d)(a+7d)，2分11

11、1(4+3d)2=(4+d)(4+7d)，解得d=4或d=0，d0，d=44分数列an的通项公式an=a1+(n-1)d=4n(nn*)6分（2）s=nn(a+a)1n2=2n2+2n，8分=(-)，10分11111s2n2+2n2nn+1nt=1sn111+.+ss2n(-)+(-)+l+(-)=(1-)12分=11111111121223nn+12n+1【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养18（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标y进行

12、检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标y有关，具体见下表质量指标y频数一年内所需维护次数9.4,9.8)829.8,10.2240(10.2,10.6161（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标y都在9.8,10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次将每件产品的购买支出和一

13、年的维护支出之和称为消费费用假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？【解析】（1）指标y的平均值=9.6132+10+10.410.072分666（2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标y在9.8,10.2内的有3件，记为a、a、a；指123内的有2件，记为b、b；指标y在标y在(10.2,10.69.4,9.8)内的有1件，记为12c3分(从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：(a,a)、a,a)、a,b)、121311(a,b)、a,c)、(

14、a,a)、a,b)、a,b)、a,c)、(a,b)、a,b)、a,c)、121232122231323(b,b)、b,c)、b,c)5分1212(其中，指标y都在9.8,10.2内的基本事件有3个：(a,a)、a,a)、a,a)1213236分所以由古典概型可知，2件产品的指标y都在9.8,10.2内的概率为p=31=1557分（3）不妨设每件产品的售价为x元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为h=1(48x+16300+8600)=x+200元；489分

15、假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48(x+100)元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8300=2400元，平均每件产品的消费费用x=14848(x+100)+8300=x+150元11分所以该服务值得消费者购买12分【命题意图】本题主要考查通过用样本估计总体（平均数）、古典概型、概率决策等知识点，重点体现数学运算、数据分析等数学核心素养19（本小题满分12分）已知四棱锥p-abcd的底面abcd为平行四边形，pd=dc，adpc（1）求证：ac=ap；（2）若平面apd平面abcd，adc=120，ad=dc=4，求点b到平面pac的距离【解析】（1）证明：取pc中

16、点m，连接am，dm，1分qpd=dc，且m为pc中点，dmpc，2分qadpc，adidm=d，3分pc平面adm，4分qam平面adm，pcam，5分qm为pc中点，ac=pa6分（2）过点p作ph垂直ad延长线于点h，连接ch，7分q平面apd平面abcd，平面apdi平面abcd=ad，ph平面apd，phad，ph平面abcd，8分qch平面abcd，phch，9分qpd=dc，ad=ad，ac=ap，dadpdadc，adc=adp=120，pd=cd=ad=4，ac=ap=43，ph=ch=23，pc=2610分设hb为点b到平面pac的距离，1由于vp-abc=vb-acp，可

17、得3sdabc1ph=s3dacph，bdabc=1s344=43，22sdacp1=2642=67，11分27所以h=47b即点b到平面pac的距离为47712分【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、面面垂直的性质、等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养20（本小题满分12分）设抛物线c：y2=4x，直线l:x-my-2=0与c交于a，b两点（1）若ab=46，求直线l的方程；（2）点m为ab的中点，过点m作直线mn与y轴垂直，垂足为n，求证：以mn为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标x=my+2,【解析】

18、（1）由y2=4x,消去x并整理，得y2-4my-8=0，1分显然d=16m2+320，设a(x,y)，b(x,y)，1122由韦达定理可得，y1+y2=4m，y1y2=-8，3分qab=m2+1y-y=m2+1(y+y)2-4yy，121212ab=4m2+1m2+2=46，4分m2=-4（舍去）或m2=1，m=1，直线方程为x-y-2=0或x+y-2=05分（2）设ab的中点m的坐标为(x,y)，则ymm又qx+x=m(y+y)+4=4m2+4，1212m=y+y12=2m，22x=x1+x2=2m2+2，m6分m(2m2+2,2m)，由题意可得n(0,2m)，7分设以mn为直径的圆经过点

19、p(x0,y0)uuuuruuur则pm=(2m2+2-x,2m-y)，pn=(-x,2m-y)，8分0000由题意可得，pmpn=0，即(4-2x)m2-4ym+x2+y2-2x=0，9分00000x+y2-2x=0，4-2x=0，0由题意可知4y0=0，200010分x=2，y=0，11分00定点(2,0)即为所求12分【命题意图】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、弦长公式、定点问题等知识，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养21（本小题满分12分）已知函数f(x)=(ax+2)ex-x-2，其中a-2（1）当a=0时，求函数f(x)在-1,0

20、上的最大值和最小值；（2）若函数f(x)为r上的单调函数，求实数a的取值范围【解析】（1）当a=0时，f(x)=2ex-x-2，f(x)=2ex-11分由f(x)0解得x-ln2，由f(x)0解得x-ln2故函数f(x)在区间-1,-ln2上单减，在区间-ln2,0上单增2分f(x)min=f(-ln2)=ln2-13分f(-1)=-10时，由g(x)0x-2+a，g(x)0x-2+a2=g-2-=-aea-10，此时函数f(x)存在异号零点，与题意不符6分（iii）当-2a0，可得x-2+a2，由g(x)-2+a2g(x)在-,-2-上单调递增，在-2-，上单调递减2aa+2=g-2-=-a

21、ea-17分故g(x)maxa-2-22由题意知，-ae-2-a-10恒成立8分令-2-2t=t，则上述不等式等价于et+1，其中t-19分a2t易证，当t0时，ett+1+1，2，又由（1）的结论知，当t(-10时，ett2+1成立11分由-1-2-20，解得-2a-1a综上，当-2a-1时，函数f(x)为r上的单调函数，且单调递减12分（2）法二：因为f(-1)=2-10，所以函数f(x)不可能在r上单调递增6分e所以，若函数f(x)为r上单调函数，则必是单调递减函数，即f(x)0恒成立由f(0)=a+10可得a-1，故f(x)0恒成立的必要条件为-2a-17分令g(x)=f(x)=(ax

22、+a+2)ex-1，则g(x)=(ax+2a+2)ex当-20，可得x-2+a2，由g(x)-2+a2，g(x)在-,-2-上单调递增，在-2-，上单调递减2aa+2=g-2-=-aea-19分故g(x)maxa-2-2令h(a)=-ae-2-a-1，下证：当-2a-1时，h(a)=-ae-2-a-1022-令-2-=t，其中t(-1,0，则-即证e-2-2a121t=+1aaa2则原式等价于证明：当t(-1,0时，ett2+111分由（1）的结论知，显然成立综上，当-20，故cos2a89，又cos2a1，cos2a,1，7分89设这个方程的两个实数根分别为t，t，则12t+t=6cosa，tt=8，8分1212t与t同号，12由参数t的几何意义可得：pa+pb=t+t=t+t=6cosa，papb=tt=8，1212121pa2+1pb2=(pa+pb)2-2papbpa2pb2qcos2a,1，(t+t)