从一道高等代数试题谈起

1、从一道高等代数试题谈起 杨忠鹏 晏瑜敏 林志兴 戴培培（莆田学院数学与应用数学系，莆田，福建，351100） 摘要 本文从2004年国家精品课-吉林大学的高等代数课程网站所提供的试卷中的一道关于矩阵的秩与的秩的和的试题的谈起。我们指出这道试题的答案不是唯一的，得到了矩阵的秩与的秩的和的上下界，给出了其上下界成立的充分必要条件，并把这些结果作了进一步的推广。 关键词：矩阵秩；上下界；可逆矩阵；等式条件；特征根；可对角化的矩阵。 我们总设为数域上的矩阵的秩（此时记），为单位矩阵（为的单位矩阵）。 矩阵运算下秩的性质是高等代数的基本教学内容之一，也是对学生测试的基本考点。因此这方面的讨论和研究是很有

2、意义的（见1）。作为国家级2004年的精品课-吉林大学高等代数课程网站，提供了近些年吉林大学的高等代数期末试卷（见2）。这对我们的课程建设是很有指导作用的。在2所提供的吉林大学的2003年的高等代数期末试卷中有一道填空题： （这里实际默认），2所给出的参考答案以“等于”，作为填空的正确结果。 我们将指出2所提供的参考答案一般是不成立，同时给出了矩阵秩的和的上、下界和使2的参考答案是正确的充分必要条件。下面关于矩阵运算下的秩的性质在1或通常的教科书（如3）中都可找到：， （1）， （2）， 。 （3）2所提供的答案一般是不成立的这个结论，可从下面的简单例子得到。当时，必有。命题1 设，则 。 （

3、4）证明 注意 和，从（1） ，即（4）成立。 命题2 设，则 . (5) 证明 从和（3）、（2），这说明（5）是正确的。 命题1和2表明对于2所设计的填空题来说，答案是不唯一的。对大多数学生来说得到不等式（4）和（5）是没有问题的。因为当时，这样应用命题1和2可得到的上、下界：命题3 设，则 。 （6）从下面的讨论可以得到：不等式串（5）的左面的“”应进一步精确化。 命题4 设，则。 （7） 证明 设，则 。 （8）注意到 ，（）（理由可见4，引理(1)），这样从初等变换不改变矩阵的秩的基本性质（或见4，定理）和（8）可得恒等式（7）。由于得到了恒等式（7），我们就很容易给出不等式（6）等

4、式成立的刻画。在下面的讨论中，我们采用5的关于矩阵的特征根的定义：把矩阵的特征多项式在复数域内的根叫做矩阵的特征根（见5，p294）,即总认为有个特征根。应用可对角化矩阵的特征根的性质，我们可进行更为深入的讨论。命题5 设，则1）当且仅当，2) 当且仅当所有特征根都是不等于的非零数。证明 由（7）知 当且仅当当且仅当，这就证明了1）。 如果设是的所有特征根，则是的所有特征根，且行列式，； （9）注意到；这样从（7）和 （9）得 当且仅当 当且仅当， 当且仅当，这表明2)的结论是正确的。 命题5的1）说明要使2提供的填空题的参考答案成立，还要加上相当严格的条件。 不等式（6）表明是介于和中的一个

5、正整数。 命题6 设是满足的给定的正整数，则存在使得。 （10） 证明 设 ，则非负整数满足；令， 是可逆的， （11）（11）中且对角矩阵满足都是不等于的非零数；（11）表明矩阵是可对角化的矩阵且知。 （12）从（11）中所设知是所有对角元素都是非零的对角矩阵，因此，再由（11） ，注意到此时；这样应用（12），可得（10）。 作为我们讨论结果的应用，可有 命题7 设且是可逆的，则 1）， （13） 2）当且仅当， 3）如果是满足的给定的正整数，则对给定的可逆矩阵来说，存在使得 。 证明 1）从，可令，这样应用（6） ，即（13）成立。 2）由1）的证明和应用命题5的1）的结论，可知当且仅当当且仅当当且仅当。 3）对给定的，由命题6存在矩阵满足，此时令，注意到，所以存在矩阵满足恒等式。参考文献1 叶彩儿，徐光辉. 关于矩阵秩命题的证明J，数学的实践与认识，35（2）（2005）:215-2192 吉林大学高等代数课程网站/software/gdds/algebra3/tiku/tiku.htm3 北京大学数学系. 高等代数（第三版）M，北京：高等教育出版社，20034 姜景莲. 矩阵秩的不等式的分块证明法J，南平