3[1].3直线的交点坐标与距离公式.doc

1、 3.3直线的交点坐标与距离公式 【知识要点】 1a两直线的交点： Ax B J G = 0 ,求解这个方程组。 A?x B2y C2 = 0 b.两点间距离公式： | RP2(X2XJ2(1)- yj2 2. a.点到直线的距离公式： 点 P(xo, yo)到直线Ax By=O (A,B不同时为0)的 距离 dAXo_Byo_c | JA2 + B2 b.平行线 间的距离：两条平 行线 1i : Ax by Ci = 0,12 ： Ax ByC2二0(G = C2),则两平行线间 的距离 IG 二 C21 d= .A2 B2 3. 对称问题：a.已知点关于点的对称点：P(x, y )关于点Q

2、(Xo, yo)的对称点为 (2x- x； 2y- y ) 22 b. 点关于直线的对称点：设 P(x。, y。)，I :AxByO(ABO),若P关 于丨的对称点的坐标Q为(x, y),则Q的坐标 A、w A.U B U C=0 12 2 22 c. 直线关于点的对称直线：设 I的方程为：Ax By A0 (A B - 0)和点 P(x ,y。),则I关于点P的对称直线为：AxBy、C、0 d. 直线关于直线的对称的直线：求直线a关于直线I的对称直线b,由平面几何知，若直线 a, b关于直线I对称，它有以下性质：若点A在直线a上，那么点A关于直 线丨的对称点 B定在直线b上，这是AB_I,且

3、AB屮点D在丨上 4. 对称问题的应用(求最大值和最小值) 【知识应用】 1.方法：a.求两直线交点坐标，就是求解方程组，若方程组无解，则两直线平行；若方 程组有无穷个解，则两直线重合；当有交点时，方程组的解就是交点坐标。两 直线相交的条件是AB2 A2B! = 0或二旦 A2 B2 b. 般已知两点坐标，利用公式求出两点的距离 1 【J】例1已知直线Akx 2k 1与直线y x2的交点位于第一彖限，求实 2 数k的取值范围 L例2求经过直线h :3x - 2y -1 =0和5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3： 3x5y 6 = 0的直线I的方程。 C例3求两直线3x+y-仁0和x+2

4、y-7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程 2方法：先求出点的坐标，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再 利用公式求距离；若P点在直线上，点P到直线距离为0,距离公式仍然适用。 求平行线间的距离时，也要注意把直线方程化为一般形式，并且要使x, y的系数 相等。 J例1直线丨经过点P ( 2, -5),且与点A ( 3, -2)和点B (-1,6)的距离之比为 1:2,求直线I的方程 【L】例2直线h过点A( 0,1) , b过点(5,0),如果I1/I2,且h与I2的距离为5, 求h、b的方程 【C】例3已知点P ( 2, -1) ( 1)求过P点且与原点距离为 2的直线I

5、的方程 (2) 求过P点且与原点距离最大的直线I的方程，最大距离是多少 3. 方法：在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这类 问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对 称点为端点的线段的中点在对称轴上。 b点关于直线的对称点：设所求点P (x,y)，那么P与P的中点在直线I上，且 直线PP垂直于直线I,可列岀方程组，解出方程组，即可求出P坐标 c. 求直线关于点的对称直线的方法是：首先所求直线与已知直线平行得到斜率相 等，然后可以用斜截式列出方程，化成一般式，根据距离公式，有点到两条直线 距离相等列出等式，可以求出b,那么所求直线也求出来了

6、。 d. 求直线关于直线对称的直线：有两种解法：(1)设两个对称点 P (Xi, yj, F2 (X2, y2)分别是对称直线h、I2上的点，由于两点的中点在直线I上，且 直线RP2垂直于I，可列出方程组，可得到R (Xi, yi),将P (Xi,yJ代入直线h,得到 直线b的方程。(2)先在直线h上取一点，设对称点为未知量，然后通过 点关于直线对称来处理可求的对称点的坐标，又对称直线P与I的交点也在丘上， 所以直线P2上的两点求出，再根据两点公式求得P2方程 【J】例1已知直线I :八3x3,求 (1) 点P (4,5)关于I的对称点坐标 (2) 直线y = x2关于I的对称直线的方程 (3

7、) 直线I关于点A ( 3,2)的对称直线的方程 L例2已知直线丨:2x3y+i=0,点A (-i, -2),求 (1) 点A关于直线I的对称点A的坐标 (2) 直线m： 3x-2y-6=0关于直线I的对称直线m的方程 C例3已知直线I :3x3,求： (1)直线丨关于点M (3,2)对称的直线的方程 (2)直线x-y-2=0关于I对称的直线的方程 4. 方法：a.在直线I上求一点P使|PA| + |PB|取得最小值时，若点A、B位于直线I的同侧，则作点A (或点B)关于I的对称点/4 (或点B连接(或AB)交I于点P,则点P即为所求。若点A、B位于直线丨的异侧， 直接连接AB交|于P点，则点

8、P即为所求。可简记“同侧对称异侧连”。即两点位于直线的 同侧时，作 其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可。b.在直线I上求一点P 使|PA|PB|取得最大值时，方法与a恰好相反，即“异侧对称同侧连”。 【J、L例1( 1 )已知两点A ( 3,-3) , B ( 5,1),直线I ： y = X,在直线I上求 一点 P,使 |PA|+|PB|最小。(2)求一点 P,使 |PA|-|PB| 最大 【C】例2已知直线I：2Xy+1=0和点0( 0,0)、M ( 0,3)，试在I上找一点P, 使得|PO|-|PM|的值最大，并求出这个最大值 总结： (1 )掌握用代数的方法求出

9、两条直线的交点坐标 (2) 会求平面内两点间的距离，会利用公式求点到直线的距离的方法，并能用转 化法求两 平行线间的距离 (3) 在对称问题中，最基本也是最重要的对称就是点关于直线的对称，直线关于 直线可以 转化为点关于直线的对称，重点把握它的屮心思想，即两对称点的屮点在对称直线上，两对 称点组成的直线与对称直线垂直，从而列出方程组求解。 练习题： (1 )已知直线I经过点P ( 3,2)且被两平行直线li : x+y+仁0和b : x+y+6=0截得 的线段长为5,求直线I的方程？ (2)已知直线 I : 2x-3y+1=0，点 A ( -1, -2 )，求： a. 点A关于直线I的对称点A的坐标 b. 直线m： 3x-2y-6=0关于直线I的对称直线m的方程 c. 直线I关于点A (-1,2)对称的直线的方程