插补原理 数控机床装置的插补原理

1、第三章数控机床装置的插补原理 插补是协调各坐标的移动使其合成的轨 迹近似 于理想轨迹的方法，它是协调各坐标运动的方 法。 第一节第一节 概述概述 数控机床最突出的优点是：可以根据编程， 加工出较为复杂的曲线，比如圆、抛物线 等，为什么数控机床能加工出这些曲线？ 怎样把单个的坐标运动组合成理想曲线呢？ 这就是插补所解决的问题！插补是一种运 算程序，经过运算，判断出每一步应进哪 一个坐标，进多少，本章将介绍插补的原 理、方法、种类、实质等问题。 插补要解决的问题 让单独的坐标分别运动合成理想的轨迹； 几个坐标同时进，还是每次进一个； 判断进给那一个坐标使下一步误差更小； 进多少； 如果同时进给，各

2、个坐标进给的比例是多少； 选用什么样的实际轨迹合成后与理想轨迹误差最 小。 二、插补的实质 曲线方程y=f（x）本身就代表坐标量之间的制约， 函数关于表示x与y一一对应，对于曲线上的某一点的 邻域 ，其坐标增量关系也是确定的，即给x1一个增量 x存在一个y使y1+y=f（x1+x）这是x与 y之间有一种制约，那就是由x找到一个y使 f（x1+x）等于或接近于y1+y，插补就是这种寻 找x与y之间制约的方法。数学是通过函数关系算 出来的。插补不一定是计算算出来，由于增量有一定 的限制，比如规定了一个最小进给单位，比这更小的 量进给起来就困难，所以插补有它独特的处理方法 插补：是坐标运动协调的方法

3、，使几个独 立的坐标运动，组合成一条曲线运动。这 种组合方法，一是由坐标的简单运动组合， 一是由分段协调成的简单曲线如直线和圆 弧来近似组合成复杂曲线。 插补:是让刀具沿规定轨迹的运动. 插补方法的分类 数控技术中按插补算法可归纳为两类： 一类称“一次插补法”，基特点是每插补运算一 次，最多给每一轴进给一个脉冲，常用的有逐点 比较法和数字积分法。这类算法，进给速度受到 限制，过去的硬件数控系统常采用。 另一类称“二次插补法”，它次插补功能分为粗 插补和精插补两部分完成。常用的有时间分割法 和扩展数字积分器法，这类算法在每个插补运算 周期里输出的不是单个脉冲，而是线段。因而能 显著提高进给速度，

4、在cnc系统中得广泛采用. 插补方法的分类 （一）基准脉冲插补 1数字脉冲乘法器插补法 2逐点比较法 3数字积分法 4矢量判别法 5比较积分法 6最小差分法 7目标点跟踪法 8单步追踪法 9直接函数法 10加密判别和双判别插补法 （二）数据采样插补 1直线函数法 2扩展数字积分法 3二阶递归扩展数字积分插补法 4双数字积分插补法 5角度逼近圆弧插补法 6“改进吐斯丁”（improved tustin method -itm）法 一、数字脉冲乘法器 作为基准脉冲插补法的一种，数字脉冲乘 法器的基本思想也是每次进给x和y基 本位移，是以斜率为k=y/x的小直线 段来逼近理想轨迹的。 对于直线可选择

5、k=y/x为理想直线的 斜率，这样误差很小，对于其它曲线k是随 时变化的，其逼近如下图： 选切线代替曲线 x y o 数字脉冲乘法器 x和y的大小由每次输出的脉冲个数决定，而脉 冲个数由输入的数决定，x、y的比例也由这 两个数决定。 1组成：脉冲乘法器由分频器，寄存器，控 制门，脉冲源组成。 2原理：这只是x的进给控制图，二进制数 输入中间寄存器（x），待放数信号来以后，数 进入工作寄存器，同时改变工作寄存器的输出。 这个输出作为开门信号接入控制与门a1，可以让 与门a1打开使脉冲输出。a1的一个端表示一定频 率的脉冲，另一个端表示开启时间，在这个频率 下，开启时间越长，跑过去的脉冲个数越多。

6、 3原理框图如下：工作寄存器中间寄存器 二进制数与门a1脉冲串脉冲脉冲a1开门信 号二进制数脉冲总数对应脉冲 二进制数脉冲总数 对应 工作寄存器中间寄存器 二进制数 与门a1 脉冲串 脉冲 脉冲 a1 开门信号 脉冲 其它几个门a2，a3a11同样是这样。 a1，a2a组成二进制数。 比如10010001，1代表开门，让不同频率 的脉冲通过，脉冲总个数为： saaaaax sas n n n s n sss aaa 22 3 2 221 22 2 . ).( 32 2 21 y x n n v v b a bbb sbsy .).( 22 2 2 21 k y x v v sb sa y x

7、第三节第三节 逐点比较法逐点比较法 人们在生活中，经常遇到这样的问题：几种事，做那 件事好？在做事之前人们常这样想：先看一个做每一件的 事的利益，然后比较这些利益的大小，然后选择利益最大， 与理想误差最小的事或者说要做与理想最靠近的事，这是 找出可以走的路的方法。下面有类似的情况： 数控机床的进给运动，如果每次只在一个坐标方向进 给一小步，怎样进给误差最小？ 如果先计算一下:进每一个坐标后到下一个位置与理想 位置的误差，然后，比较这个误差，选择一个误差小的方 向进给，这样就有利于减小误差。 以上就是逐点比较法的基本思想，逐点比较法，做两件事： 用最简捷的方式计算每个单坐标进给后的位置误差。 比

8、较误差，判定进给坐标。 逐点比较法，就是分别计算各坐标进给后可能出现的 误差，然后选出误差最小的坐标进给的方法。 它的关键是找出容易计算的误差函数，然后再比较误差， 通常，只推导了直线和圆弧的误差判别式，因为这种曲线 用得多，如果我们能建立一种更为普遍的方法，我们就能 推导任意曲线的判别式。 步骤： 列出数学公式y=f(x) 构造误差函数f=y-f(x) 数据分析处理，使下一步的点靠近曲线。 首先，介绍判别式的通用算法。 如果存在一个函数f（x，y）=0，那么，可以设f（x，y）为 误差函数，如果f（x，y）0，那么在曲线上方，f（x，y）0 在曲线下方。 ),( 1 ),( 1 1)1,(

9、1 11, 1 1 jiji jj jiji ii yxff yy yxff xx 由函数式可以推出更简化的递推式，使计算更简便，从以 上算出误差值的大小，下一步就是比较这两个误差的大小， 从而判定出取x=xi+1更好，还是取y=yj+1更好，然后再 进给，下面介绍几条常用曲线的推导。 一、指数曲线： 误差函数：令 对于任意点（x，y）， f（x，y）0，点在曲线上方； f（x，y）=0，点在曲线上； f（x，y）0 动点在圆弧外 f=0 动点在圆弧上 f0 动点在圆弧外 f=0 动点在圆弧上 f0 时， 动点在曲线上方 f=0 时， 动点在曲线上 f0 时， 动点在曲线下方 y x 0 2

10、2pxy 2 2pxy 2 2 2 02 pxyf pxy 同样，我们将f0与f=0结合起来考虑 当f0时，向-x方向走一步， 当f0时，向+y方向走一步。 设已知动点 的f值为 ,则 动点在-x方向走一步后: ),( ii yx ji f , 2 , 2 ijji pxyf 1 1 ) 1(2 2 , 1 nn xx xpyf i ijji 在+y方向走一步后: 1 1 12) 1( , 2 1, nn yy fpxyf i jiijji pxy2 2 以下是抛物线的basic模拟程序，可供演示，以便研 究插补原理。 screen1：cls x=200：y=70 p=10：f= while

11、x0 if f0 then f=f+2p：x=x-1： y1=100+y pset（x，y1） else f=f-2y+1：y=y-1：y1=100+y pset（x，y1） end if wend while x200 if f0 then f=f-2p：x=x+1：y1=100+y pset（x，y1） else f=f-2y+1：y=y-1：y1=100+y pset（x，y1） end if wend end 五 对数函数 设函数： 建立误差判别函数 当 f0 时， 动点在曲线上方 当 f=0 时， 动点在曲线上 当 f0 时， 动点在曲线下方 同样，当f0时，向+x方向走一步 当f0

12、时，向+y方向走一步 设已知动点（x，y）的f值为: xly n xlyf n injji xlyf , +x方向走一步后 +y方向走一步后 1, 1 ) 1( i i x x njiinjji lfxlyf 1 ) 1( , 1, ji injji f xlyf 举例2：逐点比较法 圆弧 例2 圆弧插补。设ab为第一象限逆圆弧，起点为a （xa=6，ya=0），终点为b（xb=0，yb=6）， 用逐点比较法加工ab（图3.2.10） 解终点判别值 n=（6-0）+（6-0）=12 开始加工时，刀具从a(6,0)点开始， 即在圆弧上， f（0，0）=0，加工运算过程 如表3-2。 （二）象限处

13、理 1.直线插补的象限处理 6 20 123456 y x b a 图3.2.10 圆弦插补轨迹 （二）象限处理 1.直线插补的象限处理 原来研究的直线插补运算公式,只适用于第一 象限的直线，若不采取措施不能适用其它 象限的直线.第一象限的圆弦插补轨迹插补 也不能适用其它象限的直线。 对于第二象限，只要取|x|代替x即可，至于 输出驱动，应使x轴步进马达反向旋转， 而y轴步进马达仍为正向旋转。 同理第三、四象限的直线也可以变换到第一象限。 插补运算时，取代|x|和|y|代替x、y。输出驱动原 则是：在第三象限，点在直线上方，向-y方向步 进；点在直线下方，向-x方向步进。在第四象限， 点在直线

14、上方，向-y方向步进；点在直线下方， 向+x方向步进。四个象限各轴插补运动方向如图 形3.2.11所示。由图中看出，f0时，都是在x方 向步进，不管+x向还是-x向，|x|增大。走+x或- x可由象限标志控制，一、四象限走+x，二、三 象限走-x。同样，f小于0时，总是走y方向，不 论-y向或+y向、|y|增大。走+y或-y，由象限标 志控制，一、二象限走+y，三、四象限走-y。 附：几种曲线轨迹的计算模拟程序附：几种曲线轨迹的计算模拟程序 一，数字积分法（dda法）： 1。直线程序： screen1：cls a=0：i=120 b=0：j=41 x=0：y=0：m=128 for n=1 t

15、o m a=a+i：b=b+j if am then a=a-m：x=x+1 if bm then b=b-m：y=y+1 x1=100+x：y1=100-y pset（x1，y1） next n end 2，圆弧程序 screen1：cls x=110：y=0 a=0：b=0 m+128：n=110 while n0 a=a+y：b=b+x if am then a=a-m：x=x-1：n=n-1 if bm then b=b-m：y=y+1 x1=100+x：y1=150-y pset（x1，y1） wend end 数字积分法（dda法） 从数字积分的角度看，一个变量可以看着 它本身的一

16、些微量的累加。如： 如果把xi近似看作是按一定速率的增量， 即xi=vit，那么 0i i xx 0 0 00 0 )( )( t j j tti i i dtutuy dtvdvtvx 只要v(t)、u（t）表达式能写出，就能求出 x，y，而且可以控制x与y的增量 比。 dda法是脉冲增量插补法的一种，也是靠 控制增量间的关系来控制轨迹的，但是， 有它的特点，dda法的特点是：用控制增 量速率来控制增量间的关系。 由于以上特点：dda法运算简单，运算速 度快，脉冲分配均匀，易于实现多坐标联 动，其关键点是速度调节，这对调速提出 了苛克的要求，假设速度函数为v（t）， 用什么方法来控制速度严格按函数变化呢， 现在的实际情况有一定困难。速度调节不 方便，须采用一定的措施来克服。但是， 如果能严格控制速度的变化，可实现无误 差插补，比如对于直线只要控制vx（t）与 vy（t）为设定的常数那么合成的直线就为理 想直线。 1已知函数曲线方程为f（x，y）=0 则： 即： 得