数控技术-数控插补原理

1、1 第三章 数控插补原理 3.1 概述 3.2 逐点比较法 3.3 数字积分法 3.4 数据采样插补 3.5 其他插补方法简介 2 3.1 概述 3.1.1 插补的基本概念 数控设备中，刀具的移动轨迹是折线，因此刀具不 能严格沿着要求的曲线运动，只能用折线轨迹逼近所 要求的运动轨迹曲线。数控系统根据一定方法确定刀 具实时运动轨迹的过程称为插补。 数控系统中完成插补工作的装置称为插补器，可以 分为硬件插补器和软件插补器两类。 3 3.1 概述 3.1.2 插补方法的分类 从产生的数学模型来分，有一次插补器，二次插补器， 高次曲线插补器等。也可以从插补器的基本原理来分类。 从插补的计算方法来分，可

2、以主要分为两类： 脉冲增量插补 数据采样插补 4 脉冲增量插补脉冲增量插补 脉冲增量插补又称为基准脉冲插补或行程标量插补，这类脉冲增量插补又称为基准脉冲插补或行程标量插补，这类 插补算法是以脉冲形式输出，每插补运算一次，最多给每一轴插补算法是以脉冲形式输出，每插补运算一次，最多给每一轴 一个进给脉冲。把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系一个进给脉冲。把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系 统，以驱动工作台运动，每发出一个脉冲，工作台移动一个基统，以驱动工作台运动，每发出一个脉冲，工作台移动一个基 本长度单位，即脉冲当量，脉冲当量是脉冲分配的基本单位。本长度单位，即脉冲当量，脉冲当量是脉冲

3、分配的基本单位。 这种插补算法的特点是每次插补结束，数控装置向每个运这种插补算法的特点是每次插补结束，数控装置向每个运 动坐标输出基准脉冲序列，每个脉冲插补的实现方法较简单动坐标输出基准脉冲序列，每个脉冲插补的实现方法较简单 （只有加法和移位）可以用硬件实现。目前，随着计算机技术（只有加法和移位）可以用硬件实现。目前，随着计算机技术 的迅猛发展，多采用软件完成这类算法。脉冲的累积值代表运的迅猛发展，多采用软件完成这类算法。脉冲的累积值代表运 动轴的位置，脉冲产生的速度与运动轴的速度成比例。由于脉动轴的位置，脉冲产生的速度与运动轴的速度成比例。由于脉 冲增量插补的转轴的最大速度受插补算法执行时间

4、限制，所以冲增量插补的转轴的最大速度受插补算法执行时间限制，所以 它仅适用于一些中等精度和中等速度要求的经济型计算机数控它仅适用于一些中等精度和中等速度要求的经济型计算机数控 系统。系统。 5 基准脉冲插补方法有以下几种： 1、数字脉冲乘法器插补法； 2、逐点比较法； 3、数字积分法； 4、矢量判别法； 5、比较积分法； 6、最小偏差法； 7、目标点跟踪法； 8、直接函数法； 9、单步跟踪法； 10、加密判别和双判别插补法； 11、bresenham算法 6 早期常用的脉冲增量式插补算法有逐点比较法、早期常用的脉冲增量式插补算法有逐点比较法、 单步跟踪法、单步跟踪法、ddadda法等。插补精度

5、常为一个脉冲当量，法等。插补精度常为一个脉冲当量， ddadda法还伴有运算误差。法还伴有运算误差。 8080年代后期插补算法有改进逐点比较法、直接函数年代后期插补算法有改进逐点比较法、直接函数 法、最小偏差法等，使插补精度提高到半个脉冲当量，法、最小偏差法等，使插补精度提高到半个脉冲当量， 但执行速度不很理想，在插补精度和运动速度均高的但执行速度不很理想，在插补精度和运动速度均高的 cnccnc系统中应用不广。近年来的插补算法有改进的最系统中应用不广。近年来的插补算法有改进的最 小偏差法，映射法。兼有插补精度高和插补速度快的小偏差法，映射法。兼有插补精度高和插补速度快的 特点。特点。 总的说

6、来，最小偏差法插补精度较高，且有利于电总的说来，最小偏差法插补精度较高，且有利于电 机的连续运动。机的连续运动。 7 数据采样插补数据采样插补 数据采样插补又称为时间分割插补或数字增量插补，这数据采样插补又称为时间分割插补或数字增量插补，这 类算法插补结果输出的不是脉冲，而是标准二进制数。根据程类算法插补结果输出的不是脉冲，而是标准二进制数。根据程 编进给速度，把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微小的编进给速度，把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微小的 直线段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数据进行输出，直线段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数据进行输出， 以控制伺服系统实现坐标轴

7、的进给。以控制伺服系统实现坐标轴的进给。 插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项工作，插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项工作， 为了提高计算速度，缩短计算时间，按以下三种结构方式进行为了提高计算速度，缩短计算时间，按以下三种结构方式进行 改进。改进。 1. 1. 采用软采用软/ /硬件结合的两级插补方案。硬件结合的两级插补方案。 2.2.采用多采用多cpucpu的分布式处理方案。的分布式处理方案。 3. 3. 采用单台高性能微型计算机方案。采用单台高性能微型计算机方案。 8 数据采样插补方法很多，常用方法如下：数据采样插补方法很多，常用方法如下： 1 1、直接函数法；、直接函数法；

8、 2 2、扩展数字积分法；、扩展数字积分法； 3 3、二阶递归扩展数字积分圆弧插补法；、二阶递归扩展数字积分圆弧插补法； 4 4、圆弧双数字积分插补法；、圆弧双数字积分插补法； 5 5、角度逼近圆弧插补法；、角度逼近圆弧插补法； 6 6、“改进吐斯丁改进吐斯丁”（improved tustin methodimproved tustin method，itmitm）法。）法。 近年来，众多学者又研究了更多的插补类型及改进方法。改进近年来，众多学者又研究了更多的插补类型及改进方法。改进 ddadda圆弧插补算法，空间圆弧的插补时间分割法，抛物线的时间圆弧插补算法，空间圆弧的插补时间分割法，抛物线

9、的时间 分割插补方法，椭圆弧插补法，分割插补方法，椭圆弧插补法，bezierbezier、b b样条等参数曲线的插样条等参数曲线的插 补方法，任意空间参数曲线的插补方法。补方法，任意空间参数曲线的插补方法。 9 3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法 3.2.1 3.2.1 概述概述 逐点比较法又称代数演算法，是经济型数控系统应用逐点比较法又称代数演算法，是经济型数控系统应用 较多的一种插补算法。较多的一种插补算法。所谓逐点比较法，就是每走一步都所谓逐点比较法，就是每走一步都 要和给定轨迹比较一次，根据比较结果来决定下一步的进要和给定轨迹比较一次，根据比较结果来决定下一步的进 给方向，使刀具向减

10、小偏差的方向并趋向终点移动，刀具给方向，使刀具向减小偏差的方向并趋向终点移动，刀具 所走的轨迹应该和给定轨迹非常相所走的轨迹应该和给定轨迹非常相“象象”，并且最大偏差，并且最大偏差 不超过一个脉冲当量。不超过一个脉冲当量。 10 逐点比较法的四个工作节拍：逐点比较法的四个工作节拍： （1 1）偏差判别：）偏差判别：判别加工点对规定几何轨迹的偏离位置；判别加工点对规定几何轨迹的偏离位置； （2 2）进给控制：）进给控制：根据判别结果控制某坐标工作台进给一根据判别结果控制某坐标工作台进给一 步；步； （3 3）偏差计算：）偏差计算：计算新的加工点对规定轨迹的偏差；计算新的加工点对规定轨迹的偏差；

11、（4 4）终点判别：）终点判别：判别是否到达规定轨迹的终点，到达则停判别是否到达规定轨迹的终点，到达则停 止插补，否则返回第一步。止插补，否则返回第一步。 11 3.2.2逐点比较法第一象限的直线插补计算方法逐点比较法第一象限的直线插补计算方法 1 1 偏差判别：偏差判别： f fi i=y=yi ix xe e-x-xi iy ye e （f fi i为偏差函数）为偏差函数） f fi i=0=0，插补点，插补点p p1 1在直线上；在直线上； （见图（见图3-13-1） f fi i00，插补点，插补点p p2 2在直线上方；在直线上方； f fi i0=0=0，向，向x x正向进给一步；

12、正向进给一步； f fi i0, 0, 向向y y正向进给一步；正向进给一步； 3 3 偏差计算：偏差计算： 若向若向x x正向进给一步，则：正向进给一步，则：f fi+1i+1=y=yi ix xe e-(x-(xi i+1)y+1)ye e=f=fi i-y-ye e 若向若向y y正向进给一步，则：正向进给一步，则：f fi+1i+1= =（y yi i+1+1）xe-xxe-xi iy ye e=f=fi i+x+xe e 4 4 终点判别：终点判别： n=|xn=|xe e-x-xs s|+|y|+|ye e-x-xs s| | 12 p1 p2 p3 x y 图31 插补点与直线的

13、位置关系 （xe，ye） 13 例：脉冲当量为例：脉冲当量为1，起点（，起点（0，0），终点（），终点（5，3） 序号序号偏差判别偏差判别进给控制进给控制偏差计算偏差计算终点判别终点判别 1f0=0 +x f1=f0-ye=0-3=-3n=8-1=7 2f10+xf3=f2-ye=2-3=-15 4f30+xf5=f4-ye=4-3=13 6f50+xf6=f5-ye=1-3=-22 7f60+xf8=f-ye=3-3=00 y x (5,3)(5,3) o 14 例3-1 加工第一象限直线oe，如图3-5所示，起点为坐 标原点，终点坐标为e（4，3）。试用逐点比较法对 该段直线进行插补，并画

14、出插补轨迹。 图3-2 直线插补轨迹过程实例 y x 2 e(4,3) o 1 3 4 1 2 3 15 表3-1 直线插补运算过程 序号 偏差判别 坐标进给 偏差计算 终点判别 起点 0 0 =f =7 1 f0=0 +x 3 01 -=-= e yff =6 2 f10 +x 2 23 -=-= e yff =4 4 f30 +x 1 45 -=-= e yff =2 6 f50 +x 0 67 =-= e yff =0 16 y x l1 f0 l2 l3 f0 f0f0 l4 f0 f0 f0 f0 当当p p点在圆弧内侧时，则点在圆弧内侧时，则opop小于圆弧半径小于圆弧半径r r，

15、即，即 xi2yi2r200，插补点，插补点p2p2在圆弧上方（在圆弧上方（upup）；）； fifi=0=0，插补点，插补点p3p3在圆弧下方（在圆弧下方（downdown）；）； 2 2 进给控制：进给控制： 当当fifi 0 0时，向时，向x x负向进给一步；负向进给一步； 当当fifi 0 0时，向时，向y y正向进给一步；正向进给一步； 3 3 新偏差计算：新偏差计算： 如果向如果向y y正向进给一步，则正向进给一步，则 f fi i 1 1= =（ （x xi i 1 1） ）2 2 （y yi i 1 1） ）2 2r r2 2 =x =xi i2 2 （ （y yi i1 1）

16、2 2 r r2 2fifi2yi2yi1 1 同理，如果向同理，如果向x x负向进给一步，则负向进给一步，则 f fi i 1 1= =（ （x xi i 1 1） ）2 2 （y yi i 1 1） ）2 2r r2 2 = =（x xi i-1-1）2 2 y yi i2 2 r r2 2fi-2xifi-2xi1 1 4 4 终点判别：终点判别： n n=|xe-xsxe-xs|+|ye-ysye-ys| 四个工作节拍四个工作节拍 19 图图3-4 3-4 第一象限逆圆弧插补第一象限逆圆弧插补 p p 20 例例3-2 3-2 设第一象限有一逆圆弧设第一象限有一逆圆弧abab，起点，起

17、点a a的坐标（的坐标（6 6，0 0），）， 终点终点b b的坐标（的坐标（0 0，6 6）。试用逐点比较法插补。）。试用逐点比较法插补。 图图3-5 3-5 逆圆弧插补逆圆弧插补 21 序号偏差判别坐标进给 偏差及坐标计算 终点判别 偏差计算坐标计算 1f0=0-xf1=0-12+1=-11 x1=6-1=5 y1=0 n=11 2f10+yf2=-11+1=-10 x2=5 y2=0+1=1 n=10 3f20+yf3=-10+2+1=-7 x3=5 y3=1+1=2 n=9 4f30+yf4=-7+4+1=-2 x4=5 y4=2+1=3 n=8 5f40-xf6=5-10+1=-4

18、x6=5-1=4 y6=4 n=6 22 序号偏差判别坐标进给 偏差及坐标计算 终点判别 偏差计算坐标计算 7f60-xf8=5-8+1=-2 x8=4-1=3 y8=5 n=4 9f80-xf10=9-6+1=4 x10=3-1=2 y10=6 n=2 11f100-xf11=-4-4+1=1 x11=2-1=1 y11=6 n=1 12f110-xf12=1-2+1=-0 x12=1-1=0 y12=6 n=0 23 圆弧插补进给方向和偏差计算圆弧插补进给方向和偏差计算 24 x y 3 2 1 1 2 3 4 4 o a(0,4) b(4,0) 例3-3 现欲加工第一象限顺圆弧ab，如图

19、3-6所示，起点 a（0，4），终点b（4，0），试用逐点比较法进行插补。 图3-6 圆弧插补实例 25 圆弧插补过程 步数 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别 起点 0 0 =f x0=0,y0=4 =8 1 f0=0 -y 712 001 -=+-=yff x1=0,y1=3 =7 2 f10 +x 612 112 -=+=xff x2=1,y2=3 =6 3 f20 +x 312 223 -=+=xff x3=2,y3=3 =5 4 f30 -y 312 445 -=+-=yff x5=3,y5=2 =3 6 f50 -y 112 667 =+-=yff x7=4,y7=1

20、 =1 8 f70 -y 012 778 =+-=yff x7=4,y7=0 =0 26 3.3 数字积分法插补 数字积分法又称数字微分分析器（digital differential analyzer,简称dda)。采用该方法进行插补， 具有运算速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点， 且只输入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复 杂的曲线轨迹，精度也能满足要求，而且易于实现多 轴联动。因此，该方法在数控系统中得到广泛的应用。 3.3.1 概述 27 数字积分的基本原理 如图：从时刻t=0到t，函数y=f(t)曲线所包围的面积可表 示为：s= f(t)dt 若将0t的时间划分成时间 间隔为

21、t的有限区间，当t 足够小时，可得公式： s= f(t)dt = yi t 即积分运算可用一系列微小 矩形面积累加求和来近似。t o y y=f(t) t yo t t 0 0 t i=0 n-1 28 若t取最小基本单位“1”，则上式可简化为： s= yi (累加求和公式或矩形公式） 这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实 现。 n-1 i=0 被积函数寄存器 + 累加器（余数寄存器） t y 存放y值 29 若取的若取的脉脉冲冲当量当量足够小，足够小， 求求 和运算代替积分运算所引起的和运算代替积分运算所引起的 误差可以不超过允许的数值。误差可以不超过允许的数值。 数字积分器数字积

22、分器具有两个寄存器和具有两个寄存器和 一个全加器一个全加器构成。构成。被积函数被积函数 寄存器寄存器j jv v ，和累加寄存器或称 和累加寄存器或称 余数寄存器余数寄存器 j jr r 如取寄存器的容量为一个单位如取寄存器的容量为一个单位 面积值，则累加过程中面积值，则累加过程中j jr r的溢的溢 出一个出一个脉脉冲冲就表示获得一个单就表示获得一个单 位的面积值。位的面积值。 j jr r总溢出脉总溢出脉冲冲 数即为所求得积分值。数即为所求得积分值。 30 被积函数寄存器与累加器相加的计算方法： 例：被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数 为5，求累加过程。 101 101 101

23、 101 +）000 +）101 +）010 +）111 101 010 111 100 101 101 101 101 +） 100 +）001 +）110 +） 011 001 110 011 000 经过2 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以 积分值等于5。 3 31 3.3.2 数字积分直线插补 e y e x y v x v oa v k=定义：定义： 可得直线参数方程：可得直线参数方程： 在在o oa a点区间内积分：点区间内积分： 积分值为从当前点经过（积分值为从当前点经过（t tn n - -t t0 0）时间后的坐标增量，）时间后的坐标增量， 因为起点是原点，这里

24、积分值即为终点坐标。因为起点是原点，这里积分值即为终点坐标。 32 3.3.2 数字积分直线插补 用累加代替积分得：用累加代替积分得： 若取若取tt为为1 1，得：得： 由上式可知，由上式可知，k kn n =1=1，或者，或者k k =1/=1/n n 令：令： 则在则在x x，y y方向方向分别经过分别经过n n步后，可移动到终点。步后，可移动到终点。 33 3.3.2 数字积分直线插补 选择k时，应使每次的增量x、y不大于1，这样保证各坐 标轴每次分配进给脉冲是不会超过一个。 其中xe、ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。假定 寄存器有n位，则xe、ye的最大允许值为： 若取：

25、这样可以选定k值满足要求，且累加次数为： 取t为1时的累加为： （*） 将（*）式代入上式： 34 例：插补第一象限直线oa，起点为o( 0 , 0 ) ，终点为 a ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为jvx， jvy，余数 寄存器分别为jrx 、jry ，终点计数器为 je，且都是三 位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 x o y 123 45 1 2 3 a( 5 , 3 ) 35 插补计算过程如下 累加 次数 (t） x积分器 jvxjrx 溢出 x y积分器 jvy jry 溢出 y 终点 计数器 je 备注 0 1 2 3 4 5 6 7 8 101 000011

26、000初始状态 101 101 000 101 101 101 101 101 101 101 011 011 011 011 011 011 011 011 011111第一次累加 010 1110jrx有进位， x溢出110 111 001 1101 jry有进位， y溢出 100 1100100 x溢出 001 1111011 x溢出 1100101010 y溢出 011 1101001 x溢出 00010001000 x,y同时溢出 je=0，插补结束 36 加工轨迹如下： x o y 123 45 1 2 3 a( 5 , 3 ) 37 3.3.3 数字积分圆弧插补 如图所示，设加工

27、半径为r的第一象限逆时针圆弧ab， 坐标原点定在圆心上，a(xo,yo)为圆弧起点，b(xe,ye) 为圆弧终点，pi(xi,yi)为加工动点。 x o y a(xo,yo) b(xe,ye) pi(xi,yi) 38 如图所示，可以得到： v vx vy r yi xi 即vx=k yi，vy=k xi 因而可以得到坐标微小位移增量为： x=vxt=kyit y=vyt =kxit 设t=1，k=1/2 则有： x o y a(xo,yo) b(xe,ye) pi(xi,yi) r v vx vy = = k n x = 1/2 i=1 m yi y = 1/2 i=1 m xi n n 3

28、9 由 可看出，用dda法进行圆弧插补时，是对加工 动点的 坐标xi和yi的值分别进行累加，若积分累加器有溢出， 则相应坐标轴进给一步，则圆弧积分插补器如图所示： x = 1/2 i=1 m yi y = 1/2 i=1 m xi n n 40 圆弧积分插补器： j vx(y)(被积函数寄存器) + j ry(累加器) j rx(累加器) j vy(x)(被积函数寄存器) + t x x轴溢出脉冲 y轴溢出脉冲 y 41 例：设圆弧ab为第一象限逆圆弧，起点a（，0）,终点 为b（0,），用dda法加工圆弧ab。 x o y 1 234 5 1 2 3 4 5 42 插补计算过程如下： 累加

29、次数 (t） x积分器 jvx （yi) jry 溢出 x y积分器 jvy (xi) jrx 溢出 y x终 点计 数器 备注 0 1 2 3 4 5 000 000101101 初始状态 000 000 000 000 001 001 001 010 010 011 101 101 101 101 101 101101第一次累加 000010 y溢出,修正yi 100 001101 111100 x,y无溢出 010100011y溢出修正yi 100001010 y溢出修正yi 1 1 y终 点计 数器 101 101 101 1011 101 43 插补计算过程如下： 累加 次数 (t）

30、 x积分器 jvx （yi) jry 溢出 x y积分器 jvy (xi) jrx 溢出 y x终 点计 数器 备注 6 7 9 11 011 111101010 无溢出 011 010 110 100 100 100 101 101 101 010 101 100 100 011 011 011001xy同时溢出 ,修正xi,yi 010 011011000xy同时溢出 ,y到终点停止迭代 100 x溢出修正xi y终 点计 数器 101 100 010 11 8110100 100 111无溢出 11 10111011 011 1 44 插补计算过程如下： 累加 次数 (t） x积分器 j

31、vx （yi) jry 溢出 x y积分器 jvy (xi) jrx 溢出 y x终 点计 数器 备注 12 101 001010x溢出修正xi 101 101 001 000 y终 点计 数器 001 14011000 001 1 13110001 001无溢出 1x溢出修正xi x到达终点。 45 3.4 3.4 数据采样法数据采样法 3.4.1 3.4.1 数据采样法原理数据采样法原理 数据采样插补又称为时间分割法，与基准脉冲插补法数据采样插补又称为时间分割法，与基准脉冲插补法 不同，数据采样插补法得出的不是进给脉冲，而是用二进不同，数据采样插补法得出的不是进给脉冲，而是用二进 制表示的进给量。这种方法是根据程编进给速度制表示的进给量。这种方法是根据程编进给速度f f，将给，将给 定轮廓曲线按插补周期定轮廓曲线按插补周期t t（某一单位时间间隔）分