曲边梯形的面积完整版[实用课资]

1、新宁一中高二数学新宁一中高二数学 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 一、求曲边梯形面积的一般步骤一、求曲边梯形面积的一般步骤 二、定积分二、定积分 1.函数函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分的概念上的定积分的概念; 1 0 0 2.( )? 3.( )lim( )? b a n b ii a i f x dx f x dxfx 的几何意义是什么 如何理解 4.定积分是变量还是常量定积分是变量还是常量? 5.定积分的作用是什么定积分的作用是什么? 教材研读教材研读 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 微积分在几何上有两个基本问题微积分在几何上有两个基本问题 1. 1.如何确定曲线上一点处切

2、线的斜率；如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.2.如何求曲线下方如何求曲线下方“曲线梯形曲线梯形”的面积。的面积。 x y 0 x y 0 x y o 直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？ 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 一般地一般地, , 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间I I上的图上的图 象是一条连续不断的曲线象是一条连续不断的曲线, , 那么就把它称为区那么就把它称为区 间间I I上的上的连续函数连续函数. . ab o x y ab o x y 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系

3、中，由连续曲线 y=f(x)y=f(x)，直线，直线x=ax=a、x=bx=b及及x x轴所围成的图形轴所围成的图形 叫做曲边梯形。叫做曲边梯形。 Ox y a b y=f (x) x=a x=b 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 因此，我们可以用一条直线因此，我们可以用一条直线L L来代替点来代替点P P附附 近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点P P附近，曲线可以附近，曲线可以 看作直线（即在很小范围内看作直线（即在很小范围内以直代曲以直代曲） P 放大放大 再放大再放大 P P 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 1.5.1 1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 特殊：特殊

4、：求直线求直线x x 0 0、x x 1 1、y y 0 0及曲线及曲线 y y x x2 2 所 所 围成的平面图形（曲边三角形）面积围成的平面图形（曲边三角形）面积S S是多少？是多少？ x y O1 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 x y O1 方案方案1 方案方案2 2 方案方案3 为了计算曲边三角形的面积为了计算曲边三角形的面积S S，将它分割，将它分割 成许多小曲边梯形成许多小曲边梯形 对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直边直边”代替代替 “曲边曲边”（即在很小范围内以直代曲），有（即在很小范围内以直代曲），有 以下三种方案以下三种方案“以直代曲以直代曲” ” 。

5、 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 y = f(x) bax y O A1 用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的近似代替曲边梯形的 面积面积 A A，得，得 .AA 1 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的近似代替曲边梯形的 面积面积A A， 得得 y = f(x) bax y O A1A2 .AAA 21 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面近似代替曲边梯形的面 积积A A， 得得 y = f(x) bax y O A1A2A3A4 .AAAAA 4321 新宁一中

6、高二数学新宁一中高二数学 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的个小曲边梯形，并用小矩阵形的 面积代替小曲边梯形的面积，面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A A 近似为近似为 y = f(x) bax y O A A1+ A2 + + An A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 分割越细，面积的近似值就越精确。分割越细，面积的近似值就越精确。当当 分割无限变细时，这个近似值就无限逼近分割无限变细时，这个近似值就无限逼近 所求曲边梯形的面积所求曲边梯形的面积S S。 下面用第一种方案下面用第

7、一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过的具体操作过 程程 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 (1) (1) 分割分割 把区间把区间00，1 1等分成等分成n n个小区间：个小区间： , n n , n 1n , n i , n 1i , n 2 , n 1 , n 1 , 0 n 1 n 1i n i x 每个区间的长度为每个区间的长度为 过各区间端点作过各区间端点作x x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作个小曲边梯形，他们的面积分别记作 .S,S,S,S ni21 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 (2) (2) 以直代曲以直代曲 n 1 ) n

8、1i (x) n 1i ( fS 2 i (3) (3) 作和作和 )1n(210 n 1 n 1 ) n 1- i ( n 1 ) n 1- i f( SSSSS 2222 3 n 1i 2 n 1i n 1i in21 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 (4) (4) 逼近逼近 . 3 1 ) n 1 2)( n 1 1( 6 1 )12n(n)1n( 6 1 n 1 )1n(210 n 1 )n(0 x 3 2222 3 时时，亦亦即即当当分分割割无无限限变变细细，即即 分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近 。面面积积为为，即即所所求求曲曲边边三三角角形形的的所所以以 3 1 3 1

9、 S 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 当分点非常多（当分点非常多（n n非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为 f(x)f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常在小区间上几乎没有变化（或变化非常 小），从而可以取小区间内任意一点小），从而可以取小区间内任意一点 x xi i 对应对应 的函数值的函数值 f(xf(xi i) ) 作为小矩形一边的长，于是作为小矩形一边的长，于是f(xf(xi i) ) x x 来近似表示小曲边梯形的面积来近似表示小曲边梯形的面积 x)f(xx)f(xx)x( f n21 表示了曲边梯形面积的近似值表示了曲边梯形面积的近似值 新宁一中高二数学新宁一中高二数学

10、 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边

11、梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，

12、 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注

13、意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 新

14、宁一中高二数学新宁一中高二数学 f( 2) y = f(x) bax y O x1xi-1xixn-1x2 i f( i) 1 2 f( 1) f( i) xi 在在 a, ba, b中任意插入中任意插入 n -1n -1个分点个分点 得得n n个小区间：个小区间： x xi i 1 1 , , x xi i (i=1, 2 , (i=1, 2 , , , n)n) 把曲边梯形分把曲边梯形分 成成 n n 个窄曲边个窄曲边 梯形梯形 任取任取x xi i xxi i 1 1，x xi i ，以，以f (xf (x i i) ) x xi i近似代替第近似代替第i i个窄曲个窄曲 边梯形的面积边

15、梯形的面积 区间区间xxi i 1 1 , x, xi i 的长的长 度度 x xi i x xi i x xi i 1 1 曲边梯形的面积近似为：曲边梯形的面积近似为：A A n i ii xf 1 )( 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 f( 2) y = f(x) bax y O x1xi-1xixn-1x2 i f( i) 1 2 f( 1) f( i) xi n i ii n xfS 1 .)(lim 曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 练习练习 ：求直线求直线x=0, x=2, y=0与与 y=x2所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积. 新宁

16、一中高二数学新宁一中高二数学 求由连续曲线求由连续曲线y=f(x)y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法对应的曲边梯形面积的方法 (1) (1) 分割分割 (2) (2) 近似代替近似代替 (4) (4) 取极限取极限 o x y (3) (3) 求和求和 小结小结 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 分点越来越密时，分点越来越密时， 即分割越来越细时，即分割越来越细时， 矩形面积和的极限即矩形面积和的极限即 为曲边形的面积。为曲边形的面积。 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积 S S的近似值。的近似值。 o x y 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 011

17、1 1 0 , , max,0,1,2,1, 1,2,0, iin iiiI n ii i f xa b axxxxxba bn xinxx inIfx 如果函数在区间上连续 用分点 将区间等分成 个小区间 在每个小区间上任取一点 作和式当时 上述和式无 1 1 0 0 , , ( )li , m()lim. b a n i n n b i a i i i fx a bf f x dxfx x dx ba f n 限接近某个常数 这个常数叫做函数在区间 上的记作 即 定定积积分分 函数函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分的概念上的定积分的概念; , , ,. 积分下限积分上限 积分区间被

18、积函数 这里与 分别叫做与区间 叫做函数叫做叫 做叫积分被积式做变量 ab a bf xx f x dx 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 函数函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分上的定积分,记作记作: 01 1 () li( )( )m( ) n ii n b i an ii f x dxfx ba f n b a dxxf)( 1.定积分的概念定积分的概念: 知识归纳知识归纳 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 2.定积分的几何意义定积分的几何意义: 在区间在区间a, b上函数上函数f(x)连续且恒有连续且恒有f(x) 0. 表示由直线表示由直线x=a, x=b(ab), y=0和曲线

19、和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积(因而定积因而定积 分是一个确定的常数分是一个确定的常数) a b x y )(bf )(xfy 0 )(af 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 2.定积分的几何意义定积分的几何意义: 在区间在区间a, b上函数上函数f(x)连续且恒有连续且恒有 f(x) 0. 表示由直线表示由直线x=a, x=b(ab), y=0和曲线和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积(因而定积因而定积 分是一个确定的常数分是一个确定的常数) 3.定积分的作用定积分的作用 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积 a b x y )(bf

20、 )(xfy 0 )(af 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 应用应用1: 用定积分的概念用定积分的概念, 写出写出 抛物线抛物线y=x2与直线与直线x=1, y=0所围成所围成 的阴影部分的面积的阴影部分的面积 知识应用知识应用 11 2 00 , 1 . 3 根据定积分的概念 曲边梯形的面积 Sf x dxx dx 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 1 2 0 (1)(, ,) (2)1 b a dxbaa b ab x dx 证明其中 均为常数 且 求的大小 应用应用2: 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 应用应用3: 请利用定积分的几何意义，请利用定积分的几何意义， 表示出阴影部分的面积表示出阴影部分的面积S. a b x y 0 A C B D )( 1 xfy )( 2 xfy .dxxfdxxfS, b a 2 b a 1 容