华南理工大学信号与系统课件第4章

1、第第4章章 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 the continuous-time fourier transform 本本章的主要内容章的主要内容: : 1.连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换; 2.傅立叶级数与傅立叶变换之间傅立叶级数与傅立叶变换之间 的关系的关系; 3.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质; 4.系统的频率响应及系统的频域系统的频率响应及系统的频域 分析；分析； 在工程应用中有相当广泛的信号是在工程应用中有相当广泛的信号是 非周期信号，对非周期信号应该如何非周期信号，对非周期信号应该如何 进行分解，什么是非周期信号的频谱进行分解，什么是非周期信号的频谱 表示，就是这一

2、章要解决的问题。表示，就是这一章要解决的问题。 4.0 引言引言 introduction 在时域可以看到，如果一个周期信号的在时域可以看到，如果一个周期信号的 周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一 个非周期信号；反过来，任何非周期信号个非周期信号；反过来，任何非周期信号 如果进行周期性延拓，就一定能形成一个如果进行周期性延拓，就一定能形成一个 周期信号。我们把周期信号。我们把非周期信号看成是周期非周期信号看成是周期 信号在周期趋于无穷大时的极限信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考，从而考 查连续时间傅立叶级数在查连续时间傅立叶级数在 t趋于无穷大时趋于无穷

3、大时 的变化，就应该能够得到对非周期信号的的变化，就应该能够得到对非周期信号的 频域表示方法。频域表示方法。 4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示连续时间傅连续时间傅 立叶变换立叶变换 representation of aperiodic signals: the continuous- time fourier transform 一一. .从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换 已求得周期对称矩形脉冲的傅立叶级数系数：已求得周期对称矩形脉冲的傅立叶级数系数： 考察周期性矩形脉冲的频谱图：考察周期性矩形脉冲的频谱图： 当当 时，谱线间隔时，谱线间隔 变小，谱线变小，谱线 越来

4、越密；越来越密； 当当 时，周期方波转化为非周期的时，周期方波转化为非周期的 单脉冲信号，相应地，信号频谱由离单脉冲信号，相应地，信号频谱由离 散谱变成连续谱。散谱变成连续谱。 非周期信号非周期信号 是周期信号是周期信号 的一个周期，的一个周期， 考察考察 的傅立叶级数：的傅立叶级数： k tjk k eatx 0 )( 定义定义 的包络为的包络为 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 系数系数 当当 时，时， 趋近于趋近于 ； 当当 时，时， ， 过渡为一个过渡为一个 积分式。积分式。 此式表明，非周期信号可以分解成无数多此式表明，非周期信号可以分解成无数多 个频率连续分布、振幅为个频率连续

5、分布、振幅为 的复的复 指数信号之和。指数信号之和。 称为称为 的的频谱频谱。 1 () 2 xjd ()x j 1 ( )() 2 j t x tx jed 傅立叶反变换傅立叶反变换 即，即， 周期信号的频谱是对应的周期信号的频谱是对应的 非周期信号非周期信号频谱的样本频谱的样本；而非；而非 周期信号的频谱是对应的周期周期信号的频谱是对应的周期 信号信号频谱的包络。频谱的包络。 定义：定义：设有非周期连续时间信号x(t) dtetxjx tj )()( dejxtx tj )( 2 1 )( )()( . jxtx tf 既然傅立叶变换的引出是从周期信既然傅立叶变换的引出是从周期信 号的傅立

6、叶级数表示，讨论周期趋号的傅立叶级数表示，讨论周期趋 于无穷大时的极限得来的，傅立叶于无穷大时的极限得来的，傅立叶 变换的收敛问题就应该和傅立叶级变换的收敛问题就应该和傅立叶级 数的收敛相一致。数的收敛相一致。 二二. 傅立叶变换的收敛傅立叶变换的收敛 1. 若若 即所有能量有限的信号即所有能量有限的信号 其傅立叶变换一定存在。其傅立叶变换一定存在。 2 ( )x tdt 则则 存在。存在。 ()x j 相应的两组条件：相应的两组条件： 2. dirichlet 条件条件 ( )x t dt a. 绝对可积条件绝对可积条件 b. 在任何有限区间内，在任何有限区间内， 只有只有 有限个极值点有限

7、个极值点, ,且极值有限。且极值有限。 ( )x t c. 在任何有限区间内，在任何有限区间内， 只有有只有有 限个第一类间断点。限个第一类间断点。 ( )x t 三三. .常用信号的傅立叶变换：常用信号的傅立叶变换： 1.( )( ),0 at x teu ta 0 1 () atj t x jeedt aj 22 1 ()x j a ( )x t t 0 1 aa 0 1/ a ()xj 2 2a 2.( ),0 a t x tea 结论：结论：实偶信号的傅立实偶信号的傅立 叶变换是实偶函数。叶变换是实偶函数。此此 时可以用一幅图表示信时可以用一幅图表示信 号的频谱。号的频谱。 对此例有对

8、此例有 ()()x jx j ()x j 2 a 1 a aa ()xt t 1 0 0 0 22 () 112 atj tatj t x je edteedt a ajaja 3.( )( )x tt ()( )1 jt xjt edt 这表明这表明 中包括了所有的频率成分，且中包括了所有的频率成分，且 所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，所有频率分量的幅度、相位都相同。因此， 系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应 才能完全描述一个才能完全描述一个 lti系统的特性，系统的特性， 才在信号与系统分析才在信号与系统分析 中具有如此重要的意义。中具有如此重要的意义。 0 ( ) t t ( )

9、 t ( )h t ( ) t ()x j 0 1 4. 矩形脉冲矩形脉冲: : ( )x t 1, 1 tt 0, 1 tt ( )x t t 1 t 1 t 1 1 0 0 ()x j 0 0 1 t 1 2t ( )x t t 1 t 1 t 1 1 0 0 ( )x t t 1 2t 1 2t 1 1 0 0 ()x j 0 0 1 t 1 2t 1 2 t ()xj 1 4t 0 0 不同脉冲宽度对频谱的影响不同脉冲宽度对频谱的影响 5. ( (称为称为理想低理想低 通滤波器通滤波器) ) 与矩形脉冲情况对比，可以发现与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时信号在时 域和频域之间存在一种

10、对偶关系。域和频域之间存在一种对偶关系。 ()xj ww 1 1 0 0 ( )x t t (/)w 0 0 w w w jx 0 1 )( 对偶关系可表示如下对偶关系可表示如下: ( )x t t 1 t 1 t 1 1 0 0 ()x j ww 1 1 0 0 ()x j 0 0 1 t 1 2t ( )x t t (/ )w 0 0 w 6. 单位冲激函数的傅立叶逆变换单位冲激函数的傅立叶逆变换 对于对于5. 我们可以想到，如果我们可以想到，如果 ，则，则 将趋于一个冲激。将趋于一个冲激。 w ( )x t 因为因为 所以所以( )12( ) f x t 4.2 连续时间连续时间ft的性

11、质的性质 讨论傅立叶变换的性质，旨在讨论傅立叶变换的性质，旨在 通过这些性质揭示信号时域特性通过这些性质揭示信号时域特性 与频域特性之间的关系，同时掌与频域特性之间的关系，同时掌 握和运用这些性质可以简化傅立握和运用这些性质可以简化傅立 叶变换对的求取。叶变换对的求取。 properties of the continuous-time fourier transform 1. 线性线性: linearity 则则 若若 2. 时移时移: time shifting 则则 这表明信号的时移只影响它的相频特性，这表明信号的时移只影响它的相频特性， 其相频特性会增加一个线性相移。其相频特性会增加一

12、个线性相移。 若若 3. 频移频移: frequency shifting 若若 则则)()( 0 0 jxetx tj )()(jxtx )()(jxtx )()( 0 0 jxettx tj 4. 共轭对称性共轭对称性: conjugate and symmetry 若若 )()(cos)( 000 2 1 jxjxttxf 则则 )()( )()(2 2 1 00 000 tcosf )()(jxtx )()(jxtx 由由()( ) j t x jx t edt * ()( ) jt xjxt edt 所以所以 * ()( ) jt xjxt edt 即即 若若 是实信号，则是实信号，

13、则 ( )x t * ( )( )x tx t 于是有于是有: * ()()x jxj 可得可得 若若 则可得则可得 re()re()x jxj 即即实部是实部是 偶函数偶函数 虚部是虚部是 奇函数奇函数 若若 则可得出则可得出 ()()x jxj 即：即：模是偶函数，相位是奇函数模是偶函数，相位是奇函数 ()re()im()x jx jjx j im ()im ()x jxj 如果如果( )()x txt 即信号是偶函数。则即信号是偶函数。则 ()( ) jt xjx t edt ()( )() j tj xt edtxedtxj 表明：表明： 实偶信号的傅立叶变换是偶函数。实偶信号的傅立叶

14、变换是偶函数。 * ()()xjxj所以所以 * ()()x jxj 表明表明 是实函数。是实函数。 ()x j 又因为又因为 ()()x jxj 即即 是奇函数是奇函数 ()xj * ()()x jxj ()xj 即即 是虚函数是虚函数 若若( )( )( ) eo x tx tx t则有则有: ()()() eo xjxjjxj ()re() e xjxj ()im() o xjx j 若若 即信号是奇函数，同样可以即信号是奇函数，同样可以 得出得出: ( )()x txt 5.时域微分与积分时域微分与积分: differentiation and integration 则则 （时域微分

15、特性）（时域微分特性） (将将 1 ( )() 2 jt x txjed 两边对两边对 微分即得该性质微分即得该性质) t 若若 由时域积分特性从由时域积分特性从 也可得到也可得到: （时域积分特性（时域积分特性) 6.时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换: scaling 则则 当当 时，有时，有1a 尺度变换特性表明：尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展信号如果在时域扩展 a 倍，则其带宽相应压缩倍，则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。倍，反之亦然。 这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，这就从理论上证明了时域与频域的相反关系， 也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。也证明了信号的

16、脉宽带宽积等于常数的结论。 若若 时域中的压缩对应频域中的扩展时域中的压缩对应频域中的扩展. .反之亦然反之亦然 7.对偶性对偶性: duality 若若则则 1 ( )() 2 j t x txjed 2()() j t xxjt edt 2()() j t xxjt edt 证明证明： 8. parseval定理定理: 若若则则 221 ( )() 2 x tdtxjd 这表明：信号的能量既可以在时域求得，也这表明：信号的能量既可以在时域求得，也 可以在频域求得。由于可以在频域求得。由于 表示了信号表示了信号 能量在频域的分布，因而称其为能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密能量谱密 度度

17、”函数。函数。 2 ()x j 4.3 卷积性质卷积性质 the convolution property 一一. . 卷积特性：卷积特性： 则则 由于卷积特性的存在，使对由于卷积特性的存在，使对lti系统在频系统在频 域进行分析成为可能。本质上，卷积特性成域进行分析成为可能。本质上，卷积特性成 立正是因为复指数信号是立正是因为复指数信号是lti系统的特征函系统的特征函 数。由数。由1 ( )() 2 j t x tx jed 若若 将将 分解成复指数分量的线性组合，每个分解成复指数分量的线性组合，每个 通过通过lti系统时都要受到系统频响系统时都要受到系统频响 的加权，的加权， ( )x t

18、 ()h j jt e ()( ) jt hjh t edt 即是系统与即是系统与 对应的特征值。故有对应的特征值。故有 其中其中 j t e 1 ( )( )* ( )()() 2 jt y tx th txjhjed 所以所以 ()() ()y jx jh j 由于由于 的傅氏变换的傅氏变换 就是频率为就是频率为 的的 复指数信号复指数信号 通过通过lti系统时，系统对输系统时，系统对输 入信号在幅度上产生的影响，所以称为入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统系统 的频率响应的频率响应。 ( )h t ()h j jt e 鉴于鉴于 与与 是一一对应的，是一一对应的，因而因而lti 系统可

19、以由其频率响应完全表征。系统可以由其频率响应完全表征。由于并非由于并非 任何系统的频率响应任何系统的频率响应 都存在，因此用都存在，因此用 频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系 统。统。 ( )h t()h j ()h j 二二. . lti系统的频域分析法系统的频域分析法: : 根据卷积特性根据卷积特性, ,可以对可以对lti系统进行频域分系统进行频域分 析析, , 其过程为其过程为: : 1. 1. 由由 2. 2. 根据系统的描述，求出根据系统的描述，求出 3.3. 4. 4. ( )()x txj ()h j ()()()y jx jh j 1

20、( ) ()y ty j f 4.4 相乘性质相乘性质 the multiplication property 若若 则则 两个信号在时域相乘，可以看成是由一个两个信号在时域相乘，可以看成是由一个 信号控制另一个信号的幅度，这就是信号控制另一个信号的幅度，这就是幅度调幅度调 制制。其中一个信号称为。其中一个信号称为载波载波，另一个是，另一个是调制调制 信号信号。 例例1. 正弦幅度调制正弦幅度调制: : 0 ( )(),( )coss ts jp tt 00 () ()()p j ( )( )( )r ts tp t 00 1 ()() ()() 2 r js j 00 11 () () 22

21、 s js j 0 ( ) 0 0 ()p j ( )pt ( )s t ( )r t 1 0 m m ()s j 1/2 0 0 ()r j 正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的 频谱搬移到载频位置。频谱搬移到载频位置。 例例3. 同步解调同步解调: 000 1 ( )cos() ()() 2 r ttr j 00 111 () (2) (2) 244 s js js j 1/2 1/41/4 m m 0 2 0 2 此时，用一个频率特性为此时，用一个频率特性为 的系统的系统 即可从即可从 恢复出恢复出 。 ()h j ( )r t( )s t ()hj

22、2 0 c c 只要只要 0 2 mcm 即可即可。 具有此频率特性的具有此频率特性的lti系统称为系统称为理想低通理想低通 滤波器滤波器。 4.6 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换 到此为止，我们对周期信号用傅立叶级到此为止，我们对周期信号用傅立叶级 数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。 在在 涉及周期信号通过涉及周期信号通过 lti 系统时系统时, , 会给分析带会给分析带 来不便。因为周期信号不满足来不便。因为周期信号不满足 dirichlet 条条 件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立 叶变换表示。考查

23、叶变换表示。考查 所对应的信号所对应的信号 0 0 1 ( )()() 2 jtjtjt x txjedede 0 ()2()x j the fourier transformation of periodic signals 这表明这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激周期性复指数信号的频谱是一个冲激: : 0 ( ) jkt x te 0 ()2()x jk 于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，于是当把周期信号表示为傅立叶级数时， 因为因为 0 ( ) jkt k k x ta e 就有就有 0 ()2() k k xjak 周期信号的傅立叶变换表示周期信号的傅立叶变换表示 若若 则则 这

24、表明：周期信号的傅立叶变换由一系这表明：周期信号的傅立叶变换由一系 列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各 次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的 傅立叶级数的系数傅立叶级数的系数 。 k a 例例1： 00 0 1 ( )sin 2 jtjt x ttee j 00 () ()()xj j ()x j 0 0 j j 0 00 0 1 ( )cos 2 jtjt x ttee 00 ()()()xj ( )() n x ttnt 2 22 22 111 ( )( ) tt jkt t k tt at edtt dt

25、ttt ()xj 0 0 0 例例2： 例例3： 均匀冲激串均匀冲激串 tt2 t2 t0 ()xt t 1 ()xj 02 t 2 t 2 t ( )() n x ttnt 22 ()() k x jk tt 22 ()() k x jk tt 例例4. 周期性矩形脉冲周期性矩形脉冲 1 0 0 2 2 sin() 2 ()() k kt t xjk kt 1 t 1 t0 1 ( )x t t 1 01 1 00 2 sin 22 sa() k tk tt akt ttk 1 0 21 2 t t ()xj 0 2 t 工程实际中有相当广泛的工程实际中有相当广泛的lti系统其输入系统其输入

26、 输出关系可以由一个线性常系数微分方程输出关系可以由一个线性常系数微分方程 表述。一般形式的表述。一般形式的lccde是是: 4.7 由线性常系数微分方程表征的系统由线性常系数微分方程表征的系统 00 ( )( ) kknn kk kk kk d y td x t ab dtdt 一一. 由由lccde描述的描述的lti系统的频率特性系统的频率特性: systems characterized by linear constant- coefficient differential equations 由于由于 是是lti系统的特征函数，当然系统的特征函数，当然 时，系统的响应时，系统的响应

27、。表。表 明在明在 时，求解此时的时，求解此时的lccde可可 以求得以求得 。但这太麻烦，很少使用。但这太麻烦，很少使用。 ( )() j t y th je ()h j 对对lccde两边进行傅立叶变换有：两边进行傅立叶变换有： 00 ()()()() nn kk kk kk ajy jbjx j 由于由于()()()y jx jh j jt e ( ) j t x te ( ) j t x te 可见由可见由lccde描述的描述的lti 系统其系统其频率特性频率特性 是一个有理函数是一个有理函数。由此可以看出，对由。由此可以看出，对由 lccde 描述的描述的lti系统，当需要求得其系统

28、，当需要求得其 时时(比如时域分析时比如时域分析时) ，往往是由，往往是由 做反做反 变换得到。变换得到。 对有理函数求傅立叶反变换通常采用对有理函数求傅立叶反变换通常采用部分部分 分式展开分式展开和利用常用变换对进行。和利用常用变换对进行。 ( )h t ()hj 0 0 () () () n k k k n k k k bj hj aj 刻画了刻画了lti系统的频域特征，它是系系统的频域特征，它是系 统单位冲激响应的傅立叶变换。但并非所有统单位冲激响应的傅立叶变换。但并非所有 的的lti系统一定都存在频率响应。对稳定系系统一定都存在频率响应。对稳定系 统，由于有统，由于有 二二. 系统的频

29、率响应：系统的频率响应： ()h j dtth| )(| )(jh 故有：故有：稳定系统的频率响应一定存在。稳定系统的频率响应一定存在。 因此，由因此，由 表征的系统一般是稳定系统。表征的系统一般是稳定系统。 * * 频率响应的求法：频率响应的求法： 1.1.用微分方程表征的系统用微分方程表征的系统 m k k k k n k k k k dt txd b dt tyd a 00 )()( m k k k n k k k jxjbjyja 00 )()()()( n k k k m k k k ja jb jx jy jh 0 0 )( )( )( )( )( )(3 )( )(8 )( 6 )( 2 2 tx dt tdx ty dt tdy dt tyd 例：例： 4