大一(第一学期)高数期末考试题及答案

1、大一上学期高数期末考试 、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1.设f (x) cos x (x sin x ),则在 x 0处有( ). (A) f (0) 2(B) f(0)1 (C) f(0)0(D) f（X）不可导. 设 (x)1 ，（x）3 3x x，则当 x 1时（ ) 2. 1 x . (A) (x)与 （x）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B)(x)与(x) 是等价无穷小； （C）（X）是比（X）高阶的无穷小；（D）（X）是比（x）高阶的 无穷小. X 3.若F（x） 0（2t x）f（t）dt，其中心）在区间上（1,1）二阶可导且 f （x）0 ，则（）.

2、 （A）函数F（x）必在x 0处取得极大值； （B）函数F（x）必在x 0处取得极小值； （C）函数F（x）在x 0处没有极值，但点（0，F（0）为曲线y F（x）的拐点； 4. （D）函数F（x）在x 0处没有极值，点（0,F（0）也不是曲线y F（x）的拐点。 设f （x ）是连续函数， 2 x 且f (x) 1 2 0 f(t)dt ,则 f (x)( 5. 6. 7. (A) 2(B) 2 1 、填空题（本大题有4小题，每小题 2 lim （13x）K x 0 已知c空是f（x）的一个原函数 x lim n 1 2 (cos2 n n 2 . x arcs in x 1 dx 1 1

3、x2 2 二、解答题 9. 设函数y y（x）由方程 求1 10. 8. （本大题有 7 x 7 dx. x(1 x7) （D）x 2. 4分，共16分） I rcosx 则 f(x) d x x cos3) n 5小题，每小题8分，共40 分） ex y sin（xy） 1 确定，求 y （x）以及 y （0）. 11. 12. 13. 设 f (x) xe 2 x ， 设函数f(x)连续, g(x)并讨论g(x)在x g(x) 0 x 1 1 f (xt)dt 0 3 f (x)dx. 求微分方程xy 2 y ，且x 0处的连续性. xlnx 满足 y(1) lim 0 空A x ，A为常

4、数.求 1 9的解. 四、解答题(本大题10分) 14. 已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点 M(X0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线x X。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分) 15. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围 成平面图形D. (1)求D的面积A ； (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分) 16. 设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q 0,1， q1 f (x

5、) d x q f (x)dx 00 f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 0 17. 设函数f(x)在0，上连续，且0 证明：在0，内至少存在两个不同的点1，2，使f( 1) f( 2)0. (提 x F(x) f(x)dx 示：设0 解答 一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 COSX 2 6-() C 5. e. 6. 2 x.7.2 .8.3 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9.解：方程两边求导 ex y (1 y ) cos(xy)(xy y)

6、0 x 2 x 0, y 0 y (0) 1 10.解： 7 u x 7x6dx du 原式 1 (1 u)du 1 (- 7u(1 u) 7 u y(x) ex y y cos(xy) ex y x cos(xy) 2 u 1 2ln |u )du 11.解: 1 7(ln |u| 1|) c 7ln|x7| 1 3 f(x)dx 0 3xd( x xe -ln |1 7 0 xe 3 1 0 0 3 x7| xdx C 2x x2 0 dx J (x 1)2dx 0 2 _cos d (令 x 2 1 sin ) 4 2e3 1 12.解：由 f(0) 0，知 g()0 x g(x) g(

7、x) g(0) f (xt )dt xf(x) lim - x 0 xt u 0 f (u)du f (u)du f (u)du (x f(x) lim x 0 2x (x 0) 0) 00 g (x) xmo xf (x) f (u)du 0 2 x A 2，g(x)在x 0处连续。 dy 13.解:dx 2 -y x 2 dx x In x y e x ( 1 xln x 3 1 y(1)-,c 9 四、解答题(本大题 2 dx e x I n xdx Cx 2 C) -xln x 3 10分) x 2 0 ydx y 2y 14解：由已知且y 将此方程关于x求导得 2 特征方程：r r

8、2 x 其通解为 y 一 C1e 代入初始条件y() C2e 解出特征根: 2x a 1, 2. 故所求曲线方程为： 五、解答题(本大题10分) (0)1，得 1 e 3 15解：(1)根据题意，先设切点为 由于切线过原点，解出X。 1 (ey 0 A 则平面图形面积 (2)三角形绕直线 曲线y In x与x轴及直线 为V2 C1 C2 2x (xo,ln xo) e，从而切线方程为: ey)dy 1 e 1 2 y ，切线方程： 1 x e In Xo 1 (x X0) X0 x=e一周所得圆锥体体积记为 x = e所围成的图形绕直线x= e一周所得旋转体体积 1 V2 (e ey )2dy

9、 0 D绕直线x = e 六、证明题(本大题有 q f(x)dx V V1 V2 旋转一周所得旋转体的体积 2小题，每小题4分，共12分) 1qq q f (x)dx f (x) d x q( f (x) d x 評2 12e 3) 1 f(x)dx) 16.证明：0 q1 (1 q) f(x)d x 0 1 0, q 2 q,1 q(1 q f (x)dx q q) f ( i) q(1 q) f ( 2) f ( 1 ) f ( 2) 0 故有： q f (x) d x 0 f(x)dx 证毕。 17. 证：构造辅助函数: 上可导。F (x) x F(x) 0 f(x)，且 F(0) f(t)dt ,0 。其满足在【，上连续，在(0，) 0 f (x)cosxdx cosxdF (x) F (x) cos x |sin x F(x)dx 由题设，有0 0 0 0 F (x)sin