换元法解一元二次方程

1、 换元法解一元二次方程换元法解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时 ,我们可以通过整体换元的方法,把方程转化为一元二次方程进行求解,从而达到降次或变复杂为简单的目的.换元法的实质是换元,关键是构造元和设元,体现的是转化化归思想.用换元法解某些高次方程例 1. 解方程: -2x - 3 = 0 .x42分析:这是一元四次方程,可设 = （注意: 0）,这样通过换元就把原方程转化为关于x2yy的一元二次方程.y解:设 = ,则有: 0x2yyy- 2 - 3 = 0y2( )( )y +1 y - 3 = 0 +1= 0 y - 3 = 0或y = -1, = 3yy12 0y = （3 y =

2、 -1舍去）y =3x2 = 3, = - 3 .xx12用换元法解具有一定结构特点的方程( ) ( )例 2. 解方程: - 2 - 3 - 2 + 2 = 0 .x2x( )分析:注意到该方程中整体 - 2 出现了两次,可整体设元,从结构上简化方程.x解:设 -2 = t ,则有:t - 3t + 2 = 0x2( )( )t -1 t - 2 = 0 -1= 0 t - 2 = 0或t =1, = 2tt12 -2 =1 x - 2 = 2或x第 1 页 x 3,x 4.12例 3. 解方程: x2x8 x2 x 12 0 .2分析:本题中的方程若展开整理 ,则得到的是一个高次方程 ,但

3、方程本身具有非常明显的结构特点,可整体换元,不用展开即可得到一个简洁的一元二次方程.解:设 x2 x y ,则有:y2 8y 12 0y 2 y 6 0 y 2 0 或 y 6 0 y 2,y 612 x2 x 2 或 x2 x 6解方程 x2 x 2 得:x1,x 2 ;12解方程 x2 x 6 得:x2,x 321综上,原方程的解为 x1,x 2,x22,x 3.134x 1 2x2例 4. 解方程:1.x2x 1x2x 1x2x 1x21分析:方程中与互为倒数,若设t,则,经过这样的换元,最后可把x 1x2x 1 t原方程转化为关于t的整式方程,且为一元二次方程.x 1x22t解:设t,

4、则有:t1整理得:t t 2 02t 1 t 2 0t1,t 221x 1x 1x2由由1或2x2x 1x21得:x2 x 1 0,此时方程无解;x 1x212 得:2x2 x 1 0 ,解之得:x,x 1.21212综上,原方程的解为 x,x 1.12第 2 页 11x例 5. 解方程:x2x0 .xx21分析:设 xx11x2y,则 x22 y2 2 .x2110x解:x2xx2112xx2 0xx1设 xy,则有:y2 y 2 0xy 1 y 2 0 y 1 0 或 y 2 0 y 1, y21211x x由 x由 x1或 x2x1x1x1得:x2 x 1 0 ,此时方程无解;2 得:x

5、2 2x 1 0 ,解之得:x x1.12综上,原方程的解为 x x1.1211x1x本题变式: 已知实数 x满足 x2x0 ,那么 x（c ）1的值是2（d ）【】x22（b ）1或 2（a ）1 或例 6. 已知 x2 y x2 y 1 12 ,求 x2 y 的值.222分析:整体设元:设 x2 y2 m ,则 m 0,据此注意根的取舍.解:设 x2 y2 m ,则有:m 0 m m 1 12整理得:m解之得:mm 12 03 ,m2412 m 0 m 3 x2 y 的值为 3.2第 3 页 习题 1. 解下列方程:( ) ( )( ) ( )（2） -1 - 5 -1 + 6 = 0 .x x（1）+ = 6 ;2xx2xx222习题 2. 解方程: - -=1.xx2x - x2习题 3. 阅读下面的材料,回答问题:解方程 -5x + 4 = 0, :这是一个一元四次方程 根据该方程的特点 它的解法通常是,x42设 = ,则原方程变形为: - 5 + 4 = 0 xyyy22解之得: =1, = 4yy12当 =1时, x =1,解之得: x = 1;y2当 = 4 时, x = 4,解之得: x = 2 .y2综上,原方程的解为: =1, = -1, = 2, = -2