概率统计实验复习过程

1、 13.6概率统计实验学习目标1 会用 mathematica 求概率、均值与方差；2 能进行常用分布的计算；3 会用 mathematica 进行期望和方差的区间估计；4 会用 mathematica 进行回归分析。概率统计是最需要使用计算机的领域，过去依靠计算器进行统计计算，由于计算机的普及得以升级换代。本节介绍 mathematica 自带的统计程序包，其中有实现常用统计计算的各种外部函数。一、 样本的数字特征1. 一元的情况mathematica 的内部没有数理统计方面的功能，但是带有功能强大的数理统计外部程序，由多个程序文件组成。它们在标准扩展程序包集的 statistic 程序包子

2、集中，位于目录d：mathematica4.0addonsstandardpackagesstatistics下。通过查看 help，可以找到包含所需外部函数的程序文件名。在程序文件 descriptivestatistics.m 中，含有实现一元数理统计基本计算的函数，常用的有：samplerangedatamediandata求表 data 中数据的极差（最大数减最小数）。求中值。1 nnmeandata求平均值x 。ii=11 nvariancedata求方差（无偏估计）(x - x) 。2n -1ii=11 nstandarddeviationdatavariancemledata求标

3、准差（无偏估计）(x - x) 。2n -1ii=11 nn求方差(x - x) 。2ii=11 nnstandarddeviationmledata求标准差(x - x) 。2ii=1实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过 help浏览。例1给出一组样本值：6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3，计算样本个数、最大值、最小值、均值、方差、标准差等。精品文档 解：in1：= statistics descriptivestatisticsin2：= data = 6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3；in3：=lengthd

4、ataout3=7in4：=mindataout4= 3.8in5：=maxdataout5= 6.6in6：=samplerangedataout6= 2.8in7：=mediandataout7= 6.in8：=meandataout8= 5.75714in9：=variancedataout9= 0.962857in10：=standarddeviationdataout10= 0.981253in11：=variancemledataout11= 0.825306in12：= standarddeviationmledataout12= 0.908464说明：在上例中，in1首先调入程

5、序文件，求数据个数、最大值和最小值使用内部函数。2. 多元的情况在程序文件 multidescriptivestatistics.m 中，含有实现多元数理统计基本计算的函数，常用的有：samplerangedata求表 data 中数据的极差。求中值。mediandatameandata求平均值。variancedata求方差（无偏估计）。求标准差（无偏估计）。求方差。standarddeviationdatavariancemledatastandarddeviationmledatacovariancexlist，ylist求标准差。求 x，y 的协方差（无偏估计）精品文档 1 n(x -

6、 x)(y - y) 。n -1iii=1covariancemlexlist ， ylist求 x ， y 的 协 方 差求 x，y 的相关系数1 n(x - x)(y - y)。niii=1correlationxlist，ylist(x - x)2 (y - y) 。nnn(x - x)(y - y) /2iiiii=1i=1i=1实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过 help浏览。例2给出 4 个样本值：1.1，2.0，3.2，1.3，2.2，3.1，1.15，2.05，3.35，1.22，2.31，3.33，计算样本个数、均值、方差、标准差等。解

7、：in1：= statistics multidescriptivestatistics in2：= data = 1.1，2.0，3.2，1.3，2.2，3.1，1.15，2.05，3.35，1.22，2.31，3.33；lengthdataout3=4in4：=samplerangedataout4= 0.2，0.31，0.25in5：=mediandataout5= 1.185，2.125，3.265in6：=meandataout6= 1.1925，2.14，3.245in7：=variancedataout7= 0.00755833，0.0200667，0.0137667in8：=v

8、ariancemledataout8= 0.00566875，0.01505，0.010325in9：=centralmomentdata，2out9= 0.00566875，0.01505，0.010325in10：=x=dataall，1；y=dataall，2；z=dataall，3；in11：=covariancex，yout11=0.0093in12：=covariancez，z精品文档 out12=0.0137667in13：=covariancemley，yout13=0.01505in14：=correlationy，zout14=0.0521435in15：=correlat

9、ionx，xout15=1.二、 常用分布的计算在计算机出现以前，统计计算总是依赖一堆函数表。使用本节介绍的函数可以取代查表，为实现各种统计计算的自动化做好了底层准备工作。1. 离散分布程序文件 discretedistributions.m 中，含有用于离散分布计算的函数。其中常用的离散分布有：bernoullidistributionp贝努利分布。二项分布。binomialdistributionn，pgeometricdistributionp几何分布。hypergeometricdistributionn，m，npoissondistribution超几何分布。泊松分布。discret

10、euniformdistributionnnegativebinomialdistributionn，p离散的均匀分布。负二项分布。以上函数中的参数，既可以是数值的，也可以是符号的。使用这些函数只能按用户给出的参数建立一个表达式，并不能返回任何其它结果。真正进行计算的是下面的求值函数，它们使用以上的分布表达式作为一个参数。常用的求值函数有：domaindist求 dist 的定义域。pdfdist，x求点 x 处的分布 dist 的密度值。求点 x 处的分布函数值。求 x，使 cdfdist，x达到 q。求分布 dist 的期望。求方差。cdfdist，xquantiledist，qmeand

11、istvariancediststandarddeviationdistexpectedvaluef，dist，xcharacteristicfunctiondist，trandomdist求标准差。求 ef（x）。求特征函数（t）。求具有分布 dist 的伪随机数。精品文档 randomarraydist，dims求维数为 dims 的伪随机数的数组。例3 观察下面二项分布的各种基本计算。in1：= statistics discretedistributionsin2：= b=binomialdistributionn，pout2=binomialdistributionn，pin3：=m

12、eanbout3=npin4：=variancebout4= n（1-p）pin5：=characteristicfunctionb，tout5= (1-p+e p）nitin6：=b=binomialdistribution10，0.3out6= binomialdistribution10，0.3in7：=domainbout7= 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10in8：=pdfb，4out8= 0.200121in9：=cdfb，3.9out9= 0.649611in10：=cdfb，4out10= 0.849732in11：=variancebout11= 2.1说明：在上

13、例中，首先调入程序文件。in2用 b 表示具有符号参数的二项分布，这一步只是为了后面输入时方便，并非必需的，也可以使用嵌套省略这一步。in3in5进行的是符号运算，可以得到期望、方差等的一般公式。这是本程序与一般统计软件的不同之处，充分体现了 mathematica 的特色。接下来给出具体的参数值，进行数值计算，这些计算取代了查表。以下是一些更广泛、深入的例子。例4 观察下面离散分布的各种计算。in1：= statistics discretedistributionsin2：= h=hypergeometricdistributionn，m，n；meanhmnout3=n精品文档 in4：=

14、variancehmmn(1- )(-n + n)nout4=(-1+ n)nin5：= p=poissondistribution5；pdfp，225out6=2e5in7：=n%out7=0.0842243in8：=pdfp，20 /nout8=2.6412110-7in9：=ncdfp，20，20out9=0.99999991890749540112in10：=expectedvaluex2，p，xout10=30in11：=randomarrayp，2，10out11=3，4，6，10，2，5，7，2，5，5，4，3，2，11，5，4，2，2，4，6说明：在上例中表明，超几何分布的参数

15、按我国教科书的习惯来表示，这里求出的期望和方差公式就与教科书上的相同了。in5中给出的参数是准确数 5，mathematica 在下面进行的仍是符号计算，得到准确结果。如果参数改为 5.0 ，则计算结果就都是近似值了。 in10是求 e ，expectedvalue 是一个很有用的函数，务必注意。2除了以上介绍的内容外，还有些不常用的函数本书没有列出，有兴趣的读者可以浏览help。2. 连续分布程序文件 continuousdistributions.m 中，含有用于连续分布计算的函数。其中常见的连续分布有：normaldistribution，uniformdistributionmin，m

16、axexponentialdistributionstudenttdistributionn正态分布。均匀分布。指数分布。t 分布。chisquaredistributionn 分布。2常用的求值函数与离散分布相同，这里不再列出。精品文档 （ ， ），求： （ 例5 计算：（1）n 0 1p 1.96）， （ p -1.96）， （ ）。p -1 2（2）n 8 0.5（ ， ），求： （ ）， （ ）。p 10 p 7 9解：in1：= statistics continuousdistributionsin2：= n=normaldistribution0，1；in3：=cdfn，1.96

17、out3=0.975002in4：=cdfn，-1.96out4=0.0249979in5：=cdfn，2.- cdfn，-1.out5= 0.818595in6：= n=normaldistribution8，0.5；in7：=cdfn，10out7=0.999968in8：=cdfn，9- cdfn，7out8=0.9545说明：在上例中，由于in2没有使用小数点，这时在 in5中需要使用小数点才能得到近似值，否则得到符号解。反之，由于 in6使用了小数点，后面的计算则不必再使用小数点了。如果使用人工查表的方法求 in7，还需要首先转换成标准正态分布，这里就显得方便了。例6 绘制 分布在

18、分别为 ， ， 时的分布密度函数图。n1 5 152解：in1：= statistics continuousdistributionsin2：=plotpdfchisquaredistribution1，x，pdfchisquaredistribution5，x，pdfchisquaredistribution15，x，x，0，30，plotrange0，0.2得到如图 13-46 所示的函数图形。图 13-46分布的分布密度图2说明：上例中的绘图语句使用了函数嵌套，其中的函数名较长，最好自制统计函数模板。因为这些统计计算都可以是符号的，所以能用于查询各种公式。以下是一个实例：精品文档 in

19、1：= statistics continuousdistributionsin2：=pdfnormaldistribution0，1，xx2e-2out2=2pin3：= n=normaldistribution，；meannout4= in5：=variancenout5= 2in6：= e=exponentialdistribution；meane1out7=lin8：=variancee1out8=l2in9：=expectedvaluex2，e，x2out9=l2三、 区间估计1. 总体数学期望的区间估计程序文件 confidenceintervals.m 中，含有用于总体参数区间估

20、计的函数。其中用于总体数学期望的区间估计的函数是：meancidata，knownvariancevar学期望的置信区间（基于正态分布）。meancidata已知方差 var，由数据表 data 求总体数由数据表 data 求总体数学期望的置信区间（方差未知、基于 t 分布）。其中参数 knownvariance 也可以改为 knownstandarddeviation，即已知标准差。以上两个函数由样本数据表 data 直接求置信区间。但有时已知的是样本平均值 ，这时x改用以下函数：snormalcimean，sd标准差已知，且 sd=，由样本平n均值 mean 求总体数学期望的置信区间（基于

21、正态分布）。精品文档 studenttcimean，se，dof用于方差未知，由样本平均值 means求总体数学期望的置信区间（基于 t 分布），其中，se =，而 dof 是自由度（等于 n - 1）。n以上函数都有可选参数：confidencelevel置信度，默认值为 0.95。例7 已知某炼铁厂的铁水含碳量（%）服从正态分布，现测得 5 炉铁水的含碳量分别是：4.28，4.4，4.42，4.35，4.37。如果已知标准差为 =0.108，求铁水平均含碳量的置信区间（置信度为 0.95）。解：in1：= statistics confidenceintervalsin2：= data=4

22、.28，4.4，4.42，4.35，4.37；meancidata，knownvariance 0.1082out3=4.26934，4.45866例8假定新生男婴的体重服从正态分布，随机抽取 12 名男婴，测得体重分别是（单位：g）：3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540。试求新生男婴平均体重的置信区间（置信度为 0.95）。解：in4：= data=3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540；meancidataout5=2818.2，

23、3295.13例9在例 7 中如果改为已知测得 9 炉铁水的含碳量的平均值是 4.484，其余条件不变，再求铁水平均含碳量的置信区间（置信度为 0.95）。解：in6：=normalci4.484，0.108 / 9 out6=4.41344，4.55456例10 铅的比重测量值服从正态分布，测量 16 次算出 x =2.705，s=0.029。试求铅的比重的置信区间（置信度为 0.95）。解：in7：=studenttci2.705，0.029/sqrt16，15out7=2.68955，2.72045当调入程序文件 confidenceintervals.m 时，为了计算各种统计量，这个程

24、序会自动调入程序文件 descriptivestatistics.m。因此，也可以首先由数据计算函数 studenttci 的各个参数，如下所示：in1：= statistics confidenceintervalsin2：= data=2.1，1.2，0.7，1.0，1.1，3.2，3.2，3.3，2.1，0.3；m=meandataout3=1.82精品文档 in4：= se=standarderrorofsamplemeandataout4=0.354275in5：=studenttcim，se，lengthdata-1，confidencelevel0.9out5=1.17057，2

25、.46943说明：上例中，in4利用数据直接求出 se，而不是像教科书上先求 s，in5示范了设置置信度为 0.9 的方法。2. 总体方差的区间估计对总体的方差进行区间估计的函数是：variancecidata分布）。由数据表 data 求总体方差的置信区间（基于由无偏估计样本方差 variance，求总体方差的2chisquarecivariance，dof置信区间，其中 dof 是自由度（等于 n - 1）。例11 试求例 8 的新生男婴体重方差的置信区间（置信度为 0.95）。解：in1：= statistics confidenceintervalsin2：= varianceci31

26、00，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540out2=70687.2，406072.例12 设炮弹速度服从正态分布，取 9 发炮弹测得无偏估计样本方差 s =11（m/s） ，22求炮弹速度方差的置信区间（置信度为 0.9）。解：in3：= chisquareci11，8，confidencelevel0.9out3=5.67474，32.2033四、 回归分析对于线性回归，如果只想得到回归方程，只要使用函数 fit 就行了。例13 已知某种商品的价格与日销售量的数据：价格（元） 1.0 2.0 2.0 2.3 2.5 2.6 2.8 3.0 3.3 3.5销量（斤） 5.0 3.5 3.0 2.7 2.4 2.5 2.0 1.5 1.2 1.2试求线性回归方程，再求价格为 4 时的日销售量。解：in1：=data1.0，5.0，2.0，3.5，2.0，3.0，2.3，2.7，2.5，2.4， 2.6，2.5，2.8，2.0，3.0，1.5，3.3，1.2，3.5，1.2；f