第4课二次函数的实际应用(面积最值问题)(教师)

1、 第 4 课时 二次函数的实际应用面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1运用配方法求最值；2构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3建立函数模型求最值；4利用基本不等式或不等分析法求最值例 1：在矩形 abcd 中，ab=6cm，bc=12cm，点 p 从点 a 出发，沿 ab 边向点 b 以 1cms的速度移动，同时点 q 从点 b 出发

2、沿 bc 边向点 c 以 2cms 的速度移动，如果 p、q 两点同时出发，分别到达 b、c 两点后就停止移动（1）运动第 t 秒时，pbq 的面积 y(cm)是多少？（2）此时五边形 apqcd 的面积是 s(cm)，写出 s 与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3）t 为何值时 s 最小，最小值时多少？答案：1(1)y = （6 -t）2t = -t + 6t22（2）s = 612 -（-t + 6t）= t - 6t + 7（2 0 t 6）22（3） s =（t -3）+ 632当t = 3时；s有最小值等于63例 2：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙

3、，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1 米宽的门（木质）花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为 米，面积为 s 平方米x则长为：32 - 4x + 2 = 34 - 4x(米)= x(34 - 4x)则： s= -4x2 + 3 4x 17428944(x)20 34 4x 10176 x21746s x， 与 的二次函数的顶点不在自变量 的范围内，x17而当6 xs x内， 随 的增大而减小，21742894x 6s4(6

4、)260(平方米)当时，max6答：可设计成宽 米，长 10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大例 3：已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 abcde （如图），其中 af=2 ，bf=1 试在 ab 上求一点 p，使矩形 pndm 有最大面积解：设矩形 pndm 的边 dn=x ，np=y ，则矩形 pndm 的面积 s=xy（2x）4易知 cn=4-x ，em=4-y 过点 b 作 bh pn 于点 h则有afb bhpafbfbhph2 4 x1 y 3，即，1yx 5，212s xyx 5x (2 x 4)，2此二次函数的图象开口向下，对称轴为 x=5，当 x5时，函数值 y

5、 随 x 的增大而增大，12 x 4s4 5 4 122 对于来说，当 x=4 时，2最大【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 4：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为 0.4米的正方形 abcd ，点e、f 分别在边 bc 和 cd 上，cfe 、abe 和四边形 aefd 均由单一材料制成，制成cfe 、abe和四边形 aefd 的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形e

6、fgh (1)判断图(2)中四边形 efgh 是何形状，并说明理由；(2)e、f 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形 efgh 是正方形图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕 c 点按顺(逆)时针方向旋转 90后得到的，故 ce=cf =cgcef 是等腰直角三角形因此四边形 efgh 是正方形(2)设 ce=x, 则 be=0.4x，每块地砖的费用为 y 元那么：y= x 30+ 0.4(0.4-x)20+0.16- x - 0.4(0.4-x)10= 10(x - 0.2x + 0.24)2= 10(x - 0.1) + 2.3 (0 x 0.4)2当 x

7、=0.1 时，y 有最小值，即费用为最省，此时 ce=cf=0.1答：当 ce=cf=0.1 米时，总费用最省作业布置：1(2008 浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度 (单位：米)与小球运动时间h(单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度h最大4.9 米 t=2(2008 庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是 8 层高，房子的价格 y(元/平方米)随楼层数 x(楼)的变化而变化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x，y)都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则 6 楼房子的价格为元/平方米5mabc12m提示：利用对称性，答案：20803如图

8、所示，在一个直角mbn 的内部作一个长方形 abcd，其中ab 和 bc 分别在两直角边上，设 ab=x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为( d )245d m2amb6 mc15 m4解：ab=x m，ad= ，长方形的面积为 y m2b adbc madmbnad mab 5 - x12=bn mb= (5 - x)，即，b12551212y = xb = x (5 - x) = - (x- 5x) , 当 x = 2.5时， y 有最大值2554(2008 湖北恩施)将一张边长为 30 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖

9、的长方体当取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ c ）a7b6c5d45如图，铅球运动员掷铅球的高度 y (m)与水平距离 (m)之间的函数关系式是：x1y = - x1225+ x + ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( d )233a6 mb12 mc8 md10m= 0，则： x2 - 8x - 20 = 0 (x + 2)(x -10) = 0解：令 yymaoxo（图 5）（图 6）（图 7）b6某幢建筑物，从10 m 高的窗口 a，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的40平面与墙面垂直，如图 6，如果抛物线的最高点m 离墙 1 m，离地面m，则水流落地点 b3离墙的距离

10、 ob 是( b )a2 m解：顶点为10b3 mc4 md5 m40(1, )34010y = a(x -1) +，将点(0,10)代入，a = -，设233403= - (x -1) += 0(x -1) = 4，得： ，所以 ob=3令 y2231= - x2 + 3.57(2007 乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y的一部分，如5图 7 所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ b ）a4.6mb4.5mc4md3.5m8某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 abcd，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围成若设花园的宽为

11、 x(m) ，花园的面积为 y(m)(1)求 y 与 x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？= x(40 - 2x) = -2(x - 20x)解： y2 = -2(x -10)2 + 2000 40 - 2x 1512.5 x 20二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当12.5 x 20内， 随 x 的增大而减小，y=12.5当 x时，y = -2(12.5 -10)2 + 200 = 187.5 (平方米)max=12.5答：当 x米时花园的面积最大，最大面积是

12、 187.5 平方米9如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x 米(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x50 - x解：(1)长为 x 米，则宽为米，设面积为s 平方米350 - x1s = x = - (x - 50x)2331625= - (x - 25) +233625当 x= 25时， s =(平方米)3max即：鸡场的长度为 25 米时，面积最大50 - x(2)

13、 中间有n 道篱笆，则宽为米，设面积为s 平方米n + 250 - x1= x = -(x - 50x)则： s2n + 2n + 21625= -(x - 25) +2n + 2n + 2625当 x= 25时， s =(平方米)+ 2maxn由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25 米即：使面积最大的 x 值与中间有多少道隔墙无关 10如图，矩形abcd 的边 ab=6 cm，bc=8cm，在 bc 上取一点 p，在 cd 边上取一点 q，使apq 成直角，设 bp=x cm，cq=y cm，试以 x 为自变量，写出 y 与 x 的函数关系式adqbcp解：apq

14、=90,apb+qpc=90.apb+bap=90,qpc=bap，b=c=90.abppcq.ab bp 6x=,= ,pc cq 8 - x y14= - x2 + x y6311(2006 年南京市)如图，在矩形 abcd 中，ab=2ad，线段 ef=10在 ef 上取一点 m，分别以 em、mf 为一边作矩形 emnh、矩形 mfgn，使矩形 mfgn矩形 abcd令 mn=x，当 x 为何值时，矩形 emnh 的面积 s 有最大值？最大值是多少？解：矩形 mfgn矩形 abcdmf=2mn =2x em=10-2xs=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.

15、50 2x 10 ，0 x 5当 x=2.5 时，s 有最大值 12.512(2008 四川内江)如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米答案：如图所示建立直角坐标系= ax + c(-0 . 5,1) (1, 2.5)， 代入，则：设 y2将点1 = (-0.5) +a = 22ac，解得 2.5 = a + cc = 0.5y = 2x2 + 0.5 顶点(0,0.5) ，最低点距地面

16、 0.5 米13(2008 黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积 s(单位：平方米)随矩形一边长 x(单位：米)的变化而变化 （1）求 s 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）当 x 是多少时，矩形场地面积 s 最大？最大面积是多少？60 - 2x= x = -x2 + 30x解 ：（1）根据题意，得s2自变量 的取值范围是= -1 02他至少获得 14 万元的利润因为，所以在对称轴x= 2的右侧，随 的增大而增大xz所以，当时， 的最大值为 32zx= 815(08 山东聊城)如图，把一张长 10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周

17、各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）要使长方体盒子的底面积为 48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去 2 个同样大小的正方形和 2 个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由解：（1）设正方形的边长为 cm，则即解得（不合题意，舍去），剪去的正方形的边长为 1cm（2

18、）有侧面积最大的情况设正方形的边长为 cm，盒子的侧面积为 cm2，则 与 的函数关系式为： 即改写为当时，即当剪去的正方形的边长为 2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为 40.5cm2（3）有侧面积最大的情况设正方形的边长为 cm，盒子的侧面积为 cm2若按图 1 所示的方法剪折，则 与 的函数关系式为：10 - 2xy = 2(8 - 2x)x + 2 x2即当时，若按图 2 所示的方法剪折，则 与 的函数关系式为：8 - 2xy = 2(10 - 2x)x + 2 x 2即当时，比较以上两种剪折方法可以看出，按图 2 所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为 cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm216(08 兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 16 所示)，拱 高 6m，