等差数列前N项和的性质及其应用上课讲义

1、 肥东锦弘中学高一年级数学公开课教案授课教师：吴晗班级：高一（11）时间：3 月 31 号下午第一节课课题：等差数列前n 项和的性质及其应用教学目标：（1） 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n项和公式研究 s 的最值。n（2） 经历公式应用过程。（3） 通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学方法解决问题。教学重点：熟练掌握等差数列求和公式。教学难点：灵活应用求和公式解决问题。教学方法：启发探究学法指导：自主

2、学习教学用具：粉笔、黑板、ppt教学过程：一、复习回顾（1） 等差数列的定义、通项公式、性质；（2） 等差数列前n 项和公式及其推导。二、新课讲解探 究 一 ： 等 差 数 列 前 n 项 和 公 式 可 以 转 化 为 关 于 n 的 一 元 二 次 方 程 ，n(n -1)dds = na +d = n+ (a - )n ，反过来如果一个数列的前n 项和是关于 n2222的一元二次方程，那么这个数列一定是等差数列吗？n111 例 1、如果一个数列 a 的前 n 项和为 s = n + n，求这个数列的通项公式，22这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？nn1112解：

3、当n 2时，当n = 1时，a = s - s = n + n - (n -1) + (n -1) = 2n -2222nnn-132a = s =11也满足上式。 1所以数列 a 的通项公式为a = 2n -2nn3 由此可见， 数列 a 是一个首项为 ，公差为2的等差数列2n课堂练习 1 1、如果一个数列 a 的前 n 项和为 s = n + n +1，求这个数列的通项公式，22这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？nn课本第 45 页的探究 a等差数列前n 项和的性质一： 数列 a 是等差数列 s = an + bn,公差为22nn探究二：既然等差数列的前 n 项和

4、 s 是关于 n 的一元二次方程，那么它的n最值怎么求呢？例 2：已知等差数列5,3,1l 的前n 项和为 s ，求使 s 最大的序号n 的值？nn解 1：由已知条件知，该等差数列首项 a = 5,公差d = -21n(n -1)s = 5n +(-2) = -n+ 6n = -(n - 3) + 9222n使 最大的序号 的值为3.snn解 2：由已知条件知， a = 5 - 2(n -1) = -2n + 7,a = -2n + 5nn+1 0572a由解得 n na 02n+1n = 3等差数列前n 项和的性质二： 0a不等式法求 s 的最值：若 a 0,d 0且，则 s 有最大值，若n

5、a 0n+1n1n 0aa 0且 ，则 s 有最小值。n 01ann+1也可以用二次函数的图像求最值，但要注意 n n *. ()例 3：已知数列 a 是等差数列，s 是其前 n 项和，求证：s , s - s , (s - s )nn61261812也成等差数列。解：设等差数列首项为 a ，公差为d ，则有：1s = 6a +15d, s = 12a + 66d, s = 18a +153d61121181 s - s = 6a + 57d, s - s = 6a + 87d126118121(s - s ) - s = 36d, (s - s ) - (s - s ) = 36d12661

6、812126(s s)s ,-,( - ) 是等差数列，公差为 36dss61261812 等差数列前 项和的性质三：n 若果数列 a 为等差数列，则 s , s - s , s - s ,l 也成等差数列，公差为 k2d 。nk2kk3k2k课堂练习： 2、已知 a 是等差数列：n（ 1 ） a + a + a = 5,a + a + a = 10,则,a + a + a =，123456789a + a + a =。192021（2） s = 25, s = 100,则s =。n2n3n 3、等差数列 a 的前n 项和为 s ，公差 = 2 ，若 s = 1，求a + a + a + ad

7、nn417181920例 4：有一等差数列共有2n(n n ) 项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24*和 30，若最后一项和第一项之差为 10.5，求此数列的首项、公差和项数。解：由题意知：s - s = nd = 6解得：n = 4,d =1.5偶奇a - a = (2n -1)d = 10.52n1333又q a + a + a + a = 4a +12d = 24,a = .首项为 ，公差为 ，项数为8222135711等差数列前n 项和的性质四： ssa若等差数列 a 共有 2n 项，则 s - s = nd,=，奇偶nn偶奇an+1sn若等差数列共有 2n -1项，则 s - s

8、 = a ， =奇-1奇偶中sn偶课堂练习： 4、若等差数列 a 的前n 项和为 s ，公差 d = 2 ，求nn（1）(a + a + a + a + a ) - (a + a + a + a + a + a + a + a + a（2）13579a + a + a + a2468三、课堂小结等差数列前n 项和的性质： a等差数列前n 项和的性质一： 数列 a 是等差数列 s = an + bn,公差为22nn 0a等差数列前n 项和的性质二：不等式法求s 的最值：若a 0,d 0且，nn1a 0n+1 0a则 s 有最大值，若 a 0且，则 s 有最小值nn1a 0n+1n 等 差 数 列 前 n 项 和 的 性 质 三 ： 若 果 数 列 a 为 等 差 数 列 ， 则ns , s - s , s - s ,l 也成等差数列，公差为 k d2k2kk3k2k 等 差 数 列 前 n 项 和 的 性 质 四 ： 若 等 差 数 列 a 共 有 2 项 ， 则nnssasns