许宪岳压电超晶格中极化激元的色散关系计算

1、百度文库-让毎个人平等地提升自我1绪论引言长期以来,人们对具有周期结构的物质的研究始终兴趣不减。晶体中的周期性势场导 致在其中运动的电子的能带结构，只有处于通带中的电子才能在晶体中自山运动，处于禁 带中的电子则不能传播。在诸如超晶格的人工材料中，对相关物理参数的周期性调制也 同样会引起带结构。比如对介电常数进行调制则形成光子晶体它在抑制自发辐射, 控制光的传播路径和制备新型激光器等方面有重要应用前景对非线性光学系数进行 调制则可应用于准位相匹配频率转换。近来山周期性弹性材料组成的声子晶体也引起 了人们的关注闪。这种调制结构可以拓展到准周期、非周期乃至二维结构.被调制的参数 可以更为复杂些，比如

2、对铁电畴或压电系数进行调制。两个其至更多的参数被同时调制 会引起一些耦合效应。在晶体中，电子、光子和声子之间会发生耦合。例如，在离子晶体中晶格振动的横光 学声子和光子的耦合产生极化激元并导致红外吸收。如果超晶格中铁电畴或压电系数受 到调制，则会引起超晶格振动和电磁波间的耦合。可以预讣在这样的人I:材料中会有类似 的诸如激发极化激元等效应的出现.这一想法已经在横超晶格振动与光子的耦合中得到 了证实【4】。国内外研究状况自从我国著名的科学家黃昆教授提出极化激元这一概念以来，对极化激元的研究一 直以来就是一个非常热门的领域。极化激元是凝聚态物质中一类重要的元激发，是电磁 波与物质极化波的混合态或耦合

3、模。1950年黄昆教授综合介质的电磁理论和晶格动力学理论对极性晶体提出了一对唯 象方程。这个方程提供了处理极性晶体光学振动的基础，称为“黃方程 1951年黃昆 教授从黃方程出发，乂推导出晶体中的声子与电磁波的耦合振荡模式。他所预见的声子 与电磁波的耦合振动模式于1963年首先被半导体磷化稼的Raman散射实验所证实，被 命名为极化激元。经过儿十年对极化激元探索，U前对极化激元的研究有了进一步的发展。上世纪70 年代末，在冯端教授的带领下，闵乃本教授等巧妙地利用了在晶体生长过程中出现的生 长条纹，成功地验证了准位相匹配理论。这一成功使闵乃本敬锐地意识到这类微结构材 料具有潜在的应用价值，于是萌生

4、了发展和建立一套有关该类材料的系统理论并探索其 应用前景的设想。经过儿年的研究提出了离子型声子晶体的概念，发展了相应的理论， 在实验上证实了离子型声子晶体中存在超晶格振动与电磁波的强烈耦合血7】,观察到原先 存在于离子晶体中的极化激元等长光波行为同，预言了一些可能的物理效应。后来，自 1980年以来他们将超晶格的概念从半导体推广到电介质，制备了周期和准周期介电超 晶格，实现了二次谐波产生、多波长二次谐波产生、三次谐波产生、光学双稳以及超高 频超声波产生。另外他们乂通过对介电材料中微结构的设计与控制，研制成介电超晶格 材料。利用其中的线性、非线性效应，实现了对光、声的频率、强度、位相、偏振、传

5、播方向等的转换和控制。构建了介电超晶格中电磁波、弹性波、极化激元传播与激发的 理论体系，发展了介电超晶格材料的设计、制备的理论、方法和工艺，发现了一批新的 物理效应，并研制成相关器件原型。他们主要成就有：将准位相匹配理论拓展到耦合参 量过程，建立了多重准位相匹配理论，设计制备了准周期光学超晶格【931,实验证实了 多重准位相匹配理论，并获得激光三倍频的高效转换，为在国际上形成“准位相匹配材 料”研究热点做出了贡献】；与全固态激光技术相结合，研制出全固态超晶格多色和白 光激光器。发展了二维光学超晶格中的四波动力学理论，预言并证实了其中存在光学双 稳，失稳、混沌现象，提出了新的光学双稳机制。设计制

6、备了二维“ *2）非线性光子 晶体”，发现了材料中光散射的准位相匹配倍频增强效应。建立了超晶格中超声波传播 与激发的理论，研制出高频超声原型器件；提出了离子型声子晶体概念，预言并验证了 介电超晶格中山超晶格振动与电磁波耦合产生的极化激元，将长波光学性质山红外波段 拓展至微波波段说】。近来，朱永元教授等在压电晶体中发现了一种在离子晶体中不可能存在的新型极化 激元山】：由于压电效应的各向异性，超晶格横振动和纵振动都有可能伴随着超晶格的横 向极化，该极化与电磁波耦合，都导致极化激元的产生3】，从而扩展了极化激元的概念。 尤其是在铁电超晶格中的声波与电磁波的耦合，提出了一种新的极化激元的概念。其物 理

7、思想是山于铁电超晶格中声学声子色散关系的折叠效应，使晶格振动声学支与电磁波 通过压电效应发生耦合，形成极化激元l,5,6,o课题研究方向与研究内容本论文首先研究了离子晶体中的长光学横波与电磁波的耦合波，接着主要研究了在 压电超晶格中纵向声波通过压电效应与电磁波的耦合，用平面波展开方法推导出极化激 元的色散关系方程，探讨了铁电调制结构的结构参数对极化激元色散关系的影响。全文 共分成三章：第一章是对极化激元的研究历程做了一个简单的综述，并对本课题的研究背景、思 路和II的做简要的说明。第二章介绍离子晶体中的长光学横波与电磁波的耦合波，并讨论了格波与电磁波耦 合产生新耦合波的情况。第三章介绍极化激元

8、的相关知识，推导压电方程，具体讨论一种特殊情况下压电超 晶格材料中沿X轴方向传播的纵向声波与电磁波的耦合性质，用平面波展开法推导出极 化激元的色散关系的方程。在长波近似下研究压电超晶格中纵向声波通过压电效应与电 磁波发生耦合形成的极化激元的性质。讨论铁电调制结构的结构参数对这种极化激元色 散关系的影响。32离子晶体中的极化激元离子晶体中长光学横波与电磁波的耦合严格讲，离子晶体长光学波的振动必然伴随交变的电磁场，严格的理论应当以麦 克斯韦的电磁方程代替前面采用的静电方程.这样把电磁方程和晶格的唯象方程结合以 后，实际上所研究的对象就成为品格的长光学振动和电磁场相耦合的系统,通过求解得到 的振动模

9、实际上代表了格波和光波的耦合振动模。黄昆在1951年首先提出了这个概念, 并且对这种耦合模的性质进行了系统分析.后来证明不仅格波有这样的耦合模式,另外如 等离子振荡、激子、自旋波等也都有类似的现象，统称为极化激元。我们同时也写出描写光波的麦克斯韦方程组和晶格的唯象方程如下：Vx = -/0dH討+P)(2-1)d2WP = bi2V+h22E设解的形式为W =exp/( r-dX)(2-2)P = expz(6/ 厂-曲)E =exp/( r-6X)H = Hq expz(67 p 効)代入上述六个方程，得(2-3)qxE =从qxHo=-e(oE()+ &)才(咼+吒)=0qHo = o-九

10、垃从后两式可得百度文库让每个人平零地捉升自我7+ 仇2 （）代入（23）式中的第3式得到（心*讥一岛卜这时有两种悄况:（1）纵波：gE（）H0有(2-4)(2-5)(2-6)这就意味着(s)得到LST关系.（2）横波:go=O,即g丄仇而且山（23）式知道三者是互相垂直的，所以有:qE =如叽也胡叭+,）=%+如这两个式子联立，求得% +C01(2-7)(2-8)(2-9)% 1 = -%) -昵=-人帆+人2血 .岛=712% + ?2土0图长光学横波和电磁波的耦合百度文库让每个人平零地捉升自我格波产生晶体的极化，极化与电磁波相互作用，岀现的是电磁波和格波的混合模式, 这种耦合模式被称为极化

11、激元。从图的色散关系可以看出，的频率范围是一 个能隙，其间不会有电磁波在晶体中传播。那么长声学支能否与电磁波发生耦合？在压电晶体中利用压电效应，可以使声学支图铁电畴调制结构压电超晶格中的长声学波简约布里渊区图像如图图简约布里渊区图像山图可以知道长声学模和电磁波可以实现相位匹配.压电超晶格中的长声学波与电磁波 的一阶耦合模的色散关系如图，这是有闵乃本等人研究出来的。1JJ111.O1 名一冬(b)(JO丿Jr111OJXIX) OJJB1 O.BXE 0.0003 aOOM 43KAxla图一阶极化激元的色散关系通过以上的说明我们得出两个结论：1山于电偶极距与电磁波之间的电磁相互作用，离子晶体中

12、的长光学波和电磁波耦 合在一起，形成极化激元；2通过压电效应，压电超晶格中的长声学波也能与电磁波发生耦合，形成压电极化 激元。压电方程在绝热的过程中爛变为零= 应力T和电场E为自变量，热力学函数为焙IIIdU = dw+dQ = TdS + EdD + KdpH=U-TSED得到dH = Kdp-SdT-DdE:焙的全微分的分量式为(3-1)(3-2)(3-3)(3-4)式中应变S和电位移矢量D都是自变量E, X, 0的函数，将它们在平衡态附近作泰勒展开,只取到线性项有(3-6)定义如下:(3-7)定义为恒电场和恒爛时的弹性柔顺常量张量的分量;(3-8)定义为恒应力和恒爛时的压电应变常数张量的

13、分量;(3-9)定义为恒电场和恒嫡时的压电应变常数张量的分量;dEn(3-10)定义为恒应力和恒嫡时的介电常数张量的分量;将公式(3-5)分别代入上述四式，可得dD二 C D” = 口 dEa na(3-H)把描述晶体物理性质的张量代入式(3-6)中，并采用不注爛符号的惯例，有(3-12) (3-13)这便是以应力T,电场强度E为自变量，以应变S,电位移矢量D为应变量的压电方程15百度文库让每个人平零地捉升自我冋，用缩减指标的矩阵分量表示为Da=Tj+,En矩阵式为S = nET + d,ED = dT + rE(3-14)(3-15)(3-16)(3-17)从第一类压电方程的形式可知，当晶体

14、的边界条件满足和70时，用它求解比较 方便。实际的边界条件，电学上有两种，即电极开路和短路，对应的是民0和D=0或 为常数；力学上也有两种，对应的是自山和夹持，自山时T=0,夹持时7M)或为常数。力学和电学的组合可构成四种边界条件.对应四种边界条件，可得四类压电方程，我们可以 得到四类压电方程，第一类我们已求出，按照同样的方法我们可求得其他三类压电方程 如下：第二类压电方程，矩阵分量表示为7；=邸厂讣(3-18)Dm = %S 严略 E”(3-19)矩阵式为T = cES-etE(3-20)(3-21)第三类压电方程，矩阵分量表示为6=噹Tj+乩几(3-22)式为E产gjj+心S= + gQ(

15、3-23)矩阵(3-24)E = -gT + /1 D第四类压电方程，矩阵分量表示为(3-25)D = eS + esE(3-26)(3-27)矩(3-28)TcS-h.阵式为E” = -瓜3 + rjlnDmT = cDS-h,DE = -hS + 75D(3-29)上列各式中g，九和d都是压电常数张量，分别为压电应力常数张量、压电电压常数 张量、压电刚度常数张量、压电应变常数张量。与0, c与”互为逆矩阵，分别为介 电隔离常数、介电常数、弹性刚量常数、弹性柔顺常数张量。用平面波展开法计算声子-极化激元的色散关系压电超晶格中的非正常特性可以在极化子的色散关系中得到。我们举一个有3加个 点群的

16、一维压电超晶格为例。它山周期性颠倒的铁电域组成的，例如周期性极化的 LiTaO3晶体。对山纵向超晶格振动引起的极化子，我们选择的结构是以X轴表示铁电 域，见图。一列Y方向极化的电磁波沿着压电超晶格的X轴方向传播。我们用表示正 极区域的厚度，用表示负极区域的厚度，那么，区域周期为A = a + bo(a)图一维压电超晶格示意图周期性极化的铁电区域用x轴表示。Z轴正向箭头指着正极区域.沿着相反方向为负极区域。对于在无磁介质中传播的远离辐射源的电磁波，电荷密度和电流密度都为0, Maxwell方程组中导磁率张量退化为标量。讨论一下纵向超晶格振动的情形。压电方程、 Maxwell方程组和运动方程做简化

17、为如下：7； (x, r) = C+ e22 (x) E2 (x, 0(3-30)D2(xJ) = -e22(x)S (x J) + 匂崙 E2 (xj)(3-31)(3-32)其中 22W=G2/(X), /(%) = + 1,正方向区域(-%-)一1,负方向区域(-%)这里(八冇2“)分别表示压力、张力、电场强度、电位移和位移，这些量都是时 间和空间的函数。C二如局，从4分别是弹性系数、介电系数、真空渗透性和质量密度。 这里，物质的阻尼忽略不计。在方程(3-30)、(3-31)和(3-32)中，把压电方程代入Maxwell方程组、运动方 程，与S, =du /dx合并得到：(3-33)dr

18、 11 dx2dx(3-34)25用分离变量法，我们把E2(xJ)和“id 写成E2(xj) = E2(x)e,a.ul(x9t) = ul(x)e并代入等式(3-33)和(3-34)得到：(3-35)声眉毘=气单+ “局2(兀)气巴dxdx(3-36)这里ua=4Jp代表着纵向超晶格振动的相速度。用x = Ax1(171)代入，那么PSL的周期将变成2/r,第一布里渊区的边界将取决于新 坐标下的波矢=刃(2兀)=0.5。在方程(3-35)和(3-36)中，把第二个方程代入第一 个结果：(3-37)(3-38)Qg) = -(1 + 0)今学- W)十卫,dx ax 这 里 E(xf) = A

19、eE2(xt)/(2),U(x,)=dul(x9)/dx, + Ae22E2(xf)/(2nC),Cl = a)/a)Q ,叫=2叱/八纵向超晶格振动的共振基频取决于压电效应2425 o “1/“声局讶 和=都是常数，0是个电-机耦合系数。显然Eg)和5小是连续函数，当t/(Z) = A7；(Z)/2 ,由于声学边界条件可(小也是一个连续函数。利用傅立叶变换和布洛赫理论：(3-39)(3-40)(3-41)Eg = 2?屮严“2宀汁(岳严畑严I这里勺心和叫+乩是傅立叶系数。r = a/b占空系数，kH =勿2 =龙( =0,1,2)。把方 程(339)、(3-40)和(3-41)代入(3-37

20、)和(3-38)式中有:(3-42)(3-43)=a(k + k$s% +0工人伙 + 匕)叫Z+如=(1+0)伙+匕刊叫+吃I 伙+财,Q【-a(R-町0孤(50Q(R + N)2也川+町叭加MY朋+M)2 阪川-的也ZY(1 + 0妝_町_Q200. (l + 0 + M也Smi k.h 丿(3-44)认为就是正常解方程(344)就是一个本征值问题。这里和0是两个无量纲的量, 波矢和频率。给定一个k值，能找出若干个。与其对应。在一般情况下kG 我们 在这里可以考虑在长波近似下计算色散关系长波近似下极化激元的色散关系我们知道压电材料受力时会产生电极化,同样受到外电场作用时将发生应变这样，压

21、电超晶格振动会被在其中传播的电磁波激发岀来，另一方面超晶格振动也会激发电极化. 压电体超晶格的结构、其材料的对称性以及压电效应决定其产生纵向极化还是横向极化, 横向极化将会激发出电磁波，并与原来的电磁波耦合.正是通过压电效应，纵振动才能够与 电磁波发生强烈耦合，并且在微波波段产生极化激元和介电异常等物理现象.为了清晰 地说明上述思想,我们考虑下列情况.以周期极化釦酸锂晶体构成的压电体超晶格为例, 周期畴沿X轴方向排列，其中占空比= /工1,其结构示意图如图,图中仅示出此压电体超晶格的五个周期，畴的自发极化沿Z方向假设压电体超晶格的横向尺寸远远大于声波 波长，该体系便可以用一维模型来简化处理，其

22、中y方向偏振的电磁波沿x方向传播.在此 情况下，该体系会激发出纵超晶格振动.图周期极化釦酸锂晶体结构示意图T=CS+e22(x)E2适合于这一悄况的压电方程为：(3-45)(3-46)英中,正轴区(-a/2xa/2),负轴区(一 A/2 x 一g/2,g/2 x(3-57)取m=l/ s(t喝q： sin|/77；zr(r + l)的情况下如叫1+曲胡I J(3-58)这里cog=mco =血叫且m取1, 2, 3,等等，其中代表压电效应产生的百度文库让每个人平零地捉升自我超晶格纵振动的谐振频率，匕=尿作表示声速。纵声波引起的横向电极化与电磁波间的耦合产生的极化激元的色散关系可山方程（3-6）

23、和（3-58）以及麦克斯韦方程导出* S 1 r = 1 + co8f；2 coj s in 2m+1)(3-59)29其中c是真空中电磁波的传播速度.1.27-00010.003.00GA1X)/V3理论计算的极化激元的色散关系上述结果类似于离子晶体中极化激元的色散关系在那里电磁波与横光学声子强烈 耦合.图显示的是方程（3-58）所描述的压电体超晶格中光子与纵声子的一阶耦合模.实 线标记的是匕=- = c/ 对应于未与超晶格振动耦合的电磁波的色散关系，虚线表示 K未与电磁波耦合时的超晶格振动的色散关系，该关系山布里渊区折叠所致.共振时电磁 波与超晶格振动具有近乎相等的频率和波数,图中山A标记

24、的实虚线的交点区域即为共 振区.共振频率山压电体超晶格的周期大小决定，可以看出共振处电磁波与超晶格振动的 耦合完全改变了其传播特性。黑线代表纵声学波产生的横向电极化与电磁波耦合的色散 曲线，共振区域的传播模既非纯的光学模，也非纯的纵声学模.而通常离子晶体中出现的 是光子与横光学声子的耦合，其耦合场的量子称为极化激元而这里出现的是一种新型的 极化激元.这种耦合引起的一种效应是在和畋之间出现电磁波的频率带隙.在方程（357）中通过置） = 0,我们可以得到禁带最高截止频率。那就是:(3-60),sin2mr/(r +1)轴=% 1+_当电机耦合系数Z? = 4/CXi小于1，方程（3-60）可以近

25、似为(3-61)因此对于任意占空比的极化激元，带隙宽度决定于:(3-62)4sin2 m nr/(r +1)e；2在这里材料是看成无阻尼的，公式（3-62）显示带隙与序数m和材料的参数有关, 所以可以通过改变占空因数，选择不同的材料以及改变结构来调整带隙的值。根据式 （3-62）就很能说明为什么带隙会有不同的值，对于相同的m的两种不同结构，机电耦 合系数、占空系数都将不同。当m为偶数和占空比接近1或者m是3的倍数和占空因 数接近2时，（3-62）式右边的正弦因子趋近于0.4结论本文主要是利用平面波展开方法研究压电超晶格中一种新型极化激元的性质，这种 极化激元是山于纵向声波通过压电效应与电磁波发

26、生耦合而产生的。我们首先从介绍黄 昆教授的黃昆程出发，推导出晶体中的光学声子与电磁波的耦合振荡模式。接着推导了 铁电材料中的压电方程。在此基础上，我们研究了在铁电超晶格中纵向声波通过丿玉电效 应与电磁波的耦合，用平面波展开法推导出极化激元的色散关系方程，并对长波近似下 色散关系方程进行了数值汁算，画出了极化激元的色散关系曲线，探讨了铁电调制结构 的结构参数对极化激元色散关系的影响。最终发现带隙与序数m和材料的参数有关， 所以可以通过改变占空因数，选择不同的材料以及改变结构来调整带隙的值。参考文献1 E. Yablonovitch, Phys. Rev. Lett. 58, 2059 (1987

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29、421.8 黄昆，韩汝琦.固体物理学M.北京：高等教育出版社，1988： 103-115.9 张浩，朱永元广义Fibonacci光学超晶格的分类J.南京大学学报(自然科学版), 2004, 28(04),120-123.10 Yan-Qing Lu.Quan Wang,Yuan-Xin Xi, Zhi-Liang Wan,Xue-Jing Zhangand Nai-ben Ming. Fabrication of the ionic-type phononic crystal and its long-wavelength optical properties J. Ferroelectric

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