详解十五道高中立体几何典型易错题

1、例1设有四个命题： 底面是矩形的平行六面体是长方体； 棱长都相等的直四棱柱是正方体； 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体; 对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D . 4分析：命题是假命题.因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体. 底面是矩 形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；命题是假命题.底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题是假命题.因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直.命题是真命题，如图所示，平行六面体ABCD -A1B1C1D1中所有对角线相等，对角面B1BDD1是平行四边

2、形，对角线BD1 BQ，所以四边形 B1BDD1是矩形，即BB1 BD，同理四边形 AACG是矩形，所以AA1 AC，由AA1/BB1知BB1底面ABCD，即该平行六面体是直平行六面体.故选A.说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形 状及侧棱与底面的位置关系来解题.F面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的.见表表平行四边形平行六面体对边平行且相等相对的侧面平行且全等对角线交于一点，且在这一点互相对角线交于一点且在这一点互平分相平分四条边的平方和等于两条对角线十二条棱的平方和等于四条对的

3、平方和角线的平方和典型例题二例2如图，正四棱柱ABCD - ABQP 中，对角线BDi 8 , B0与侧面BBQQ所成角为30，求：（1） BD!与底面ABCD所成角；（2）异面直线BDi与AD所成角;（3）正四棱柱的全面积.分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面ABCD、ABiCiDi是正方形，长方体中有比较多的线面垂直关系，而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件.题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它们转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系.异面直线BDi与AD所成角通过AD / ADi，落实为具体的A,DiB .正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面

4、积公式.解：（i）在正四棱柱 AiC中，：DiCi面BBiCiC， Di BCi 是 DiB 与侧面 BBiCiC 所成角，即 DiBCi 30 .BDi 8， DiCi 4， BCi 4 3，T ABiCiDi是正方形， BiCi DiCi 4，DiD 平面ABCD，DiBD是DiB与底面ABCD所成角,在 Rt DiDB 中，BD BiDi 4.2， BDi 8， cos D1BD, Di BD 45 ,BD12即BDi与底面ABCD所成角为45 .(2) v AD / A, D1 , ADiB是BD,与AD所成角(或补角).T DiAi 平面 AAiBiB，二 Di A, A,B ,Rt

5、 A,D,B 中，A,D,4 , BD,8 ,1 cos AD,B, AD,B 60 ,即异面直线AD与BD,所成角为60 .(3) Rt BBQ 中，B,G 4， BC, 4、3 .BB,4.2，S全 24 4 4 4 2 4 4 23222 1 .说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直 关系是灵活解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条 件.典型例题三5，AB 12，求直线 BiCiA8例3如图，已知长方体ABCD-AiBiCiDi中，棱长AA, 与平面ABCD,的距离.分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点 到平面的垂线，而找平面的垂线

6、的一个很有用的思路 是，找平面内一条直线与某一平面垂直，这里我们不 难看出，长方体中有CB 平面AA,BB,，这样，只要 作 B,H A,B，又有 B,H CB，得到 B,H 平面 BCD,A,.解：长方体ACi中，有BC 平面AABBi ,过Bi作B“H A“B于H ,又有BC B1H , BiH 平BCDiAi，即BiH是BG到平面 ABCDi的距离.AB 13，二 B1H6013在 Rt BB1A1 中，由已知可得， BBi 5，A1B1 12 ,即B1H是B1C1到平面A1BCD1的距离为 一.13说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系， 正方体除此之外，还有对角线与对角 面的线面垂直关

7、系，比如，求正方体 AC1中，AG与面GBD所成角.这里，要找A1C1与GBD所成角，必须找A1到平面GBD的垂线，因为BD 面AAQC， 在对角面 AC1内，过A1作A1H OC1于H，则BD A1H，所以AH 面C1BD， 可以得到 ACQ为A1C1与面GBD所成角，在对角面AA1C1C中可计算A1C1O arctan . 2 .典型例题四例4如图，已知直三棱柱 ABCD-AB1C1D1中，AB AC，F为侧棱BB1上一点，BF BC 2a，FB1 a . (1)若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任 一点，求证：EF FC1 ; (2)若AB1 3a，求F。与平面AA1B1B所成角

8、的大小. 分析：E点在AD上变化，EF为平面ADF内变化的一组相交 直线(都过定点F )，要证明GF与EF垂直，必有GF 平 面ADF .求FC1与平面ABBd所成角的关键是找 G到面ABB1A1的垂线，从而落实线面成角，直三棱柱中，侧棱AA1 平面A1B1C1给找点C1到面AB1的垂线创造了方便的条件.解：(1)v AB AC，且 D 是 BC 的中点， AD BC，又 直三棱柱中BB1 平面ABC，二AD BB1 , AD 平面 BB1C1C，二 AD C1F .在矩形 BB1C1C 中，BF BC 2a , B1F a , DF5a , FCi , 5a, DCi 10a , DF2 F

9、Ci2 DCi2，二 DFCi 90，即 F DF , FC1 平面 ADF , FC1 EF .(2)过 C1 作 C1H A1B1 于 H ,： AA1 平面 A1B1C , AA1 C1H , C1H 平面AAB1B，连接FH , C1FH是GF与平面AB1所成角.在等腰 ABC 中，AB AC 3a , BC 2a , AD 2 .2a ,在等腰 AEG中，由面积相等可得，C1H 3a 2-2 2a , C1H子，又 C1F 5a，在 Rt C1HF 中，sin C1FH4 1015C1FHarcsin 15即GF与平面AB1所成角为.4山0 arcs in15说明：由于点E在AD上变

10、化，给思考增加了难度，但仔细思考，它又提供了解 题的突破口，使得线线垂直成为了 CF1与一组直线垂直.本题的证明还有一个可行的思路，虽然E在AD上变化，但是由于 AD 平面BB1C1C , 所以E点在平面BC1上的射影是定点D , EF在平面BC1上射影 为定直线DF，使用三垂线定理，可由 GF DF，直接证明 C1F EF .三垂线定理是转化空间线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具，再看一个例子，正方体 ACi中，0是底面ABCD的中心，E是ABi上动点，F是DDi中点，求AF与0E所成角.我们取AD中点G，虽然E点 变化，但0E在面ADi上射影为定直线A1G，在正方形AAiDiD中，易证

11、AB AF，所以，AF 0E，即AF与0E所成角为90 .C典型例题五例5如图，正三棱柱ABC - A BiCi的底面边长为4,侧棱长为a，过BC 的截面与底面成30的二面角，分别就(i) a 3 ; (2) a i计算截面 的面积.分析：要求出截面的面积，首先必须确定截面的形状，截面与底 面成30的二面角，如果a较大，此时截面是三角形；但是如果 a较小，此时截 面与侧棱不交，而与上底面相交，截面为梯形.解：截面与侧棱AAi所在直线交于D点，取BC中点E，连AE、DE， ABC是等边三角形，二 AE BC，T AA 平面 ABC，二 DE BC . DEA为截面与底面所成二面角的平面角， DE

12、A 30 .等边 ABC 边长为 4，二 AE 2、3 .在 Rt DAE 中，DA AE tan DEA 2 .(i)当a 3时，D点在侧棱AAi上，截面BCD，在 Rt DAE 中，DE AD2 AE24，1 1 S BCD BC DE 4 4 8 .2 2(2)当a 1时，D点在AAi延长线上，截面为梯形 BCMN， AD 2 , AA11二MN是厶DBC的中位线,33 c cS弟形BCMN4Sdbc 4 8 6.说明：涉及多面体的截面问题，都要经过先确定截面形状，再解决问题的过程, 本例通过改变侧棱长而改变了截面形状， 我们也可以通过确定侧棱长，改变截面 与底面成角而改变截面形状.典型

13、例题六BC 2，AC 2 一 3，例6斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C 底面ABC，ABC 90，AA, AC，且 AA1 A,C .(1) 求AAi与平面ABC所成角；(3)求侧棱BBi到侧面AAGC的距离.(2) 求平面AiABBi与平面ABC所成二面角的大小；分析：按照一般思路，首先转化条件中的面面垂直关系, 由A,A AiC，取AC的中点D，连A,D，则有A,D AC，从而有A,D 平面ABC， 在此基础上，AA与底面所成角以及平面AiABBi与底面所成二面角都能方便地找 到，同时AD 底面ABC也为寻找B点到面AAiCiC的垂线创造了条件.解：(1)取AC的中点D，连

14、接AiD， AA AC，二 A1D AC，平面 AA1C1C 底面 ABC， AD 底面ABC，a a,AC为AA与底面ABC所成角.AA| A1C且 AA1 AQ，A1 AC 45 .(2)取 AB 中点 E，则 DE / BC，ABC 90 CB AB，二 DE AB .连AE，： AD 底面ABC，二AE在平面ABC上射影为DE， AE AB，二 AED为侧面AiB与底面ABC所成二面角的平面角.在等腰 Rt A,AC 中，AC 2 3，二 AD .3 .在 Rt ABC 中，BC 2，二 DE 1 .在Rt ADE 中，tan AED 型,3，DE AiED 60，即侧面AA1B1B与

15、底面ABC所成二面角的大小为60 .(3)过 B 作 BH AC 于 H，T AD 底面 ABC， AD BH， BH 平面 AA1C1C，在 Rt ABC 中，AC 2、3，BC 2， AB 2、2，.bh AB BC 2 6，即 BBi到平面AAiCiC的距离为.AD 33说明：简单的多面体是研究空间线面关系的载体，而线面垂直关系又是各种 关系中最重要的关系，立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系，所以在几何体中发现并使用线面垂直关系往往是解题的关键.典型例题七例7斜三棱柱ABC-AiBiCi的底面 ABC是直角三角形，C 90，BC 2cm，B在底面上的射影D恰好是BC的中点，侧

16、棱与底面成60角，侧面AABB与侧面BBiCiC所成角为30，求斜棱柱的侧面积与体积.分析：Bi在底面ABC上射影D为BC中点，提供了线面垂直BD 平面ABC，另外又有 C 90，即AC BC，又可以得到AC 平面BBiCiC，利用这两个线面垂直关系，可以方便地找到 条件中的线面角以及二面角的平面角.解：Bi在底面ABC上，射影D为BC中点. B1D 平面 ABC . BiBD为侧棱BiB与底面ABC所成角，即 B“BD 60 ,v C 90，即 AC BC，又 AC B1D , AC 平面 BBiCiC，过 A作 AE B“B 于 E，连接 CE，则 CE BiB . AEC是侧面AAiBi

17、B与侧面CCiBiB所成二面角的平面角， AEC 30，在直角 CEB 中，v CEB 60， BC 2，在直角 ACE中，CEA30，CE3，二 AC EC tan301，AE2AC2，在直角 B1DB中，BiBD60，BD-BC 12 BB1 2BD 2， B1D BB1 sin60.3 .侧面积为S侧CE BB1 AE BB1 AC AA1CE 、3，.32 12.3 3223,3 cm2.体积为 V Sabc BD 丄 AC BC B1D - 1 2 、3 3cm3.2 2说明：本例中 ACE是斜棱柱的一个截面，而且有侧棱与该截面垂直，这个截面称为斜棱柱的直截面，我们可以用这个截面把斜

18、棱柱分成两部分， 并且用这两部分拼凑在一个以该截面为底面的直棱柱，斜棱柱的侧面积等于该截面周长 乘以侧棱长，体积为该截面面积乘以侧棱长.典型例题八例8 如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，已知AB AD 2a , AA a，又 A AD DAB A AB 60(1)求证：AA, 截面BQ.C ;(2)求对角面A,ACC,的面积.分析：(1) 由题设易证AAi B1D1，再只需证AAi BiC，即证CCi CDi .而由对称 性知，若CC1 B1C，则CC1 CD1，故不必证 AA B1D1 .(2) 关键在于求对角面的高.证明：(1)v B1C1 AD 2a，CC1 AA a

19、， B1C1CA,AD 60 ，在 BiCiC中，由余弦定理，得 BiC2 3a2 .再由勾股定理的逆定理，得CiC BiC .同理可证：C1C CD1 . C1C 平面B1D1C .又 C1C/A1A， AA1 平面 B1D1C .解：(2)： AB AD，平行四边形ABCD为菱形.AC为 BAD的平分线.作A1O 平面AC于0，由 AiADAAB，知 O AC .作 AM AB 于 M，连 0M，则 OM AB .在RtA AM 中，AMA A cos6012a，在RtAOM 中,AOAM sec30a3 .在RtA1AO 中，AO.A1A2 AO2店a .:3又在 ABC中，由余弦定理，

20、得 AC 2、3a .-Saiacc1 AC A|02 2a .说明：本题解答中用到了教材习题中的一个结论一一经过一个角的顶点引这 个角所在平面的斜线.如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.另外，还有一个值得注意的结论就是：如果一个角所在平面外一点到角的两 边所在直线的距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直 线上.典型例题九例9如图所示，已知：直三棱柱ABC AB1C1中，ACB 90 , BAC 30 ,BC 1, AA .6，M 是CCi 的中点.求证：AB1 A1M .分析：根据条件，正三棱柱形状和大小及M点的位置都是确定的

21、，故可通过 计算求出AM与ABi两异面直线所成的角.因为 BiCi CiC，B1C1 A1C1，所以 BiCi 侧面 AAiCiC . ACi 是斜线 ABi 在 平面AAiCiC的射影，设ACi与AiM的交点为D，只需证得 MDCi 90即可.证明： BiCi CiC ， Bi Ci A Ci ， Ci C 与 AiCi 父于点 Ci， B1C1 面 AA1C1C .1 J6T M 为CCi 的中点， MCiCiC -2 2在 Rt A1C1B1 中， B1A1C130 ， A1B1 2B1C1 2， A1C13 .在 Rt A1C1M 中,AiM W2曲建E評 在 Rt AA1C1 中，A

22、C1 . AAA AG2. .62 . 32 3 .又 MDCAs ADA 且 AAA : MC 2 ,11 3A二 MDAM2 、2 ,3 3 2211CAD AG 3 1.33A 23在 MDCA 中，MD2 CAD22 1222C1MC1DM 90 , AM AC1，二 AMAB1 .说明：证明两直线垂直，应用三垂线定理或逆定理是重要方法之一.证明过 程中的有关计算要求快捷准确，不可忽视.本题证明两异面直线垂直，也可用异 面直线所成的角，在侧面AAGC的一侧或上方一个与之全等的矩形，平移AM或AB1，确定两异面直线所成的角，然后在有关三角形中通过计算可获得证明. 典型例题十例10长方体的

23、全面积为11,十二条棱长度之和为24,求这个长方体的一条对 角线长.分析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可. 解：设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，对角线长为I，则由题意得:2(xy yz zx) 114( x y z) 24由得：x y z 6，从而由长方体对角线性质得:l x2 y2 z2(x y z)2 2(xy yz zx) . 62 11 5.长方体一条对角线长为5.说明：(1)本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力.在 求解过程中，并不需要把x、y、z单个都求出来，而要由方程组的从整体 上导出x2寸z2，这需要同学们掌握一些代数变

24、形的技巧，需要有灵活性.(2)本题采用了整体性思维的处理方法，所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式，整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特 征作出整体性处理.整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作 整体变换，或整体代入，也可以对图形作出整体处理.典型例题十一例 11 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB a， BC b，BB, c，并且 a b c 0 .求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.分析：解本题可将长方体表面展开，可利用在平面内两点间的线段长是两点 间的最短距离来解答.解：将长方体相邻两个展开有下列三种可能，如图.三个图形甲

25、、乙、丙中ACi的长分别为:(ab)22 ea2b22 e2aba2(be)2a2b22 e2be(ae)2b2a2b22 e2aeI a b c 0, ab ab be 0.故最短线路的长为.a2 b2 e2 2be .说明：(1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线ACi a2 b2 e2是最短线路.(2)解答多面体表面上两点间，最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开， 转化为求平面内两点间线段长.典型例题十二例12设直平行六面体的底面是菱形，经下底面的一边及与它相对的上义面的一边的截面与底面成60的二面角，面积为Q，求直平行六面体的全面 积.分析：如图，由于DD面AC .

26、作出截面与底面所成的二面角的平面角DHD后，因Rt DDH中 DHD 60，可分别求出DD、DH和DH的值.又 上下底面的边长是相等的，便可进一步求出全面积.解：设平行六面体为ABCD abcd，过D作DH AB，H为垂足，连结dh . DD 平面 ABCD， dh AB， DHD 60， dddh , DH dh .2 2又在菱形ABCD中，有ADABBCCD，截面ABC D的面积为：S DH ABQ .侧面D DCC的面积为：S2ddDCDD AB .? 3D H AB22底面ABCD的面积为：S3DHAB -DH ABiQ .22所以 S全 4S2 2S3(2,3i)Q .典型例题十三例

27、13设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底 面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体.以上命题中， 真命题的个数是（ ）.A. 0B. 1C. 2 D. 3解：甲命题是真命题，因为它就是平行六面体的定义；乙命题不是真命题，因为平行六面体的侧棱不一定垂直于底面； 丙命题也不是真命题，因为四棱柱的底面不一定是平行四边形.应选B.说明：要认真搞清平行六面体、直平行六面体、长方体等特殊四棱柱 的有关概念及性质.典型例题十四例14 如图，ARG ABC是直三棱柱，BCA 90，点Di、Fi分别是ABi、A）Ci的中点.若BC CA CCi，则BDi与AF所成角的余弦值是（）.八30厂i，v!5A.B.C.D.2i5i0i0解：可将异面直线所成角转化为相交直线的角，取BC的中点E，并连结EFi、EA .1 D1F1 BC BE ,2 EF1/BD1，二 EFiA 是 BDi 与 AFi 所成角.设 BC 2a，则 CG 2a , CA 2a .AB 2 2a， AFj5a， AE ,5a， cos EF1A2 2 2AF1 EF1 AE2AF1 EF1EF-i BD1B1B B1D16a .(一 5a)2