第19讲 三角形的四心

1、第19讲 三角形的“四心”有一个人开始跟欧几里德学习几何学，当他学完第一个命题时，他就问欧几里德：我能通过学习这些东西得到什么好处呢？于是欧几里德叫来他的仆人，并说：给他三个便士，因为他想从所学的知识中获取实利。 斯托比亚斯知识方法扫描 1三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内切圆的圆心，称为三角形的内心。 如果abc的内心为i，则有 i 到abc的三边距离相等； aib90c； 若延长ci交三角形abc的外接圆于d，则da=db=di。 2三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点是三角形的外接圆的圆心，称为三角形的外心。 如果abc的外心为o，则有 o到三个顶点的距离相等； aob2c

2、； 外心到一边的距离等于这边所对的顶点到垂心的距离的一半。 3三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。如果abc的重心为g，则有 重心到一个顶点的距离是到对边中点距离的2倍； abg，bcg，cag的面积相等。 4三角形的三条高所在的直线交于一点，这点称为三角形的垂心。如果abc的垂心为h ，则有若abc是锐角三角形 ，则ahb180c；若ad是abc的高，ad交三角形abc的外接圆于e，则de=dh。经典例题解析例1（1995年全国初中数学联赛试题）如图, 已知acecde90, 点b在ce上, cacbcd, 过a、c、d三点的圆交ab于f. 求证：f为cde的内心. 分析 若连结

3、df、cf, 显然要证明df平分cde, cf平分dce. 证明df平分cde只要证cdf45, 这是容易解决的. 证明cf平分dce可以转证cfdcfb, 这样便于与已知条件cacd沟通起来. 证明 ace90, cacb, a45. 连结df, 则cdfa45. cde90, df平分cde. 连结ad、cf. cacd, cadcda.cfd与cad互补, cfb与cfa互补, 而cfacda, cfb与cda互补. cfdcfb. f是cde的内心.例2 (河南省第三届初中数学竞赛试题) 一条直线de平分abc的周长, 同时直线de又平分了abc的面积. 求证：直线de经过abc的内切

4、圆圆心o. 证明 如图, 设点d、e分别在边ab、ac上, r为abc的内切圆半径, 连结ao、bo、co、do、eo, 由题设, 得：adaebdbcce, r0, (adae)(bdbcce). 结合图形, 得：saodsaoesdobsbocscoe 又de平分abc的面积, 由图可知sades四边形bced 比较、, 可知只有当sdoe0时, 才能使两个等式都成立.，所以直线de经过abc的内切圆圆心o.从而o点必在de上, 即直线de经过abc的内切圆圆心.例3（2001年我爱数学初中生夏令试题）在锐角abc中，adbc，d为垂足；deac，e为垂足；dfab，f为垂足，o为abc的

5、外心，求证：（1）abcaef；（2）aoef。证明 （1）如图，因deac，dfab，故a，f，d，e四点共圆。故aefadf90bdfb。又a a，所以abcaef。（2）延长ao交abc的外接圆于k，因ck，又abkadc，故bakda c。 又afe=ade=c，因此bak+afec+da c90，故aoef。例 4 (2002年全国初中数学联赛试题) 如图所示, 在等腰abc中, p为底边bc上任意一点, 过p作两腰的平行线分别与ab、ac相交于q、r两点, 又p是p关于直线pq的对称点. 证明：pqbprc. 证明 如图, 连结pb、pc、pq、pp. pqac, qpqb. 又点

6、p、p关于qr对称, qpqp.pqqpqb. 故点q为pbp的外心. 同理, 点p为ppc的外心. pqb2ppb2(180ppc)360ppcpprrpc360ppcpprpcrprc, 且qpqb, rppc. 即1, 故pqbprc. 例5（2002年湖北省初中数学竞赛试题）如图，abc的三边满足关系bc=（ab+ac），o、i分别为abc的外心、内心，bac的外角平分线交o于e，ai的延长线交o于d，de交bc于h，求证：（1）ai=bd； （2）oi=ae。证明（1）作igab,连结bi, 有ag=(ab+ac-bc), 因bc=(ab+ac), 故ag=bc。由i为abc的内心，

7、, 且de为o的直径，故debc，bh=bc，于是ag=bh。由gai=dbh=bac，agi=bhd=90，故rtagibhd，ai=bd。（2）因ibd=ibh+hbd=abi+bai=bid，故bd=di。所以ai=di，于是oi为ade的中位线，oi=ae。例6(1992年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题)在abc中,g为重心,p为内部一点,直线pg交直线bc,ca,ab于a,b,c。证明:证明 连结ga，gb，gc，pa，pb，pc。作phbc于h，gkbc于k. =, 同理，=，=。因g为abc的重心，故有sgbc=sgca=sgab=sabc，=+=3。例7 (1995年江苏省初中

8、数学竞赛试题) 如图, ab、bc、cd分别与圆相切于e、f、g, abbccd, 连接ac与bd相交于点p, 连接pf. 求证：pfbc. 证明 如图, 设圆心为o, 连接bo, 根据切线长定理, bo是abc的角平分线. 在等腰abc中, bo平分abc, boac, 连接co, 同理可得cobd. 在pbc中, boac, cobd, o是pbc的垂心, pobc, 由切线性质, 可知po一定过切点f, 故pfbc. 例8求证：（1）三角形的一个顶点到垂心的距离，是外心到对边距离的2倍（2）三角形的垂心，重心，外心在一条直线上，且垂心到重心的距离是外心到重心的距离的2倍证明 如图，h是a

9、bc的垂心，o是abc的外心，ombc于m 。作abc的外接圆o，作圆的直径ck，连结ak， bk，则bkbc。（1）因adbc，于是adbk，同理akbe，四边形ahbk是平行四边形，ah=kb。但om是kbc的中位线，om=bk， 于是ah=bk=2om，即三角形的一个顶点到垂心的距离，是外心到对边距离的2倍（2） 连结am，oh交于g点，显然ahgmog，相似比为ah：om=2：1。于是ag：gm=2：1，即g是abc的重心。故三角形的垂心，重心，外心在一条直线上。又hg：go=2：1，即垂心到重心的距离是外心到重心的距离的2倍。评注 本题即为著名的欧拉线，欧拉于1765年在他的著作三角

10、形的几何学中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。同步训练一 选择题1(1996年“祖冲之杯”初中数学竞赛试题)已知h是abc的垂心, abc的外接圆半径为r, bhc外接圆半径为r, 则r与r的大小关系是(三角形的三条高线交于一点, 这点称为三角形的垂心)（ ）。.(a) rr (b) rr (c) rr (d) abc是锐角三角形时, rr；abc为钝角三角形时, rr2(1998年“数学新蕾”竞赛试题)已知rtabc的两直角边ab4, ac3, p为abc内一点, pdbc, 垂足为d, pe

11、ac, 垂足为e, pfab, 垂足为f, 设pfx, pey, pdz, 且, 则p一定是abc的(a) 内心(b) 外心(c) 垂心(d) 重心3（2007年全国初中数学联合竞赛试题）已知锐角的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（ ）（a）30. （b）45. （c）60. （d）75.4(1994年江苏省初中数学竞赛试题)锐角abc的三边两两不等, d是bc边上一点, 且badc90, 则ad一定过abc的( )(a) 垂心(b) 内心(c) 外心(d)重心5（2007年江苏数学奥林匹克夏令营初中组试题）已知点 i 是锐角abc的内心，a1,b1, c1分别是点 i 关于

12、bc,ca,ab的对称点. 若点 b在的外接圆上，则abc等于 ( ).(a) 30 (b) 45 (c) 60 (d) 90二填空题6abc中, abac, a40, 延长ac到d, 使cdbc, 若点p是abd的内心, 则bpc_. 7（2002年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题）在abc中，o是外心，i是内心，若boc=100，则bic的度数是_。8（1991年上海市初三数学竞赛试题）设m是abc的重心,且am=3,bm=4,cm=5,则abc的面积为 . 9（2008年福建初中数学竞赛试题）abc中，ab7，bc8，ca9，过abc的内切圆圆心l作debc，分别与ab、ac相交于点d，e

13、，则de的长为。10(1995年河南省濮阳市初中数学竞赛试题)设o点为锐角abc的外心, 连接ao、bo、co, 并延长分别交对边于l、m、n, 则_. (设r为abc的外接圆半径)三解答题11（第20届国际数学奥林匹克试题）在abc中，边ab=ac，有一个圆内切于abc的外接圆，并且与ab、ac分别相切于p、q求证：p、q两点连线的中点是abc的内切圆圆心12（1999年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）已知rtabc中，cd是斜边上的高，o,o1,o2分别是abc, acd, bcd的内心，求证：（1）o1oco2（2）oc=o1o213（1998年黄冈市初中数学竞赛试题）在abc中是否存在

14、一点p, 使得过p点的任意一直线都将该abc分成等面积的两部分？为什么？14如图, ao是等腰三角形abc的底边bc上的高, 且aobc, 延长ab于d, 使bdab, 过点d作ac的垂线, 交ac的延长线于e, 延长ao于f, 使ofao, 连结fd、fe, 求证：（1） f为ode的外心；（2） o为ade的内心. 第14题图 第15题图15(1998年全国初中数学联赛试题)如图, p为平行四边形abcd内一点, o为ac与bd的交点, m、n分别为pb、pc的中点, q为an与dm的交点. 求证：（1）p、q、o三点在一条直线上；（2）pq2oq. 同步训练题参考答案1. a作abc的外

15、接圆，延长高ad，交圆于g。易证bhcbgc，故bhc的外接圆与bgc的外接圆半径相等，也就是bhc的外接圆与abc的外接圆半径相等。2a ab4, bc3, bc5, 连接pa、pb、pc. 则spabspacspbcsabc,4x3y5y34, 4x3y5z12, 又, 得4(x)3(y)5(z)24,即. , , , xyz1. 即点p到三边的距离相等. p为abc的内心. aecbdoh3c.锐角的垂心在三角形内部，如图，设的外心为，为的中点，的延长线交于点，连、，则/，/，则，所以30，60，所以60.4.c(1) 如图(a)若ad过垂心, 则adbc, 1b90, 又1290, 故

16、2b, 得abac, 与题设矛盾, 不能选(a). (2)若ad过内心, 则1dac, 由已知, 可得：2dac90, 故adbc, 与(1)不符, 故又可排除(b). (3)作abc的外接圆, 如图(b), 则13, 2390, 故af为直径, 所以ad过外心. (4)若ad过重心, 则d为bc中点, 因ad过外心, 所以odbc, 即adbc, 与(1)不符, 故ad不过重心. 5c因为 ia1 = ib1 = ic1 = 2r (r 为abc 内切圆的半径), 所以 i 同时是a1b1c1的外接圆的圆心. 设ia1 与 bc 的交点为d, 则ib = ia1 = 2id, 故ibd =

17、30. 同理iba = 30,于是abc = 60.6. 145连结pd, 由内心性质, 得bpd90a. bcd90a, bpdbcd. 从而, b、d、c、p四点共圆, 因此, d35, 所以, bpc18035145.7115a=boc=50，b+c=130 ，bic=180-（b+c）=115 8. 18延长md到n ，使dn=dm，连结cn。则mn=am=3，cn=bm=4 ，又cm=5，于是mcn是直角三角形，且面积为34=6，于是mdc的面积为3，abc的面积为36=18。abcdeirha9如图，设abc的三边长为，内切圆i的半径为r，bc边上的高为，则，所以。因为adeabc

18、，所以它们对应线段成比例，因此所以de，故de。10. 如图, , 由等比定理, 得： 同理, 得：2, aobocor, .11如图设d是两圆的切点，e是pq的中点，连接ad、be、pd、bd由于abc是等腰三角形，易知ad是abc外接圆的直径又因ab、ac和abc的内切圆相切于点p、q，所以ap=aq因此e点一定在ad上，并且ae平分a，aepq, 于是弧pd=弧qd, 所以bpd=epd又因为pd是公共边，所以，rtbpdrtepd，所以pb=pe，pbe=peb。又因为adbc，adpq，所以bcpq，peb=ebc，于是有pbe=ebc。e是abc的内切圆圆心 第11题图 第12题图12(1)由题设o,o1都在a的平分线上，设该平分线交c o2于e。因a=dcb,故eac=o2cb，于是eac+ace= o2cb+ace =90，故aec=90，o1oco2。（2）由于点o1 ，o2分别在acd和dcb角的平分线上，故o1 co2=45 ，由（1）o1ec=90，有ce=e o1 。同理设o2