三角形的中位线基础题30道解答题讲解

1、9.5三角形的中位线基础题汇编（3）.解答题（共30小题）1.如图，在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点.四边形 EGFH是平行四 边形吗？请证明你的结论.2 .请写出如图，在 ABC中，若DE SABC的中位线，则DE= ：BC ”的逆命题.判断逆命题的真假， 并说明你的理由？匕3.在四边形 ABCD中，BD、AC相交于点 O, AC=BD , E、F分别是AB、CD的中点，连接 EF,分别交 AC、BD于点M、N .判断 MON的形状，并说明理由.A94.如图，在 ABC中，AD丄BC于点D, E、F、G分别是BC、AC、AB的中点，若 AB=BC=3DE

2、=6 ,0求四边形DEFG的周长.5.如图，在ABC中（AB朮C）, M为BC的中点，AD平分/ BAC交BC于D, BE丄AD于E, CF丄AD 于F，求证：ME=MF .6. ABC中，D为BC中点，E为AD中点，直线 BE交AC于F,求证：AC=3AF .7 .如图，已知 XYZ中，MY=NZ , A、B分别是YN、MZ的中点，延长 AB、BA分别交XZ、XY于点 D、C,求证：XC=XD .F Z&如图，AB为O O的一条弦，CD为直径(C不与A、B及、中点重合)，作CE丄AB于E, DF丄AB于 F，问CE - DF的值是否变化？为什么？9. ABC中，D为CB的延长线上一点， BE

3、是/ ABD的角平分线，AE丄BE , F是AC的中点，试说明:EF / BC，且 EF七(AB+BC ).10.如图，在四边形 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接 FE并延长，分别交 CD的延长线于 点 M、N,/ BME= / CNE，求证：AB=CD .BBE4CBECB15.如图，AD是厶ABC的中线，E, F, G分别是 AB , AD , DC的中点，求证：EG与DF互相平分.16.已知：如图，点 B是AD的中点，点 E是AB的中点，AB=AC 求证：CE= ,CDB E13.在四边形 ABCD 中，AB / CD, E、F 是 AD、BC 中点.求证：EF= (AB+

4、CD ), EF/ CD 11.已知，如图， AB=AC=BE , CD ABC中AB边上的中线，求证： CE=2CD12.如图，在 ABC 中，/ ACB=90 点 D 在 AB 上，AC=AD , DE丄CD 交 BC 于点 E, AF 平分/ BAC 交BC于F点.(1)求证：AF / DE;(2 )当 AC=6 , AB=10 时，求 BE 的长.14.如图，已知 ABC中，点D是BA上一点，BD=AC , E, F分别是BC , DA的中点，EF和CA的延 长线相交于点 G.求证：AG=AF .G17 .在 ABC中，AD丄BC于D点，BE为中线，且/ CBE=30 求证：AD=BE

5、 .18.如图，在 ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，AB=6 , AC=8 , DF=5，求 AE 的长.AR19.已知如图， ABC中，AD为BC的中线，E为AD的中点，延长 CE交AB于点F,求的值.（用F-r多种方法解答）20 .在 ABC中，D是AB的中点，DC丄AC且tan/ BCD= ，求tanA的值.21.已知在 ABC中，M是BC的中点，AN平分/ BAC , AN丄BN，求证：MN / AC .22.已知：如图，在 ABC中，AB AC , AD平分/ BAC , BE垂直AD延长线于 E, M是BC中点.求证：EM=_( AB - AC ).223

6、.如图，在 ABC中，若/ B=2 / C, AD丄BC , E为BC边中点，求证： AB=2DE .CM是DC的中点,25 .如图， ABC中，BM平分/ ABC , AM丄BM，垂足 M点，点 N为AC的中点，AB=10 , BC=6，求 MN长度.N是AB的中点.求BC26.已知： ABC，用刻度尺量出 ABC的各边的长度，并取各边的中点，画出 ABC的三条中线，你发现了什么？AD=AC , AE丄CD，垂足为E, F是BC中点，探究 BD与27.如图，在 ABC中，D是AB上一点, 的关系并说明理由.DOBFBGCDECB28.如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC, BD相交于点

7、O, AE=EB .求证：OE/ BC .30.如图，在 ABC 中，AD=DE=EF=FB , AG=GH=HI=IC，已知 BC=8，贝U DG+EH+FI 的长是多少?29. ABC中，AD是/ BAC的平分线，G是BC的中点，过 G作直线FG平行于AD，分别交AB和CA 的延长线于点 E和点F,求证：BE=CF=1 (AB+AC ).29.5三角形的中位线基础题汇编（3）参考答案与试题解析一.解答题（共30小题）1如图，在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点.四边形 EGFH是平行四边形吗? 请证明你的结论.考点：三角形中位线定理；平行四边形的判定.分析

8、：；根据三角形的中位线定理，可证明EGFH的对边平行，从而可证明四边形EGFH是平行四边形.解答：证明：四边形 EGFH是平行四边形理由如下：点E、G分别是线段AB、AC的中点， EG / BC ,同理 HF / BC, GF/ AD , EH / AD , GE / HF , GF / EH ,四边形EGFH是平行四边形.点评：本题考查三角形的中位线定理以及平行四边形的判定定理.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.2. 请写出 如图，在 ABC中，若DE是厶ABC的中位线，贝U DE= BC”的逆命题.判断逆命题的真假，并说明你 的理由？考点：三角形中位线定理；命题与定理.分析

9、：把原命题的条件和结论交换即可得到逆命题；逆命题为假命题.解答：解：若在 ABC中，DE= BC,那么DE是厶ABC的中位线，r2是假命题，理由如下：因为如果 DE是厶ABC的中位线，那么 ADE相似于 ABC，且相似比为 0.5, 那么 ADE是确定的，但已知一角（/ A ）和一边，无法确定三角形和原三角形相似.点评：本题考查了命题与定理，有些命题为真命题时，它的逆命题不一定正确.3. 在四边形 ABCD中，BD、AC相交于点 O, AC=BD , E、F分别是AB、CD的中点，连接 EF,分别交 AC、BD 于点M、N .判断 MON的形状，并说明理由.考点：三角形中位线定理；等腰三角形的

10、判定与性质.分析：取AD边的中点G,连接EG , FG,则根据三角形的中位线定理，即可证得 EGF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得/ GEF= / GFE,然后根据平行线的性质证得/ONM= / GEF，/ OMN= / GFE 根据等角对等边即可证得 OM=ON 即 MON是等腰三角形.解答： 解：如图，取 AD边的中点G,连接EG, FG./ E、F分别是 AB、CD的中点， EG / BD , EG=BD ,2同理：FG/ AC , FG=AC ,2/ AC=BD EG=FG/ GEF= / GFE ./ EG / BD ,/ ONM= / GEF .同理，/ OMN= / GFE

11、 ./ OMN= / ONM OM=ON .即 MON是等腰三角形.点评： 本题考查了三角形的中位线定理，正确证明OM=ON是关键.94. 如图，在 ABC中，AD丄BC于点D, E、F、G分别是BC、AC、AB的中点，若 AB= BC=3DE=6，求四边形_:lDEFG的周长.考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线.分析：依据AB= BC=3DE=6即可求得DE、AB、BC的长，利用三角形的中位线定理即可求得GF和EF的长,3解答： 解：T Bc=3DE=6 ,3 BC=9 , DE=2 . E、F是BC和AC的中点，EF=iAB=丄6=3,2 2同理，GF=JlBC=2 9=22

12、2 2直角 abd中，g是dg的中点， DG=2aB=丄 6=3 .2 2四边形 DEFG 的周长=GF+DG+DE+EF=卫+3+2+3=至.2 2点评：本题考查了三角形的中位线定理和直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.5. 如图，在 ABC中（AB朮C）, M为BC的中点，AD平分/ BAC交BC于D , BE丄AD于E, CF丄AD于F, 求证：ME=MF .考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：如图，延长CF交AB于点G,延长BE交AC的延长线于点H .根据三角形中位线定理证得mf=mE= Gb .解答： 证明：如图，延长 CF交AB于

13、点G,延长BE交AC的延长线于点 H ./ AF 丄 GC , AD 平分/ BAC , ag=ac , gf=cf ,又点M是BC的中点， MF是厶BCG的中位线， MF=丄GB.2同理，ME=丄HC .2/ AD 平分/ BAC , BE 丄 AD , AB=AH , BG=AB - AG=AH - AC=CH，即 BG=CH , MF=ME .点评：本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质解题的难点是作出图中的辅助线，构建等腰三 角形.E为AD中点，直线BE交AC于F,求证:AC=3AF 考点：三角形中位线定理.专题：证明题.分析： 作CF中点G,连接DG,由于D、G是BC、C

14、F中点，所以 DG是厶CBF的中位线，在 ADG中利用三 角形中位线定理可求 AF=FG，同理在 CBF中，也有 CG=FG，那么有 AC=3AF 解答：证明：作CF的中点G,连接DG ,贝U FG=GC,又 BD=DC , DG / BF , AE : ED=AF : FG,/ AE=ED , AF=FG , AC=3AF 点评：此题主要考查了三角形中位线的性质，构造中位线是常用的辅助线方法关键是掌握三角形的中位线的性 质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.7.如图，已知 XYZ中，MY=NZ , A、B分别是 YN、MZ的中点，延长 AB、BA分别交 XZ、XY于点D、C,

15、 求证：XC=XD 考点：三角形中位线定理.专题：证明题.分析： 取YZ中点E,连结AE、BE.由A、B分别是YN、MZ的中点，E是YZ的中点，根据三角形中位线定理可得 AE / NZ , AE=3nZ ; BE / MY , BE=J:MY ;而 MY=NZ，等量代换得出 BE=AE，根据等边对等角的 2 2性质得出/ BAE= / ABE，再由AE / NZ , BE / MY，根据两直线平行，内错角相等得出/BAE= / NDC ,/ ABE= / MCD，于是/ NDC= / MCD，再根据等角对等边即可证明XC=XD .解答： 证明：取YZ中点E,连结AE、BE ./ A、B分别是Y

16、N、MZ的中点，E是YZ的中点， AE / NZ , AE=1nZ; BE / MY , BE=MY ;2 2/ MY=NZ , be=ae ,/ bae= / ABE ,/ AE / NZ , BE / MY ,/ BAE= / NDC，/ ABE= / MCD ,/ NDC= / MCD , XC=XD .点评：本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，难度适中准确作出辅助线是 解题的关键.8如图，AB为O O的一条弦，CD为直径（C不与A、B及中点重合），作CE丄AB于E, DF丄AB于F,问CE - DF的值是否变化？为什么？考点：三角形中位线定理；平行四边形的

17、判定与性质；垂径定理.分析：如图，作辅助线，首先证明四边形DGEF为矩形；进而证明 0HDCG的中位线；借助矩形、三角形的中位线定理等知识点，列出关于线段CE、DF的等式，即可解决问题.解答：解：如图，如图，延长 CE交O O于点G;连接GD; 过点0作0H丄GD，交AB于点K./ CD为O 0的直径， CG 丄 DG ;/ CE丄 AB 于 E, DF 丄 AB 于 F,四边形DGEF为矩形， GE=KH=DF (设为 X),设 CE=卩；/ 0H / CG，且 CO=DO , GH=DH , OH DCG 的中位线， GC=2OH，即 X 尸2 (0K+ X),卩-X=2OK ,即CE -

18、 DF的值不变，为常数 20K .点评： 该题主要考查了垂径定理、矩形的判定、三角形的中位线定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵 活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；9. ABC中，D为CB的延长线上一点，BE是/ ABD的角平分线，AE丄BE , F是AC的中点，试说明：EF / BC ,且 EF= (AB+BC ).2考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：延长AE至G交CD于G,先证明 ABE全等于 GBE，再证明EF是厶ACG的中位线，再根据三角形的 中位线平行且等于第三边的一半，问题得证.解答：证明：延长AE至G交CD于G, BE是/ ABD的角

19、平分线， / ABE= / GBE ,/ AE 丄 BE , / AEB= / GBE ,在ABE和厶DBE中，rZABE=ZGBEAC，AD平分/ BAC，BE垂直AD延长线于E，M是BC中点求证：EM=(AB - AC).考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：延长BE与AC的延长线交于点 F,可证得 Rt AEF也Rt AEB，可得AF=AB，则有CF=AB - AC ,且E 为中点，ME是厶BFC的中位线，可得出结论.解答：证明：延长 BE与AC延长线交于F点，过C作CN / ME，交BF于点N/ AD 平分/ BAC , BE 丄 AE/ BAE= / F

20、AE ,Z BEA= / FEA,在厶AEF和厶AEB中，(ZFAE=ZBAE寸 AEAE,lZBEA=ZFEA AEF AEB (ASA ), BE=EF, AF=AB ，且 AF=AC+CF , CF=AB - AC , M为BC中点，E为BF中点， MEBCF的中位线， EM=丄CF=2 (AB - AC).2 2点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形中位线定理，构造三角形全等把所证结论转化成证明EM= CF是解题的关键23. 如图，在 ABC中，若/ B=2 / C, AD丄BC, E为BC边中点，求证： AB=2DE .考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；直角三

21、角形斜边上的中线.专题：证明题.分析： 取AC中点F,连接EF、DF，则EF ABC的中位线，结合条件可得到/FEC=2 / C,结合直角三角形的性质可得到/ EDF= / EFD，得到DE=EF，可得出结论.解答： 证明：取AC中点F,连接EF, DF,贝U EF 为中位线，且 EF AB、/ FEC= / B=2 / C,在直角三角形 ACD中，F是斜边AC的中点， DF=CF ,/ DEF= / C,即有 2 / FDC= / FEC,/ EFC= / FDC+ / DFE , 2/ DFE= / FEC=2 / FDC, DE=EF, AB=2DE .点评： 本题主要考查三角形中位线定

22、理及等腰三角形的判定和性质，取AC的中点，构造出 ABC的中位线，把AB于DE的关系转化成 AB与EF的关系是解题的关键.24. 如图，在四边形 ABCD中，AD=BC , P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点.求证: / PMN= / PNM .c考点：三角形中位线定理.专题：分析：证明题.根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM- BC, PN= AD，然后求出PM-PN，再2 2根据等边对等角证明即可.解答：证明： P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点， PM、PN分别是 BCD和厶ABD的中位线， PM- BC, PN- AD ,2 2

23、/ AD-BC , PM-PN, / PMN- / PNM .点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边对等角的性质，熟记定理与性质是 解题的关键.25 .如图， ABC中，BM平分/ ABC , AM丄BM，垂足M点，点N为AC的中点，AB=10 , BC=6，求MN长度. ABC考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质.分析： 延长BC,AF交于点F,通过ASA证明 ABMFBM ,根据全等三角形的性质得到 AB=FB=10 , AM=FM ,进一步得到CF，再根据三角形中位线定理即可求解.解答：解：BC, AF交于点F./ BM 平分/ ABC , AM

24、丄 BM ,/ ABM= / FBM，/ AMB= / FMB ,在厶ABM与厶FBM中，rZABf=ZFBl!-,lZMB=ZFNB ABM FBM (ASA ), AB=FB=10 , AM=FM，即点 M 是 AF 的中点./ BC=6 , CF=4.又点N为AC的中点， MN是厶ACF的中位线， MN=?CF=2 .即MN的长度是2 .AL0h.8cF点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半同时考查了全 等三角形的判定与性质.26. 已知： ABC，用刻度尺量出 ABC的各边的长度，并取各边的中点，画出 ABC的三条中线，你发现了什么？考点：

25、三角形中位线定理.分析：如图，动手测量得到三边的长度；观察发现得到中线的性质. 解答：解：如图，用刻度尺两出 ABC的各边的长度分别为：AB=3.5cm , BC=4.5cm , AC=3cm .取三边的中点 D、E、F,作中线 AD、BE、CF,发现三条中线相交于一点0.点评：该题主要考查了三角形中线的定义及其性质问题；同时还考查了动手操作能力、观察发现能力、直觉猜测 能力等能力问题.27. 如图，在厶ABC中，D是AB上一点，AD=AC , AE丄CD，垂足为E, F是BC中点，探究BD与EF的关系.并 说明理由.考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质.分析：；根据三角形的中位线定理，在

26、三角形中准确应用，并且求证 线.E为CD的中点，再求证 EFBCD的中位解答：解: BD / EF，且 BD=2EF .理由如下： 在厶 ACD 中，T AD=AC , AE 丄 CD , E为CD的中点，又 F是CB的中点， EF为厶BCD的中位线， EF/ BD , EF=2bD，即 BD=2EF .2点评：本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的性质三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边 且等于第三边的一半.28. 如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC , BD相交于点 O, AE=EB .求证：0E / BC.AD考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质.专题：证明题.分析：根据平行四边形的对角线互相平分可得A0=C0，然后判断出0E是厶ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明.解答： 证明：四边形 ABCD是平行四边形， A0=C0 ,/ AE=EB , 0E是厶ABC的中位线， 0E / BC .点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的性质，熟记性质与定理是解题的关键.29. ABC中，AD是/ BAC的平分线，G是BC的中点，过 G作直线FG平行于 AD，分别交 AB和CA的延长线于点E和点F,求证：BE=CF= (A