压杆稳定问题

1、第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 1 本章主要研究本章主要研究： 压杆稳定概念压杆稳定概念 压杆临界载荷的确定压杆临界载荷的确定 压杆稳定条件与合理设计压杆稳定条件与合理设计 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 2 强度条件强度条件 是否适用于下列拉压杆？是否适用于下列拉压杆？ N F A 1. 1. 问题的提出问题的提出 FF FF 短粗杆短粗杆 FF FF 细长杆细长杆 结论：对于细长压杆，必须研究稳定问题结论：对于细长压杆，必须研究稳定问题 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 3 赵州桥历千年风雨（隋）赵州桥历千年风雨（隋） Tacoma 海峡大桥海峡大桥弱不弱

2、不 经风经风（19401940年破坏）年破坏） Euler(1707-1783)首先从首先从 理论上研究了压杆稳定问理论上研究了压杆稳定问 题题(Euler理论理论） 2. 2. 稳定问题的研究历史与工程实例稳定问题的研究历史与工程实例 科学理论的重要性；科学理论的重要性； 社会生产实践推动科学理论研究社会生产实践推动科学理论研究 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 4 老老Tacoma 海峡大桥海峡大桥新新Tacoma 海峡大桥海峡大桥 考虑与未考虑稳定问题的设计对比考虑与未考虑稳定问题的设计对比 未考虑稳定问题未考虑稳定问题 考虑了稳定问题考虑了稳定问题 第十一章第十一章 压杆稳定

3、问题压杆稳定问题 5 3. 3. 各种各样的失稳现象各种各样的失稳现象 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 6 cr FF 窄高梁弯曲窄高梁弯曲 薄壁件受外压薄壁件受外压 薄壁圆筒轴向受压薄壁圆筒轴向受压 3. 3. 各种各样的失稳现象（续各种各样的失稳现象（续1 1） 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 7 左侧为风速低于颤振速度，结构振动稳定；左侧为风速低于颤振速度，结构振动稳定； 右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。 风洞颤振试验照片风洞颤振试验照片 3. 3. 各种各样的失稳现象（续各种各样的失稳现象（续2 2） 第十一章第十一章

4、 压杆稳定问题压杆稳定问题 8 航空科学的重要课题：飞机颤振问题研究航空科学的重要课题：飞机颤振问题研究 3. 3. 各种各样的失稳现象（续各种各样的失稳现象（续3 3） 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 9 4. 4. 平衡的稳定性平衡的稳定性刚体刚体 （1）刚性面上的刚性球）刚性面上的刚性球 a. 合力合力FR指向平衡位置指向平衡位置 稳定平衡稳定平衡 b. FR为为0 c. FR偏离平衡位置偏离平衡位置 不稳定平衡不稳定平衡临界临界( (随遇随遇) )平衡平衡 F R F W F R F W W 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 10 5. 5. 平衡的稳定性平衡的稳

5、定性刚杆弹簧系统刚杆弹簧系统 稳定平衡稳定平衡 . aFk l 临界临界(随遇随遇)平衡平衡 . bFk l 不稳定平衡不稳定平衡 . cFk l 临界载荷临界载荷 cr Fkl 驱动力矩驱动力矩 F 恢复力矩恢复力矩 k l F k l 刚杆弹簧系统刚杆弹簧系统稳定性演示稳定性演示 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 11 6. 6. 平衡的稳定性平衡的稳定性受压弹性细长杆受压弹性细长杆 F Fcr 稳定平衡稳定平衡 FFcr 临界状态临界状态 压杆在微弯位置不能平衡压杆在微弯位置不能平衡, ,要恢复直线要恢复直线 压杆微弯位置不能平衡压杆微弯位置不能平衡, ,要继续弯曲要继续弯曲,

6、 ,导致失稳导致失稳 F Fcr 不稳定平衡不稳定平衡 压杆在任意微弯位置均可保持平衡压杆在任意微弯位置均可保持平衡 临界载荷临界载荷 Fcr: 压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定 时的轴向压力值。时的轴向压力值。 压杆失稳：当轴向压力达到某一值时，压杆压杆失稳：当轴向压力达到某一值时，压杆 直线形式的平衡突然改变（破坏）的现象。直线形式的平衡突然改变（破坏）的现象。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 12 两端铰支压杆 两端铰支压杆 临界载荷实验测定临界载荷实验测定 两端铰支压杆 两端铰支压杆 失稳动画演示失稳动画演示 第十一章第十一章 压杆稳

7、定问题压杆稳定问题 13 一、简化模型：刚杆一、简化模型：刚杆- -扭簧系统，弹簧常数扭簧系统，弹簧常数k* 1. 1. 模型一个实际背景：下肢。模型一个实际背景：下肢。 举重运动员为何可能腿晃？举重运动员为何可能腿晃？ 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 14 2. 2. 刚杆刚杆- -扭簧系统分析，弹簧常数扭簧系统分析，弹簧常数k* F MB F B C q q 研究临界平衡状态，画研究临界平衡状态，画B BC段受力图段受力图 驱动力矩（小变形）驱动力矩（小变形）： cr l Fq q 2 恢复力矩：恢复力矩： * ()kq q2 由平衡条件：由平衡条件： * 1 2 2 cr F

8、 lkqqqq * () cr k F l q q 4 0 存在非零解条件：存在非零解条件： * cr k F l 4 q q 0平凡解，不稳定平衡位置平凡解，不稳定平衡位置 弹性压杆：弹性压杆：连续直线分布的扭簧系统连续直线分布的扭簧系统 F A B C l 2 l 2 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 15 二、二、( (弹性压杆）临界载荷的欧拉公式弹性压杆）临界载荷的欧拉公式 两端受压简支杆两端受压简支杆 F M(x) x F w ( )M xFw 2 2 ()d wM x dxEI F F FF 临界平衡状态临界平衡状态 驱动与恢复内力矩驱动与恢复内力矩 驱动力矩驱动力矩 恢

9、复内力矩恢复内力矩 2 2 () d w M xEI dx 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 16 ( )M xFw 驱动内力矩驱动内力矩恢复内力矩恢复内力矩 2 2 () d w M xEI dx 0 2 2 2 wk dx wd w EI F dx wd 2 2 2 k EI F 压杆稳定微分方程压杆稳定微分方程 F F 通解：通解：sincoswAkxBkx 位移边界条件：位移边界条件： 0 B 0sin klA , 0 x0 w , lx 0 w 存在非零解的条件：存在非零解的条件：sin0kl 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 17 2 2cr EI F l 设：

10、设： n=1 sin0kl kln n k l 22 2 (1, 2) nEI Fn l 临界载荷欧拉公式临界载荷欧拉公式 F F 2 , F k EI 注意到：注意到： 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 18 2 2cr EI F l 三、三、两端简支压杆两端简支压杆临界载荷的欧拉公式的几点讨论临界载荷的欧拉公式的几点讨论 1. 1. 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 QQ 压力沿杆件轴线压力沿杆件轴线 QQ 小挠度小挠度( (小变形小变形) ) QQ 线弹性线弹性 QQ 理想均质材料理想均质材料, ,细长杆细长杆 EI xM dx wd)( 2 2 FF 第十一章第十一章 压

11、杆稳定问题压杆稳定问题 19 3. 3. 临界载荷与压杆几何与材料性质的关系临界载荷与压杆几何与材料性质的关系 2 2cr EI F l 压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡。压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡。 sin x wA l 2. 2. 临界平衡挠曲轴曲线特征临界平衡挠曲轴曲线特征 可有任意的微弯程度可有任意的微弯程度, , 但轴线形状一定但轴线形状一定 临界载荷与截面抗弯刚度成正临界载荷与截面抗弯刚度成正 比，与杆长的平方成反比。比，与杆长的平方成反比。 F F x w 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 20 2 2cr EI F l 问题：结构在哪个平

12、面内失稳？问题：结构在哪个平面内失稳？ 解：解：临界载荷临界载荷 四、四、例：例：球形铰，确定图示压杆的临界载荷球形铰，确定图示压杆的临界载荷( (hb) ) b h y z a a F l F O x y z 12 3 bh Iz 12 3 hb I y 压杆在压杆在x- -z z平面内失稳平面内失稳 cos2sin2 22 yzyz yz IIII II aaaa 22 22 y cr EIEI Fwhenhb ll 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 21 解析法与解析法与类比法确定临界载荷：类比法确定临界载荷： 固支固支- -自由压杆自由压杆 铰支铰支- -固支压杆固支压杆 固

13、支固支- -固支压杆固支压杆 欧拉公式的统一表达式：欧拉公式的统一表达式： 相当长度与长度因数相当长度与长度因数 例题例题 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 22 一、一、解析法与类比法解析法与类比法确定临界载荷确定临界载荷 F A B l F A B l （1 1）解析法：根据微弯临）解析法：根据微弯临 界平衡状态建立微分方程界平衡状态建立微分方程 2 2 ( )d wM x dxEI ( )()M xFw 2 2 () d wF w dxEI 2 F k EI 令令 d w k wk dx 2 22 2 1. 1. 固支固支- -自由压杆自由压杆 F w x MF 第十一章第十一

14、章 压杆稳定问题压杆稳定问题 23 通解：通解： sincoswAkxBkx 考虑位移边界条件：考虑位移边界条件： 0,0,xw ,xl w B 0,0 dw x dx q q sincosAklBkl F A B l x w 22 2 2 kwk dx wd 0Ak 或或0A cos0kl 存在非零解的条件：存在非零解的条件： 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 24 21 (1,2) 2 n kln （） 取取n=1, n=1, 得得固支固支- -自由压杆自由压杆的临界载荷：的临界载荷： 2 2 )2( l EI F cr F A B l x w cos0kl 存在非零解的条件：存

15、在非零解的条件： 注意到注意到： 2 F k EI 22 2 21 (2 ) nEI F l （） 得：得： 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 25 22 22 (2 )4 cr EIEI F ll l F l F l F （2 2）类比法类比法 观察：受力与变形与两端观察：受力与变形与两端 铰支压杆左半部分相同铰支压杆左半部分相同 类比：一端固支一端自由长类比：一端固支一端自由长l l的压杆的临界载荷等于的压杆的临界载荷等于 长长2l 2l的对应铰支压杆的临界载荷。的对应铰支压杆的临界载荷。 与解析法结果相同与解析法结果相同 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 26 2.

16、2. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷 l F F FR x F R F w xl F R F )( xM ( )() R M xFwF lx EI xM dx wd)( 2 2 2 2 () R Fd wF wlx dxEIEI sincos() R F wAkxBkxlx EIk 2 () F k EI 2 通解：通解： （1 1）解析法：根据微弯临）解析法：根据微弯临 界平衡状态建立微分方程界平衡状态建立微分方程 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 27 F R F x l 0,0 xw R F l B EIk 2 0 )(cossin 2 x

17、l EIk F kxBkxAw R )( 2 EI F k 通解：通解： 考虑位移边界条件：考虑位移边界条件： 2 0 R F Ak EIk 0,0 xw sincos0AklBkl,0 xl w 如何建立求临界载荷的数学方程？如何建立求临界载荷的数学方程？ 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 28 sincos l EIk k EIk klkl 2 2 01 1 00 0 R F l B EIk 2 0 2 0 R F Ak EIk sincos0AklBkl F R F x l A,B,FR存在非零解的条件：存在非零解的条件： klkl tan 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳

18、定问题 29 EIkF 2 22 22 4.493 (0.7 ) cr EIEI F ll F R F x l klkl tan 2 ykl 1 tanykl ( )4.493 a kl 4.493 F l EI 思考讨论题：思考讨论题： 力学模型（有条件的随遇平衡）、力学模型（有条件的随遇平衡）、 数学方程（微分方程）、有条件的数学方程（微分方程）、有条件的 随遇平衡的数学表达（齐次方程的随遇平衡的数学表达（齐次方程的 非零解）之间的对应关系。非零解）之间的对应关系。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 30 （2）. 类比法类比法 2 2 )7 . 0(l EI Fcr l Fcr

19、 AB Fcr 0.7l Fcr BC Fcr l 7 . 0 拐点拐点 ABC 变形曲线观察：与变形曲线观察：与B端相端相 距约距约0.7l处有一拐点处有一拐点C 类比：拐点类比：拐点C处弯矩为零，处弯矩为零， 将将C点坐标转动到变形前位点坐标转动到变形前位 置，置，BC段类比铰支压杆。段类比铰支压杆。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 31 3. 3. 两端固支压杆：类比法两端固支压杆：类比法 2l4l4l cr F B B A A 拐点拐点拐点拐点 E D C （1 1）根据对称性，）根据对称性，AB 中点中点C可视为固定端可视为固定端 （2 2）根据）根据A AC与与CB的的

20、 反反对称性，对称性，两段两段中点中点D、 E为拐点为拐点 （3 3）根据对称性，）根据对称性，DE段段 可类比为两端铰支杆可类比为两端铰支杆 cr F 2l cr F （4 4）临界载荷：）临界载荷： 2 2 )2/(l EI Fcr 分析关键：寻找与两端铰支杆受力相同的杆段分析关键：寻找与两端铰支杆受力相同的杆段 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 32 二、欧拉公式的统一表达式：二、欧拉公式的统一表达式： 2 2 )( l EI F cr l 相当长度：相当的两端铰支压杆的长度相当长度：相当的两端铰支压杆的长度 长度因数长度因数: :支持方式对临界载荷的影响支持方式对临界载荷的影

21、响 cr2 EI F l 2 2 ( ( cr2 /2 EI F l 2 2 cr2 (0.7 ) EI F l 2 2 cr2 (2 ) EI F l 2 2 1 2 2 1 7 . 0 欧拉公式可以写成统一形式：欧拉公式可以写成统一形式： 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 33 C l F a B A 习题习题10-3：AB刚性杆，刚性杆，BC弹性弹性 梁，弯曲刚度梁，弯曲刚度EI，求，求Fcr q q1 1 q q2 2 F 解：解：考虑梁杆结构的临界平考虑梁杆结构的临界平 衡，衡，B为刚性接头，在为刚性接头，在B处处 12 qqqq 由杆，由杆，B处内力偶处内力偶 11 ,

22、B Bcr cr M MF a F a qqqq 由梁，由梁，B处转角处转角 2 3 B M l EI q q 3 3 BB cr cr MM lEI F F aEIal 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 34 C l F a B A q q q q F a A B F k q q F 讨论下面两力学问题的相似处讨论下面两力学问题的相似处 左图：左图： cr F akqqqq cr k F a 右图：右图： B EI M l q q 3 cr EI F a l qqqq 3 EI k l 3 结论：梁段结论：梁段BC相当于弹簧常数为相当于弹簧常数为k=3EI/l的碟形弹簧的碟形弹簧

23、第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 35 作业 2版：版：10-2，4，5，8 3版：版：11-2，4，5，8 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 36 上一讲回顾上一讲回顾 1 1弹性平衡稳定性的概念弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态受压杆件保持初始直线平衡状态 的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力 称为弹性平衡的稳定性。称为弹性平衡的稳定性。 2 2压杆的临界载荷压杆的临界载荷 使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳 定的轴向压力值。定的轴向压力值。 3 3、

24、两端铰支细长压杆稳定微分方程两端铰支细长压杆稳定微分方程 2 2 2 0 d w k w dx 2 F k EI 4 4、 两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷 2 2cr EI F l 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 37 5 5、欧拉公式的统一表达式、欧拉公式的统一表达式： 2 2 () cr EI F l l 相当长度：相当的两端铰支压杆的长度相当长度：相当的两端铰支压杆的长度 长度因数长度因数: :支持方式对临界载荷的影响支持方式对临界载荷的影响 cr2 EI F l 2 2 ( ( cr2 /2 EI F l 2 2 cr2 (0.7 ) EI F l 2

25、 2 cr2 (2 ) EI F l 2 2 1 2 2 1 7 . 0 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 38 问题：问题：欧拉公式适用范围？欧拉公式适用范围？ 研究欧拉公式适用范围，从何入手？研究欧拉公式适用范围，从何入手？ 如何处理欧拉公式适用范围之外的压杆失效？如何处理欧拉公式适用范围之外的压杆失效？ 欧拉公式一般表达式欧拉公式一般表达式 2 2 cr 2 () EI F l 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围 crp 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 39 一、一、 临界应力与柔度临界应力与柔度 cr cr F A ( ( 2 2cr EI A l 临界应力临界应力

26、 ( ( 2 2cr EI F l 定义定义 A I i 截面的截面的惯性半径，只与截面形状相关惯性半径，只与截面形状相关 i l 压杆的柔度或长细比，无量纲量压杆的柔度或长细比，无量纲量 2 2 E cr 欧拉公式可以写成欧拉公式可以写成 综合反映了压杆长度综合反映了压杆长度l，支撑方式支撑方式 与截面与截面几何几何 性质性质i对临界应力的影响对临界应力的影响。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 40 二、二、 Euler公式的适用范围公式的适用范围 2 2crp E p E 令令 p p E p Euler公式的适用条件：公式的适用条件： p 的的压杆，称为大柔度杆压杆，称为大柔

27、度杆 p：材料常数，仅与材料弹性模量材料常数，仅与材料弹性模量E及比例极限及比例极限 p有关有关 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 41 三、三、临界应力的经验公式临界应力的经验公式 p 的压杆的压杆非细长杆非细长杆，属于超过材料比例极限的属于超过材料比例极限的 稳定问题，通常用经验公式计算。稳定问题，通常用经验公式计算。 （I）直线型经验公式）直线型经验公式(合金钢、铝合金、铸铁与松木等合金钢、铝合金、铸铁与松木等) ba cr 式中式中a, b为材料常数，单位为材料常数，单位MPa, 可查表。可查表。 临界应力不能小于材料的极限应力临界应力不能小于材料的极限应力 cu，令，令:

28、0cu ab p，大柔度杆；大柔度杆； 0 0 p，中柔度杆；，中柔度杆； 强度安全因数。强度安全因数。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 54 二、二、 折减系数法折减系数法 st ( ,)Material 许用压应力许用压应力 压杆稳定条件压杆稳定条件 稳定许用应力稳定许用应力 曲线曲线 折减系数或稳定系数折减系数或稳定系数 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 55 2 2 cr ElA l iI cr ab 三、压杆的合理设计三、压杆的合理设计 依据：依据： 欧拉公式欧拉公式 经验公式经验公式临界应力总图临界应力总图 1. 1. 合理截面形状：合理截面形状： ,iorI

29、A 选择惯性矩较大的截面形状选择惯性矩较大的截面形状 注意失稳的方向性注意失稳的方向性 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 56 注意失稳的方向性注意失稳的方向性 z z z l I A y y y l I A 在在x-yx-y平面失稳平面失稳 1 z . 0 7 y 在在x-zx-z平面失稳平面失稳 z y，设计设计I Iz zIIy y; 等稳定设计等稳定设计：/ zzyy II 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 57 例例6： 大柔度立柱，大柔度立柱， 刚性板，失稳时结构如何刚性板，失稳时结构如何 运动？运动？ 可能的失稳形式可能的失稳形式 AA截面截面 b 3b a

30、,ab 实际发生的失稳形式实际发生的失稳形式 F x AA z 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 58 2. 2.合理选择材料：合理选择材料： 大柔度压杆：大柔度压杆： E E 较高的材料，较高的材料， cr 也高，也高，各种钢材各种钢材 （或各种铝合金）的（或各种铝合金）的 E E 基本相同基本相同 2 2 cr ElA l iI 依据：依据： 欧拉公式欧拉公式 中柔度压杆：中柔度压杆： 强度较高的材料，强度较高的材料， cr 也高也高 小柔度压杆：小柔度压杆： 按强度要求选择材料按强度要求选择材料 高强度钢一般不提高高强度钢一般不提高E，从而不提高结构稳定性从而不提高结构稳定性

31、钢与合金钢钢与合金钢: :E = =200 220GPa 铝合金铝合金: :E = =70 72GPa 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 59 3.3.合理安排压杆约束与杆长合理安排压杆约束与杆长: : 依据：依据： 欧拉公式欧拉公式 cr E l i 2 2 cr () EI F l 2 2 2 cr () cr For l 2 1 cr,1 EI F l 2 2 2 cr,2cr,1 EI FF l 2 2 2 4 4 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 60 F 4. 4.稳定性是整体量，可以不计局部削弱，局部加强也收效甚微稳定性是整体量，可以不计局部削弱，局部加强也收

32、效甚微 课后讨论题课后讨论题 试比较梁的合理强度设计、合理刚度设计、试比较梁的合理强度设计、合理刚度设计、 压杆的合理稳定性设计。压杆的合理稳定性设计。 合理设计依据，合理设计依据， 三者的共同或相似处，三者的共同或相似处， 三者的不同处。三者的不同处。 依据：依据：压杆稳定微分方程压杆稳定微分方程 2 2 2 0 d w k w dx 的积分解答是整体量的积分解答是整体量 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 61 例：例：梁梁 160MPa，长 ，长l=2m,截面正方形，边长截面正方形，边长b=150mm， 经验公式经验公式., cr 3041 12 ， st n 3，两端铰支，求许

33、可载荷两端铰支，求许可载荷 P 。 柱柱ABAB截面圆形、截面圆形、直径直径d=36mm, 长长l=0.8m, p=99.3, 0=57， A B P C 2/ l2/ l d b b l 57 0 D 求解思路：求解思路： 对梁对梁AB进行强度分析，进行强度分析， 对压杆对压杆CD进行稳定性分析，进行稳定性分析， 取两许可载荷较小者。取两许可载荷较小者。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 62 解：解：(1)(1)对梁的强度分析对梁的强度分析 PlM 4 1 max z W Mmax max P l b 3 1 4 6 b PN l 3 3 3 1 22 160 150 180 1

34、0180kN 332000 A B P C 2/ l2/ l d b b l 57 0 D (2)(2)对柱对柱ADAD的稳定性分析的稳定性分析 d i 9mm 4 . p l i 01 800 88 89 9 对柱采用中柔度杆公式计算对柱采用中柔度杆公式计算 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 63 3041.12 88.89204.4MPa crcr cr st n 68.13MPa 3 crcr d PN N 2 2 2 3 22 4 2 68.1336 /4 138.7 10138.7kN A B P C 2/ l2/ l d b b l D P 1 180kN, (2)(2)

35、对柱采用中柔度杆公对柱采用中柔度杆公 式计算式计算 ., cr 3041 12 min ,.PPPkN 12 138 7 注意：注意： 对压杆，必须先判断是对压杆，必须先判断是 大柔度、中柔度、还是大柔度、中柔度、还是 小柔度杆，才能选用合小柔度杆，才能选用合 适的公式计算。适的公式计算。 p 0 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 64 四、大挠度理论与实际压杆四、大挠度理论与实际压杆 1. 简化模型：刚杆简化模型：刚杆-扭簧系统，弹簧常数扭簧系统，弹簧常数k* F MB F B C q q 恢复力矩：恢复力矩： * ()kq q2 由平衡条件：由平衡条件： * sin cr l F

36、kq qq q 2 2 * sin cr k F l q q q q 4 驱动力矩（大变形）：驱动力矩（大变形）：sin cr l Fq q 2 F A B C l 2 l 2 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 65 实际临界载荷不是随遇平衡实际临界载荷不是随遇平衡 小变形理论给出合理简化小变形理论给出合理简化 q q F O C cr FA B 大变形理论大变形理论 小变形理论小变形理论 2 * cr k F l 4 * sin cr k F l q q q q 4 简化模型小挠度理论简化模型小挠度理论 简化模型大挠度理论简化模型大挠度理论 * sincos sin cr dFk

37、dl q qq q q qq q q qq q q q 2 00 4 * cos k l q q q q q q 0 4 2 0 * ( ) cr k F l 4 0 ( ) cr F00 * (). cr kk F ll 44 1 57 22 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 66 2. 2.大挠度理论与实际压杆大挠度理论与实际压杆 EI xM x )( ) 1 （ ( ( ( ( 3 2 2 ( ) 1( ) M xwx EI w x D max w F O C cr F A B 精确压杆稳定微分方程精确压杆稳定微分方程 （求解大挠度问题）（求解大挠度问题） 理想压杆小挠度理论与

38、大理想压杆小挠度理论与大 挠度理论及实验结果比较挠度理论及实验结果比较 大挠度理论大挠度理论 小挠度理论小挠度理论 实验结果实验结果 由大挠度理论，由大挠度理论，F=1.015Fcr, wmax=0.11l. 比较显示了理想压杆小挠度理论的实际意义。比较显示了理想压杆小挠度理论的实际意义。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 67 例例1： 试用类比试用类比 法求临界载荷法求临界载荷 解解（1 1）失稳曲线特征分析：）失稳曲线特征分析： （2 2）类比方式）类比方式 两端转角为零，两端转角为零，A端允许水平位移，端允许水平位移，B端允许垂直端允许垂直 位移。位移。 类比长为类比长为2l

39、 的两端固支杆。的两端固支杆。 l EIF A B 类比法的应用类比法的应用 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 68 例例1： 试用类比法求临界载荷试用类比法求临界载荷 ( ( 22 22 2 0.52 cr EIEI F l l 1 l F l F （2 2）类比方式）类比方式 类比长为类比长为2l 的两端固支杆。的两端固支杆。 （3 3）关键）关键 寻找与已知失稳载荷的杆中受力相同的寻找与已知失稳载荷的杆中受力相同的杆段杆段。 （4 4）思考）思考 类比为长类比为长l、一段固定、一端自由杆。一段固定、一端自由杆。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 69 作业作业 2版：

40、版：10-13, 14, 15 3版：版：11-13, 14, 15 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 70 一、临界应力总图一、临界应力总图 cr 0 p cu p cu ba cr 2 2 E cr 小柔度杆小柔度杆中柔度杆中柔度杆大柔度杆大柔度杆 上一讲回顾上一讲回顾 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 71 二、二、 压杆稳定条件压杆稳定条件 crcr stst stst F FF nn 三、压杆的合理设计三、压杆的合理设计 2 2 cr ElA l iI cr ab 依据：依据： 欧拉公式欧拉公式 经验公式经验公式临界应力总图临界应力总图 1. 1. 合理截面形状：

41、合理截面形状： 2. 2.合理选择材料：合理选择材料： 3.3.合理安排压杆约束与杆长合理安排压杆约束与杆长: : 4. 4.稳定性是整体量，可以不计局部削弱与局部加强。稳定性是整体量，可以不计局部削弱与局部加强。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 72 一、显现与潜在失稳形态一、显现与潜在失稳形态 二、高速水流管道失稳二、高速水流管道失稳 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 73 一、显现与潜在失稳形态一、显现与潜在失稳形态 20072007年年0606月月1414日广州黄埔大桥脚手架坍塌日广州黄埔大桥脚手架坍塌 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 74 例：例：

42、下列结构下列结构OA，BC为大柔度杆，为大柔度杆，AB为刚性杆。为刚性杆。 求失稳临界载荷。求失稳临界载荷。 F k l EI ( 1 A O F lEI ( 2 A O 0 EI B C 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 75 (1) cr Fkl (1) cr Fkl （1）分析）分析: 弹性杆弹性杆-弹簧系统弹簧系统 有两种失稳形式：有两种失稳形式：a. 弹簧变弹簧变 形，杆保持直线偏转失稳；形，杆保持直线偏转失稳； b.弹簧变形，杆弯曲失稳。弹簧变形，杆弯曲失稳。 F k A O 实际发生实际发生 潜在失稳形式潜在失稳形式。 F k l EI A O 在临界状态，载荷引起的偏

43、转力矩与弹簧力的恢复力矩在临界状态，载荷引起的偏转力矩与弹簧力的恢复力矩 平衡。平衡。 解：解：（a）设微干扰后杆）设微干扰后杆OA 保持直线偏转失稳。保持直线偏转失稳。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 76 解：解： （b）弹簧不变）弹簧不变 形，杆弯曲失稳。形，杆弯曲失稳。 F k l EI A O (1) cr Fkl 2 (2) 2cr EI F l 较小临界载荷所对应的失稳较小临界载荷所对应的失稳 形式是结构实际失稳形式。形式是结构实际失稳形式。 2 2 min , cr EI Fkl l 杆杆OA相当于两端相当于两端 铰支杆铰支杆 F k A O (a) F A O k

44、 (b) 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 77 * 3 0 3 F l EI *0 3 3EI kF l （2）分析：）分析： F lEI ( 2 A O 0 EI B C F k l EI ( 1 A O 悬臂梁悬臂梁BC相当于一弹簧，为相当于一弹簧，为 了求当量弹簧常数了求当量弹簧常数k*，设刚性，设刚性 杆杆AB上作用一水平力上作用一水平力F*，则，则 悬臂梁悬臂梁BC水平位移水平位移 为为 当量弹簧常数当量弹簧常数 ( )*0 2 3 a cr EI Fk l l （2）解：）解：（a） 设微干扰后，设微干扰后，OA杆保持直线偏转失稳。杆保持直线偏转失稳。 类比（类比（1）

45、的解法：）的解法： 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 78 （a） （2）解：）解： F lEI ( 2 A O 0 EI B C F k l EI ( 1 A O ( )*0 2 3 a cr EI Fk l l 2 ( ) 2 b cr EI F l （b） 设微干扰后，设微干扰后，OA 杆弯曲失稳。杆弯曲失稳。 2 0 22 min 3 , cr EIEI F ll 对比杆（对比杆（1） 2 * 2 min , cr EI Fk l l *0 3 3EI k l 结构（结构（2）失稳临界载荷）失稳临界载荷 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 79 22 2 (1, 2)

46、 cr nEI Fn l 进一步讨论：进一步讨论：根据欧拉公式，大柔度压杆根据欧拉公式，大柔度压杆 当当n1时，上述解答有无实际意义？时，上述解答有无实际意义？ 2 0 22 min 3 , cr EIEI F ll 把握潜在失稳形式的重要性把握潜在失稳形式的重要性 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 80 高阶解的意义：高阶解的意义： 22 2 (1, 2) nEI Fn l 展示高阶解的小实验：展示高阶解的小实验：1 1，2 2，3 3个半波的波形失稳个半波的波形失稳 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 81 高阶解的讨论与工程应用高阶解的讨论与工程应用 FF 增加在失稳过

47、程中一直不受增加在失稳过程中一直不受 力的相应零力约束，能使临力的相应零力约束，能使临 界载荷提高界载荷提高n2倍。倍。 nEI Fn l 22 2 (2) 不同学科问题对比：化学催化剂不同学科问题对比：化学催化剂 自身不参加反应，提高反应速度自身不参加反应，提高反应速度 工程应用：脚手架，加中间约束工程应用：脚手架，加中间约束 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 82 反映不同运动形式内在联系的稳定系列实反映不同运动形式内在联系的稳定系列实 验验 从从“不识庐山真面目，只缘身在此山中不识庐山真面目，只缘身在此山中” 到到“会当凌绝顶，会当凌绝顶， 一览众山小。一览众山小。” 右图：随

48、质量块右图：随质量块 振动频率变化，振动频率变化， 系统或左右摇摆，系统或左右摇摆， 或上下振动或上下振动 上图：随流速变化从层流到湍流的转捩实验上图：随流速变化从层流到湍流的转捩实验 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 83 一、观察与思考一、观察与思考 1. 1.握高压水枪的手为什么会颤抖？握高压水枪的手为什么会颤抖？ 2. 2. 洗衣机排水管为什么会在地面摆动？洗衣机排水管为什么会在地面摆动？ 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 84 例：例：流体截面积流体截面积A，密度，密度 ，管弯曲刚度，管弯曲刚度EI，求临界流速求临界流速vcr v l EI x 解：解： 管微弯后

49、，流体动反力为管微弯后，流体动反力为 ( ( ( ( 2 c Av q x x 此动反力引起（驱动）弯矩此动反力引起（驱动）弯矩( ( ( ( 2 2 d M x q x dx 其中其中 c(x)为曲率半径为曲率半径 ( ( 2 2 2 1 ( ) c d M x Av dxx 高速水流管道失稳问题高速水流管道失稳问题 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 85 例：例：流体截面积流体截面积A，密度，密度 ， 管弯曲刚度管弯曲刚度EI，求临界流速求临界流速 vcr v l EI x ( ( ( ( 1 c M x xEI ( ( 2 2 2 1 ( ) c d M x Av dxx 曲率

50、表示的弯曲变形公式建立曲率表示的弯曲变形公式建立 了弹性恢复力矩与曲率的关系了弹性恢复力矩与曲率的关系 又：又：( ( 2 2 EId w M x dx 42 2 42 0 d wd w EIAv dxdx 42 2 42 0 d wd w k dxdx 2 2 Av k EI 或或 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 86 1234 sincoswckxckxc xc ( ( ( ( 00,0MM l v l EI x 42 2 42 0 d wd w k dxdx 2 2 Av k EI 方程的通解方程的通解 对于四阶微分方程要考虑位移与力的边界条件，铰支对于四阶微分方程要考虑位移

51、与力的边界条件，铰支 端力的边界条件可表示为端力的边界条件可表示为 ( ( M xEIw 注意到注意到： 铰支端力的边界条件可改写为铰支端力的边界条件可改写为 ( ( ( ( 00,0wwl 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 87 1234 sincoswckxckxc xc 问题边界条件可写为问题边界条件可写为 ( ( ( ( ( ( ( ( 00,00 0,0 ww w lwl 1 sin0ckx ,1klnn 取取 cr EI v lA v l EI x 代入方程的通解代入方程的通解 得得 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 88 一、一、 应变片及其转换原理应变片及其

52、转换原理 R k R 敏感栅的电阻变化率敏感栅的电阻变化率 与正应变成正比与正应变成正比 应变片应变片 应变灵敏度应变灵敏度:k 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 89 二、二、 电桥测量原理电桥测量原理 3124 () 4 RRRRU U RRRR R k R 1234 () 4 kU U 1234 () 4 k U U 1. 全桥读数应变全桥读数应变 1 R 2 R 3 R 4 R B A C D U 惠斯登电桥惠斯登电桥 电阻应变仪电阻应变仪 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 90 2. 半桥读数应变与温度补偿半桥读数应变与温度补偿 11 12 ()() tt R3和

53、和R4，内部相同的固定电阻。，内部相同的固定电阻。 ( ( 11tt 1 R 2 R 3 R 4 R B A C D U 1 R 2 R 3 R 4 R B A C D U 工作片工作片 补偿片补偿片 最好能在桥路中自补偿；否则，最好能在桥路中自补偿；否则， 要用绝对不受力的温度补偿片。要用绝对不受力的温度补偿片。 R1和和 R2都是工作片 都是工作片 R1，工作片。，工作片。R2，补偿片。，补偿片。 温度补偿问题温度补偿问题 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 91 3. 半桥测量例半桥测量例 ( ( 11tt a. 工作片贴工作片贴1，补偿片贴不受力件，补偿片贴不受力件 1 2a

54、F max1 EE ( ( ( ( 121 2 tt b. 1和和2两工作片两工作片 max1 1 2 EE 1 R 2 R 3 R 4 R B A C D U 工作片工作片 补偿片补偿片 1 R 2 R 3 R 4 R B A C D U 工作片工作片1 工作片工作片2 不需补不需补 偿片，偿片， 灵敏度灵敏度 提高一提高一 倍。倍。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 92 三、三、 组合变形实验方案设计与测量组合变形实验方案设计与测量 1. 弯扭组合轴弯扭组合轴E，d，试由四，试由四 个应变片测量个应变片测量M，T。设计布片。设计布片 方案和桥路，写出计算公式。方案和桥路，写出计

55、算公式。 cdab 例：例：方案方案1. 全桥测全桥测M ab cd T M M T 扭转切应力不对应变片发生影响扭转切应力不对应变片发生影响 1 4 cdab max 1 4 c EE 33 max 1 432128 dE d MWE 方案评价：可测弯矩，不能测扭矩，测弯矩灵敏度为方案评价：可测弯矩，不能测扭矩，测弯矩灵敏度为 贴单片时的贴单片时的4倍。倍。 c a b d U 1 R 2 R 3 R 4 R 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 93 2 aba 方案方案2. 半桥测半桥测T、M 方案评价：只利用了两应变片，方案评价：只利用了两应变片， 灵敏度为贴单片的两倍。灵敏度为

56、贴单片的两倍。 b o 45 a c T M M T o 45 d max 1 2 a EE a b U 3 max 64 E d MW (1) 由应变片由应变片a、b测测M 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 94 oooo TMTM 45454545 (2). 半桥测半桥测T c、d两点应变包括了弯曲应变两点应变包括了弯曲应变 M和扭转应变和扭转应变 T b o 45 a c T M M T o 45 d o 45 o 45 U oo TT 4545 oo MM 4545 o T 45 2 ( ( ( ( ooo TTT maxmax2 454545 112 1 TT EEE (

57、( 3 max 32 1 T p d E TW 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 95 b o 45 a c T M M T o 45 d o 45 o 45 o T 45 4 方案方案3. 全桥测全桥测T 、 M 此桥路消除此桥路消除M的影响的影响 ( ( maxmax 4 1 TT E ( ( 3 max 64 1 T p d E TW 方案评价：充分利用方案评价：充分利用4应变片，灵敏度提高应变片，灵敏度提高4倍。倍。 思考：如果存在轴力，此一布片方案和桥路如何测思考：如果存在轴力，此一布片方案和桥路如何测T。 o 45 a U o 45 b o 45 d o 45 c (1)

58、 测测T 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 96 b o 45 a c T M M T o 45 d o 45 o 45 oooo abcd 45454545 1 4 方案方案3. 全桥测全桥测M 方案评价：自行补充。方案评价：自行补充。 o 45 a U o 45 b o 45 d o 45 c oooo abcd 45454545 2 M W ( ( ooo aaa 454545 11 2 M EE W ( ( o 33 a 45 2 11632 1 EdE d M (2) 测测M 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 97 2、图示、图示两端开口两端开口的薄壁圆筒，内压的

59、薄壁圆筒，内压p， 扭力偶矩扭力偶矩T，圆筒内径，圆筒内径d，壁厚，壁厚t，材料的材料的 弹性模量弹性模量E E和泊松比和泊松比。测。测p和和T ,建立压建立压 力力p、扭力偶矩、扭力偶矩T T与所测正应变之间的关与所测正应变之间的关 系。哪种方案合理系。哪种方案合理? (1)轴向和环向，测出轴向和环向，测出 0 和和 90 。 （2 2）与轴线成）与轴线成4545o o角方向角方向 ， ，测出 测出 45 45 和 和 45 45。， 。， T p （2）（1） l 解解:(1(1轴向与环向应力轴向与环向应力 , xtx pDT tt 0 22 方案方案(1)贴片不能测切应力，贴片不能测切应

60、力， 也就不能测扭矩，故不合理。也就不能测扭矩，故不合理。 第十一章第十一章 压杆稳定问题压杆稳定问题 98 , xtx pDT tt 0 22 解解:(2(2与轴成与轴成4545o o方向应力方向应力 T p （2）（1） l cossin o ooxtxt x 45 2 452 45 22 o o pDT tt pDT tt 45 45 42 42 ( ( ( ( oo oo t p D Tt 4545 4545 2 由广义胡克定律：由广义胡克定律： () () ooo ooo E E 2 454545 2 454545 1 1 () () o tE p D 0 4545 2 1 () (