利用导数证明不等式的常见题型第七计

1、利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧技巧精髓1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点， 也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得 不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明【例1】 已知函数 f (x) ln(x 1) x ，求证：当 x 1时，恒有11 ln( x 1) xx1分析： 本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数1g(x) ln( x 1)1，从其导数入手即可证明。x1 1x【 绿色通

2、道 】 f (x)1x 1 x 1当 1 x 0时， f (x) 0，即 f (x) 在x ( 1,0)上为增函数当 x 0时， f (x) 0，即 f (x) 在x (0, )上为减函数故函数 f (x)的单调递增区间为 ( 1,0) ，单调递减区间 (0, )于是函数 f(x)在( 1, )上的最大值为 f ( x) max f(0) 0 ，因此，当 x 1时，f(x) f (0) 0， 即 ln( x 1) x 0 ln( x 1) x (右面得证) ，1 现证左面，令 g(x) ln( x 1)1，x11则 g (x)1x112 ( x 1)2x2( x 1) 2当x ( 1,0)时,

3、g (x) 0;当x (0, )时,g (x) 0即 g ( x) 在 x ( 1,0) 上为减函数，在 x ( 0, ) 上为增函数，故函数 g(x)在 ( 1, )上的最小值为 g(x)min g(0) 0，1 当 x 1时， g(x) g(0) 0，即 ln(x 1) 1 0x1 11 ln( x 1) 1 ，综上可知，当 x 1时,有1 ln( x 1) xx 1 x 1【警示启迪 】如果 f (a)是函数 f ( x)在区间上的最大(小)值，则有f(x) f(a)(或 f (x) f (a) )，那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过 0 就可得证2、直接作差构造函数证明1 2 2

4、 3 【例 2】已知函数 f (x)x2 ln x. 求证：在区间 (1, )上，函数 f (x) 的图象在函数 g(x)x3的23 图象的下方；分析： 函数 f (x)的图象在函数 g( x)的图象的下方不等式 f(x) g(x) 问题，1 2 2 3明 在 区 间 (1, ) 上 ，即 x2 ln xx3 ， 只 需 证恒 有 12x2 ln x 32 x3 成 立 ， 设F(x) g(x) f (x) ， x (1, )，要证不等式转化变为：当 x 1时，1考虑到 F(1) 06F(x) F (1) ，这只要证明：12x2223 绿色通道 】设 F(x) g(x) f(x)，即 F(x)

5、 2 x33g(x)在区间 (1, )是增函数即可。ln x ，23则F (x) 2x2 x 1 (x 1)(2x x 1)x当x 1时， F (x)=(x 1)(2x2 x 1)从而 F(x)在 (1,)上为增函数， F(x) F(1)当 x 1时 g(x) f (x) 0，即 f (x) g(x)，33 的图象的下方。2故在区间 (1,)上，函数 f (x)的图象在函数 g(x) 2x3【 警示启迪 】本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数) 并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以 设 F(x) f(x)

6、g(x) 做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元后作差构造函数证明例 3】( 2007 年，山东卷)证明：对任意的正整数n，不等式分析： 本题是山东卷的第( II )问，从所证结构出发，只需令1ln( 1)n1x，n12 13 都成立 . nn则问题转化为：当 x 0 时，恒有 ln(x 1) x2 x3 成立，现构造函数 h(x)x3x2ln(x 1) ，求导即可达到证明。绿色通道 】令 h(x) x3 x2 ln(x 1) ，21则 h (x) 3x2 2x3x3 (x 1)2 在x 1 x 1x (0, ) 上恒正，1123 nn警示启迪 】我们知道，当 F(x) 在a,b 上单调递增

7、，则 x a 时，有 F(x) F(a)如果 f(a) (a) ，要证明当 x a时，f (x)(x) ，那么，只要令F(x) f (x) (x) ，就可以利用 F(x) 的单所以函数 h(x)在 (0, )上单调递增， x (0, )时，恒有 h(x) h(0) 0，即 x3 x2 ln(x 1) 0， ln(x 1) x2 x311对任意正整数 n，取 x(0, )，则有 ln( 1)nn调增性来推导也就是说，在 F (x)可导的前提下，只要证明 F (x) 即可4、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数 y= f(x) 在 R 上可导且满足不等式 x f (x) f (x)恒成立，且

8、常数 a，b 满足 ab，求证： a f (a) b f (b)绿色通道 】由已知 x f (x)+ f(x)0 构造函数 F(x) xf (x)，则 F(x) x f (x)+ f(x) 0， 从而 F (x)在R上为增函数。a b F(a) F(b) 即 a f(a)b f(b)警示启迪 】由条件移项后 xf (x) f (x) ，容易想到是一个积的导数， 从而可以构造函数 F(x) xf (x)，求导即可完成证明。若题目中的条件改为 xf (x) f ( x) ，则移项后 xf (x) f (x) ，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。 思维挑战 】21、( 2007年，安徽

9、卷) 设a 0, f(x) x 1 ln2 x 2aln x 求证：当 x 1时，恒有 x ln2 x 2aln x 1 ，5a23a2ln a，2、( 2007 年，安徽卷)已知定义在正实数集上的函数1f(x)x2 2ax, g(x) 3a2 ln x b, 其中 a0，且 b求证： f (x) g(x)x3、已知函数 f(x) ln(1 x) ，求证：对任意的正数 a 、b， 1x恒有 ln a lnb 1 b. a4、( 2007 年，陕西卷)f (x) 是定义在( 0，+ )上的非负可导函数，且满足xf (x) f (x) 0，对任意正数 a、 b，若 a b，则必有( A)af (b

10、)bf (a)(B)bf (a)af (b)(C)af (a)f (b)(D)bf (b)f (a)答案咨询 】1、提示：2ln x 2a2ln xf (x) 1 ，当 x 1， a 0时，不难证明1xx xf (x) 0，即 f (x) 在(0, )内单调递增，故当 x 1时，2f (x) f (1) 0 ，当 x 1时，恒有 x ln 2 x 2aln x 12、提示：2设 F(x) g(x) f(x) 1 x2 2ax 3a2ln x b则F (x) x 2a 3a 2x(x a)(x 3a) (x 0) a 0， 当x a时， F (x) 0，x故F (x)在(0, a)上为减函数，在 (a, )上为增函数，于是函数 F(x) 在 (0, )上的最小值是 F(a) f (a) g(a) 0，故当 x 0时，有 f (x) g(x) 0，即 f (x) g(x)3、提示： 函数 f ( x)的定义域为 ( 1, ) ， f (x) 2 21 x (1 x)2 (1 x)2当 1 x 0时， f (x) 0，即 f (x) 在x ( 1,0)上为减函数当 x 0时， f (x) 0，即 f (x) 在x (0, )上为增函数因此在 x 0时, f (x)取得极小值 f (0) 0 ，而且是最小值x1于是 f(x) f(0) 0,从而 ln(1 x) ，即 ln(1 x)