概率论答案李贤平版第二章

1、文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第二章条件概率与统计独立性48文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.1、字母M, A, X, A, M分別写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概 率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。3、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件 下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概 率：（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。4、袋中有a只黑球，b吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取

2、出一球（取后来放回），试分别求出三人各自 取得白球的概率（b3）。5、从0, 1, 2,，9中随机地取出两个数字，求苴和大于10的概率。6、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有&吸白球，0吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取岀的两球全为白球的概率是多少？7、设的N个袋子，每个袋子中将有a只黑球，b只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第 二袋中取岀一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取岀黑球的概率是多少？8、投硬币n回，第一回出正而的概率为c,第二回后每次出现与前一次相同表而的概率为p,求第n回 时出正而的概率，并讨论当“too时的情况。9、甲

3、乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以 pn, qn, rn分別记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。 试导出pn+l,qn+l, rn+1用pn, qn, rn表岀的关系式，利用它们求pn+1, qn+1, m+1,并讨论当T cc 时的情况。10、设一个家庭中有n个小孩的概率为/?1一”这里0vpvl, 0a 1）个男孩的概率为2apk /（2 “）2。11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。12、已知产品中96%是合

4、格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98, 而误认废品为合格品的概率为0.05,求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。13、设A, B, C三事件相互独立，求证皆与C独立。14、若A, B, C相互独立，则A.B.C亦相互独立。15、证明：事件相互独立的充要条件是下列2n个等式成立：p（入入入）=p（a）p（A2）叭），其中4取人或瓦。16、若A与B独立，证明0A,瓦,。中任何一个事件与9,5氏0中任何一个事件是相互独立的。17、对同一目标进行三次独立射击，第一，二,三次射击的命中概率分別为0.4, 0.5, 0.7,试求（1）在 这三次射击

5、中，恰好有一次击中目标的概率：（2）至少有一次命中目标的概率。18、设A.,A2,-，4相互独立，而P（Ak） = pk,试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件中 至少发生其一的概率；（3）恰好发生苴一的概率。19、当元件k或元件人或灯都发生故障时电路断开，元件k发生故障的概率等于0.3,而元件kl, k2 发生故障的概率怨为.2,求电路断开的概率。20、说明重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。21、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7,而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8, 第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。22

6、、掷硬币出现正而的概率为p,掷了 n次，求下列概率：（1）至少岀现一次正而：（2）至少出现两次 正而。23、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的槪率相等，比赛规泄先胜三局者为整场比赛的优胜 者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？24、甲，乙均有n个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正而数相等的概率。25、在贝努里试验中，事件A出现的概率为p,求在n次独立试验中事件A出现奇数次的概率。26、在贝努里试验中，若A出现的概率为p,求在出现m次A之前出现k次A的概率。27、甲袋中有”一1只白球和一只黑球，乙袋中有N只白球，每次从甲，乙两袋中分別取出一只球并交 换放

7、入另一袋中去，这样经过了 n次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论Toe时的情况。28、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7,求有10个或更多个终 端同时操作的概率。29、设每次射击打中目标的概率等于0.001,如果射击5000次，试求打中两弹或两禅以上的概率。30、假左人在一年365日中的任一日岀生的槪率是一样的，在50个人的单位中有两而三刀个以上的人生 于元旦的槪率是多少？31、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给泄的一页上至少有 三个错字的概率。32、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1亳升中平均含有一个细菌，

8、把这种疫苗放入5只试管中，文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 每试管放2亳升，试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的槪率。33、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的槪率为0.2,求在2分钟内有多于 一车的概率。34、若每蚕产n个卵的概率服从普阿松分布，参数为兄，而每个卵变为成虫的概率为p,且各卵是否变 为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k只小蚕的概率。35、某车间宣称自己产品的合格率超过99%,检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了 100件，发 现有两件次品，能否据此断左该车间谎报合格率？36、在人群中男人患

9、色盲的占5%,女人想色盲的占0.25%,今任取一人后检査发现是一个色盲患者，问 它是男人的概率有多大？37、四种种子混在一起,所占的比例是甲:乙:丙：丁 =15： 20： 30： 35,各种种子不同的发芽率是:2%, 3%, 4%, 5%,已从这批种子中任送一粒观察，结果未发芽，问它是甲类种子的概率是多少？38、对同一目标由3名射手独立射击的命中率是0.4、0.5,和0.7,求三人同时各射一以子弹而没有一发中 靶的概率？39、有两个袋子，每个袋子装有a只黑球，b只白球，从第一个中任取一球放入第二个袋中，然后从第 二个袋中取出一黑球的概率是多少？40、已知产品中96%是合格的，现有一种简单的检查

10、方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98,而误认废品为合格品的概率为0.05,求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。41、某射手用A.B.C三支枪务向靶射一发子弹，假设三支枪中靶的概率分别为040.3,0.5,结果恰有两弹中靶，问A枪射中的概率为多少？42、已知产品中96%是合格的，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98, 而误认废品为合格品的概率为0.05,求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。43、设第一个盒子中有两个白球和一个黑球，第二个盒中有三个白球和一个黑球，第三个盒子中有两个 白球和两个黑球。此三个盒子外形相同

11、，某人任取一个盒子，再从中任取一个球，求他取得白球的 概率。44、用血淸蛋白的方法诊断肝癌，%C=被检查者患有肝癌”，判断被检査者患有肝癌。设P（C） = 0.0004, P（A/C） = 0.95,P（A/C） = 0.90,现有一个人诊断患有肝癌，求他确有肝癌的概率。45、一批零件共100个，次品有10个。每次从其中任取1个零件，菜取3次，取岀后不放回。示第3 次才取得合格品的概率。46、10个零件中有3个次品，7个合格品，每次从苴中任取1个零件，共取3次，取后不放回。求：（1） 这3次都抽不到合格品的概率；（2）这3次至少有1次抽到合格品的概率。47、一批产品中有15%的次品。进行独立重

12、复抽样检查，问取出的20个样品中最大可能的次品数是多 少？并求其概率。48、一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布。求（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；（2） 每分钟呼唤次数不超过10的概率。49、有一汽车站有大疑汽车通过，设每辆汽车在一天某段时间岀事故的概率为0.0001 c在某天该段时间 内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于的槪率。50、某商店出售某种贵重物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数；1 = 4的泊松分布。问在月初 进货时，要库存多少件才能以99。2%的概率充分满足顾客的需要？49文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word

13、版本可编辑.欢迎下载支持.51、从某厂产品中任取200件，检査结果发现其中有4件废品。我们能否认为该产品的废品率不超过 0.005?52、若A.B.C是三个独立的事件，则A.B.C亦是独立的。53、设 P(A)0,若 A 与 B 相互独立，则 P(BIA)=P(B)o54、若相互独立，则和C及A-B与C亦独立。55、设P(A)0. P(B)0,证明A和B相互独立与A和B互不相容不能同时成立。56、求证：如果 P(A I B) P(A),则 P(B I A) P(B) 57、证明：若事件A与事件B相互独立，则事件刁与事件鸟相互独立。58. 设A, B, C三事件相互独立，求皆与C独立。59、若A

14、, B, C相互独立，则A.B.C亦相互独立。6()、若A与B独立，证明中任何一个事件与05P,。中任何一个事件是相互独立的。第二章解答1、解：自左往右数，排第i个字母的事件为A”则2 ? 1 1P(爲)=亍卩(人2肉)=才卩(人3肉)= ，卩(人4 |人3人2儿)=所以题中欲求的概率为2、解：总场合数为28。设A珂三个孩子中有一女, B=三个孩子中至少有一男, A的有利场合数为7, AB的有利场合为6,所以题中欲求的概率P (BIA)为P(B|A)=P(AB)_6/8P(A) 7?851文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.3. 解：(1) M件产品中有m件废品，M -m件正品。设A

15、=两件有一件是废品B=两件都是废品, 显然AnB,则 P(A) = (C；,C；i+C；)/C； P(B) = C；/C：,题中欲求的概率为P(B I A) = P(AB)/P(A) = P(B)/P(A)eg _ 一 1W+C：)/V2M-/-1(2)设A珂两件中有一件不是废品八B=两件中恰有一件废品,显然,则 P(A) = (Cj +)/% , P(B) = g_,” / C； 题中欲求的概率为P(B I A) = P( AB)/P(A) = P(B)/ P(A)dd/c； m+2-i(3)戸取出的两件中至少有一件废品=(W+C：)/C“ C).M(M -1)4、解：甲取出一球为白球, B

16、=甲取出一球后，乙取出一球为白球, C=甲，乙各取出一球后,丙取出一球为白球。则 P(A) =甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得(“ + b)甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得_/?( + 一 1)( +方一 2)_ h(a + b)(a + b 1)( + /? 2) a+ b5、解：设B=两数之和大于10, Af第一个数取到i, i = 0丄,9。则P(A)= P(BI4() = P(BI 人)=0, P(3l4) = (j l)/9,i = 2,3,5;P(BI 列)=()一2)/9,j = 67,8,9 o由全概率公式得欲求的概率为P(B) =工 PAt )P(B IA)

17、 = 77 = 356 /-()6. 解：设Af从甲袋中取岀2只白球, A?曰从甲袋中取出一只白球一只黑球 Af从甲袋中取出2 只黑球, B=从乙袋中取出2只白球。则由全概率公式得cCC.22+cL cLJ十b Ja+Z?+27、解：Af从第一袋中取岀一球是黑球,，A从第一袋中取一球放入第二袋中再从第,-1 袋中取一球放入第i袋中，最后从第i袋中取一球是黑球, i = l,M 则p缶,m)=a b一般设则p(仆刊pg “应皿g)+P九冈)呃)=冷.由数学归纳法得p(aq =(a+b)文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持.8、解：设Af第i回出正而,记p=P（A）,则由题意

18、利用全概率公式得=PPi +(1 )(1 一门)=(2一1)门 +(1-/?).已知门=c,依次令一_1山_2,可得递推关系式解得当” H 1时利用等比数列求和公式得Qi罟缶卜扣I宀心h(1) 若 p = 1,则 p = C, lim p = C:(2) 若 p = 0,则当 n = 2k-1 时，pn = c :当 n = 2k 时，pn = 1 -c o若则几专，塑几T若c -1,则cHl-c, limp并不存在。2（3）若Ov p.则由（*）式可得9、解：令ArBi,Cl分别表示第i次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概 率公式得几+*”+0“弓”,C1c10 几+

19、严+0v=評这里有几科=乙+厂又几+|+9曲+汕=1，所以+1=1一2”同理有久=1 2几，再由隔=扎得仏T-2小所以可得递推关系式为= I治=丁（1一2几），9小=1一2几+】51文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持. 初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即“)=心=0,伽=1,由递推关系式得=_ 61一(一1 严4+(-ir42n+2时=1-2加=彳 + (-1)叫*).10、解：设人=家庭中有n个孩子, n=0,l,2,，B=家庭中有k个男孩。注意到生男孩与

20、生女孩是等 可能的，由二项分布(”=丄)得2由全概率公式得P(B) = XP(An)P(B I 4) =C；+J 打 (其中 i-Qn=knk 厶)=0 L)1K解：设心至少有一男孩 B珂至少有2个男孩心5“由。吕1得p(R、= V 2卅 =2。(2-/A _砂丄右(2-0严 2-/7 i (2_掰(1_卅(2 - P)P(B注亠亠.P(A) P(A) 2-p(2)C=家中无女孩=家中无小孩，或家中有n个小孩且都是男孩，n是任意正整数,则A-家中正好有一个男孩=家中只有一个小孩且是男孩，则P(A) = ap- = -ap,且州uC,2 2所以在家中没有女孩的条件下.正好有一个男孩的条件概率为a

21、“(l-p)(2-p)2(2_3p_ap + /?2)P(AC) = P(A) = 2apP(C) _ P(C) 一勺 2_3p_ap + p212、解：设A珂产品确为合格品儿B=检査后判为合格品八已知P(B I A) = 0.98 ,P(BIA) = 0.05, P(A) = 0.96,求 P(A I B),由贝叶斯公式得空込 0.9979.0.9428_0.96x0.980.96 x 0.98 + 0.04 x 0.0513. 证：(1) P(A U A C) = P(ACJ BC) = P(AC) + P(BC) - P(ABC)=P(C)P(A) + P(B) - P(AB) = P(

22、C)P(A U B),AUB与C独立。(2) P(ABC) = P(A)P(B)P(C) = P(AB)P(C)AAB与C独立。(3) P(A - B)C) = P( ABC) = P(AC(G - B) =P(AC) P(ABC)=P(C)P(A) - P(AB) = P(C)P(A - B),A-B与C独立。14、证：P(AB) = 1 -U B) = 1 -P(A) + P(B)-PAB)= P(A)P(B),同理可证 P(AC) = P(A)P(C),P(BC) = P(B)P(C).又有=d-P(A)Q -P(B)Q-P(C) = P(A)P(B)P(C),所以X,B,C相互独立。1

23、5、证：必要性、.事件相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前连续m个集人取瓦的形式。当加=1时,=卩)P(A-P(AJp(An) = P(瓦)P(仏)P(An)。设当m = k时有P(人 Aa+i A”) = P()P(儿)P(人+| A”)，则当m = k +1时从而有下列2式成立：P(人 A2-A) = P(人)P(入)P(An),其中A取儿或瓦。充分性。设题中条件成立，则54文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持.P(人A”)= P()P(A”)，(1)P(人A,r_,兀)=P(人)P(An_1)P(A).(2)

24、Ax-An_An CAx-A_xAn =0, m -m -4-.A“ U 心A)(1)+ 得P( ) = P(A)P(4_,)(3)同理有P(A A兀A) = HA)P(4)卩(心JP(A,)，两式相加得P( A A”儿)=P( A J P(A“)P(心)( 4)(3)+(4)得P( A) = P(A,)P(A2)- P(A_2) o同类似方法可证得独立性泄义中2 -幵+1个式子，人,每相互独立。16、证：P(00) = P(0) = 0x0 = P(0)P(0),= P(A)(1-P(B) = P(A)P(B),同理可得 P(AB)=P(A)P(B)O证毕。17、解:P 三次射击恰击中目标一

25、次 = 0.4(1 - 0.5)(1- 0.7)+ (1- 0.4)0.5(1 - 0.7) + (1-0.4)(1 - 0.5)0.7戸至少有一次命中二1 侏击中一次 = 1 (1 一 0.4)(l 0.5)(10.7) =0.9118、解：(1) P(m有的事件全不发生 = P瓦兀 = P(瓦)P(忑)=fp 一几)。A-(2)p至少发生其一 = P(/i1U- U4)卩07)= 1-卩(瓦込)=1一1(1一几)。Jt-ljir-119、解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的c记人严元件发生故障,儿二元件人发生故障, 人2二元件灯发生故障。则戸电路断开 = p（a）UAA2）= p（4）

26、+p（a1a2）-p（a）A2）= 0.3 + 0.2 x 0.2 0.3 x 0.2 x 0.2 = 0.328。20、解：以A*表事件“A于第k次试验中出现”，P（人）= ,由试验的独立性得，前n次试验中A都 不出现的概率为P（瓦兀入）=P（瓦）P（忑）呃）=（1 - ）” 0于是前n次试验中，A至少发生一次的概率为-P（AA2- An） = -（-s）n T1 （” T8）。这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A至少发生一次的概率可以无限地向1靠近， 从而可看成是必然要发生的。21、解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得P所有零件均为一级品=0.8

27、3 x0.72 =0.2509。22、解：利用二项分布得P至少出现一次正面 = 1_P次全部出现反面 = 1_（1-）”。P至少出现两次正面 = 1 一 （1 一仍-Cp（-p）n = 1 _ （1 _ np（y - p）n_,。23、解：（1）设A, B, C分别表示每局比赛中甲，乙丙获胜的事件，这是一个P（A） = P（B = P（C）=-的多项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获胜三次：或在前三次中，丙 获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为3!flY+ 3! M + 2!l!0!uJ3! 0! 0!3丿2,则limp =- （N越大,收敛速度越慢九工

28、228、解：P日有10个或更多个终端同时操作匸戸有10个或不足10个终端不在操作10= SC2o（O3）y（-7）2O_； =09829 29、解：利用普阿松逼近泄理计算2 = 5000x0.001 = 5,则打中两弹或两终以上的概率为30、解：事件“有两个以上的人生于元旦”的对立事件是“生于元旦的人不多于两个”利用-丄 的365二项分布得欲求的槪率为=0.000371 (364? +50x364+ 25 x49)36436531、解：每个错字出现在每页上的概率为=500个错字可看成做500次努里试验，利用普阿松逼近定理计算，2 = 500x = l,得500卩某页上至少有三个错字=1-1-P

29、某页上至多有两个错字a 1 （/ + / + 丄/）= 0.0803 232、解：每一亳升平均含一个细菌，每2亳升含2个，所以每只试管中含有细菌数服从2 = 2的普阿松 分布。由此可得P5个试管中都有细菌=（1 尸） =0.4833 ；戸至少有三个试管中有细菌 = C；（l-尸）（尸严=0.9800 r-2计算时利用了 = 1 一石2的二项分布。33、解：设一分钟内通过某交叉路口的汽车数服从2的普阿松分布，则P 1 分钟内无车 = eA = 0.2,人=-In 0.2 = 1.61由此得，2分钟内通过的汽车数服从几=人-3-22 = 0.831.34、解：若蚕产i个卵，则这i个卵变为成虫数服从

30、概率为p,n = i的二项分布，所以P蚕养出 n 只小蚕 =(1 一)i (令也= i k)35. 解：假设产品合格率p 0.99 ,不妨设“ =099。现从10000件中抽100件，可视为放回抽样。而100件产品中次品件数服从二项分布，利用普阿松逼近泄理得，次品件数不小于两件的概率为此非小概率事件，所以不能据此断左该车间谎报合格率。(注意，这并不代表可据此断定，该车间没 有谎报合格率。)36. 解：设A = 任取一人是男性B = 任取一人是女性 C = 任取一人检查患色盲则 P(A) = P(B) = - P(C I A) = 0.05 P(C B) = 0.00252故所求概率为PA IC

31、)由bayes公式可得P(A I C)=2021P(A)P(CIA)P(A)P(CA) + P(B)P(CB)37、解：设A、BCD分别表示任取一粒种子属于甲.已.丙.丁的事件。而E表示任取一粒种子，它不发芽的事件，则又 P(EA) = 0.02 P(E IB) = 0.03 P(EIC) = 0.04 P(E ID) = 0.05由Bayes公式，所求概率38、解:记A珂第i名射手射中目标则P(A.) = 0.4, P(A2) = 05, P(A3) = 0.7相互独立。所求概率 P ( A】A?令)=(1 一 04)( 1 - 05)(1-0.7) = 0.0939、解：设从第一个袋子摸出

32、黑球A,从第二个袋中摸出黑球为B,则由全概公式知：40、解：设A表示其合格品，设B表示被认为是合格品，则由贝叶斯公式41、解：设A = 恰有两弹中靶, B = A击中则42、解：设A = 被检查的产品被认为是合格品)B = 被检查的产品确实是合格品则 P(B) = 0.96 P=0.04 P(A I B) = 0.98 P(A I B) = 0.05312 3 22343、解：“(B) = YP(A)“(B/A)= 了(了 + 匚 + 丁)* f.i3 3 4 4Jo0.0004x0.9544、解=日%)一 P(C)P(%) + P(W)P%) - 0.0004x0.95 + 0.9996x0

33、.1 一 灸45、解：第3次才取得合格品，意味着前2次取得的是次品。记 =第1次取得次品,出=第2 次取得次品，4 = 第3次取得合格品。所求概率论为46. 解：(1)记儿=第1次取得次品,儿=第2次取得次品, = 第3次取得次品,则(2) “3次至少有1次抽到合格品”的对立事件是“3次都抽不到合格品”，故47、解：” = 20, p = 0.15。当/=( + l)/? = 21x05卜35 = 3 时，p, = Cq1 取得最大 值。4648. 解:(1)设X为每分钟呼唤次数，则XP(4)o故=6 = 0.10426!8 A1(2) PX 1 = 1-PX 11) = 1-/-ii * 査附表 2,得 PX 11 = 0.00284,故 10 = 1 -0.00284 = 0.9971649、解：/? = 0.0001, = 1000。设事故次数为