电磁场与电磁波答案第四版谢处方

1、文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑欢迎下载支持. （8） 8520 lword版本可编辑欢迎下载支持. 求: 第一章习题解答 .1给泄三个矢量a、B和C如下： A=ex+ev2-ez3 B=一4+0 C =ev5-e.2 1）心；（2） |A-B|：（3） aB；（4）0AB :（5） A 在B 上的分量：（6）AxC： （7） A（BxC）和（AxBC：（8） （AxB）xC 和4x（BxC）q Aex+er2-ez3123 |A| i2+22+（-3）2V14V14 V14 （2）|AB| = |（ex +e、.2-e：3）-（-e、.4+e：）| = |er +ey6e

2、z4 = yf53 （3）AB=（5+e、.2-e：3） （-e、.4 +冬）=一11 -11 11 由cos乞厂丽忒而忌，得九=曲（-急）= 1355 A 在B 上的分量 Ab = A cos0ah = -jj- = A.B 所以 （5） （7） A.B AxC = =-e4-e3-e .10 x y r3 =ex6 + e. 2 + e:5 則R2 = r2 ri，/?23 =r3 r2 =ex + ey+ez 9 R31 =r-r3=-ex6-ey-ezl 由此可见 2)求在直角坐标中点(-3,4,-5)处与矢.B=ex2-ex2 + e:构成的夹角。 解(1)在直角坐标中点(-3,4,

3、-5)处，r2 =(-3)2 +42 +(-5)2 =50 故 |创251 厂厂it门 1 -332 E. =/220 (2)在直角坐标中点(一3,4,-5)处，/= 一乞3 +匕4一5,所以 故E 与 B 构成的夹角为0FR = cos1= cos1 （- 19（ 1 j）= 153.6:; 關E.B3/2 l.io球坐标中两个点裁）和（匚6妙）泄岀两个位置矢量K和证明2z验证散度定 在圆柱坐标系中= - (rr2) + (2z) = 3r + 2 厂 drdz 4 2打 5 所以 故有 |VMdr = Jdzj dj(3r + 2)rdr = 1200 ro o o g AdS = 0 (

4、et.r + e: 2z)*(e,. d S + 即 d S + e： d S：)= ss 4 2/T5 2/T Jj5x5d0dz + JJ 2x4rdrd = 1200 o oo o Jv.Adr = 1200 =AdS 1.13 求(1)矢A = eKx2 +evx2y2 +e,24x2y2z3的散度； -+ 心-1 = 2x + 2x2y + 72x2y2z2 dx dydz Adr= J j J (2a+ 2x2y + 72x2y2z2)dxdydz = r-i/2 -i/2 -i/224 (3) a对此立方体表而的枳分 V2 1/21/2 1/2 j = 门 (-)2dydz- 门

5、 (-)2dydz + S-1/2-1/2 /-V2-1/2/ 1/2 1/21/2 1/2 门 2x2()2 dxdz- 门 2f ( )? d x dz + -1/2-1/22-1/2-!/22 文档从网络中收集，已重新整理排版word版本可编辑欢迎下载支持. V2 V2V2 1/2 J J 24x2y2(-)3dxdy- J J 24xy(-)3dxdy = -1/2 -1/2/-1/2-1/2/以 故有 1.14 分。 J V*Ad r = = Ad S f24 s 讣算矢量厂对一个球心在原点、半径为d的球表面的积分，并求寸对球体积的积 /T 扣d S =扣d S = J d 0aa1

6、 sin 直角在坐标系中 J s 冬 erSez d d d _ 1 ddd dr d（/ oz r dr60dz rBe B； Zsin02 cos 2rzsin0 =0 VxB = - 口厂瓷dCr 6C vc = += dx dy dz. （3八2x） + （F）+ f 0） = 0 oxoy dz. VxC = 5 d dx 3于一2/ dy dz. x1 2z = ez（2x-6y） 故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。 (2)这些矢量的源分布为 4 = 0 VxA = 0 = 2rsin VxB = 0? V VxC =e:（2x-6y） 1.24利用直角坐标，证明 V.（/4）

7、 = /V.A + AV 解在直角坐标中 dA. + dy 学）5 dz 证明 （/ 讐+译）+（/讐+4旦）+（曙“旦） ox dx oy oy dz oz aaa 丄（凤）+（他）+=（凤）=00） oxcyoz V.(AxH) = HxA-AxH 解根据V算子的微分运算性质，有 V.(AxH) = Va.(AxH) + Vh.(AxH) 式中V表示只对矢量a作微分运算，v表示只对矢量H作微分运算。 由(f(bxc) =c(“ xb) 可得 V4e(Ax/) = e(VAxA) = /e(VxA) 同理Vz/e(AxH) = -Ae(V,y x/) = -Ae(VxH) 故有V.(AxH)

8、 =X A -AVxH 1.26利用直角坐标，证明 9word版本可编辑欢迎下载支持. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑欢迎下载支持. 文档从网络中收集，已重新整理排版word版本可编辑欢迎下载支持. Vx(/G) = /VxG + VfxG 解在直角坐标中 )1 用G = % (詈-讐) + s(嚳-讐)+0(竽 /VxG + WxG = e(Gg + /)-(Gg + /% + oy dydz oz /xG十(G舟7荻g窘G舟+ g奢G詈) 所以 eg型+ /些)(G旦+ /理沪 dx dx Jdx x dy 6(/q)6(/gj6(/gj 0(/q) dz Y dyd

9、zv dz dx e.f J C|/(L2= Vx(/G) 6xdy 1.27 利用散度定理及斯托克斯泄理可以在更普遍的意义下证明Vx(V/) = 0及 V.(VxA) = 0,试证明之。 解(1)对于任意闭合曲线c为边界的任意曲而S，由斯托克斯左理有 a J(VxVn)*dS = Vz/*d7 = 号 d! =d“ =0 由于曲而s是任意i勺，故有C Vx(Vw) = 0 (2)对于任意闭合曲而s为边界的体积十，由散度泄理有 jv.(VxA)dr = (VxA)d S =(A*d/ ：C2 ,则有(Aed/ = -Ad/ GQ A*dZ + d Z + AJ2 一个体密度为p = 2.32x

10、lO-7C/nr的质子朿，通过1000V的电压加速后形成等速的 质子束，质子束内的电荷均匀分布，朿直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。 解 质子的质：4: l1t = 1.7x1027 kg、电量 q = 1.6xl0-19 C 由 1 2 W = qU 2 得v = y/2mqU = 1.37x 106 m/s 故j = pv = 0.318 A/nr / = J(J/2)2=1O-6 A 2.3 个半径为的球体内均匀分布总电荷量为。的电荷，球体以匀角速度q绕一个直径 旋转，求球内的电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴(一直径)为z轴。设球内任一点p的位置矢量为尸，且与 z

11、轴的夹角为0，则p点的线速度为 v = oxr =ecorsnO 球内的电荷体密度为 4龙/3 J = pv =、 cor sin 0 = e. co r sin 0 2.4 一个半径为的导体球带总电荷量为0,同样以匀角速度e绕一个直径旋转，求球表 面的而电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴(一直径)为z轴。设球面上任一点/的位置矢量为旷，且r 与Z轴的夹角为0，则P点的线速度为 v =(oxr =ecoa sin 0 球而的上电荷而密度为 4曲 J. = av = e. . cocisin 0 = e. sin 0 s。4加 4曲 2-5两点电荷=8C位于z轴上z = 4处，=-4C位于y

12、轴上y = 4处，求(4,0,0)处 的电场强度。 解 电荷(/在(4,0,0)处产生的电场为 口 _ 4 I _ 2 乞4一冬4 上_ 4昭 电荷在(4,0,0)处产生的电场为 一r； _ 1 ex4-ey4 % (4/2)3 故(4,0,0)处的电场为 c. + s 0,2 E = E+E.=- 32a/2() 2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷0,求垂直于圆平而的轴线上Z = d处的电场强度 E(0,0),设半圆环的半径也为如题2.6图所示。 解 半圆环上的电荷元口 d/ =在轴线上Z = a处的电场强度为 4% (y/2ay Pi ez_(ecos0+e,.sin矿)/ “ 8?2；

13、: 在半圆环上对上式积分，得到轴线上z =处的电场强度为 E(0,0,a) = JdE = 严 8+ Hn0)d0 = P寫;； 2.7三根长度均为厶，均匀带电荷密度分别为久、巾和必地 线电荷构成等边三角形。设必=2卩2 = 2p“计算三角形中心处的 电场强度。 解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 d = tan 30 = L 题2.7图 2 6 E =e (cos3(X -cosl50 )=乞 1，4們” 2叭L Er = -(ercos30 +evsin30 )2 = -(ex+ev)1 12word版本可编辑欢迎下载支持. 2tt)L8 們(上 文档从网络中收集，已

14、重新整理排版.word版本可编辑欢迎下载支持. 而半径为岳。的圆内的电荷产生在z轴上z = Z。处的电场强度为 E、= Geos30 -e. sin30 )P：-ej 2眄Lr勺上8兀久厶4碣L 2.8 一点电荷+g位于(-6/,0,0)处，另一点电荷2g位于(匕0,0)处，空间有没有电场强 度E=0的点？ 解 电荷+q在(x, y, z)处产生的电场为 q ex(x + a) + evy + ezz d 4碣(x + a)2 + y2 + z2 严 电荷-2q在(x, y.z)处产生的电场为 _ 2q yCy_a) + qj + qz 2 4兀窃(x-602+y2+Z232 (x,y,z)处

15、的电场则为E = E+E令E=0，则有 ex(x + a) + evy + e：z _ 2ex(x-a) + eyy + e：z (x + a)2 + y2 + z2 严(x 一 a)2 + y2 + z23/2 由上式两端对应分量相等，可得到 (x + )(X )2 + y 2 + F 严=2(x 一 a)(x + a)2 + ),2 + 严 y(x-a)2 + y2 + z23/2 = 2y(x+a)2 + y2 + z2 严 z(x-a)2 + y2 + z2f2 = 2z(x + “)2 + y2 + 才严 当y HO或zhO时.将式或式代入式，得d = 0。所以，当yH0或ZH0时无

16、解: 当)，=0且z = o时，由式，有 (x + a)(x 一 aY = 2(x - a)(x + a)3 解得 x = (-32/2)a 但x = -3a + 2y/2a不合题意，故仅在(-3a- 2屈,0,0)处电场强度E = 0。 2. 9 一个很薄的无限大导电带电而，电荷而密度为。证明：垂直于平而的z轴上z = z0处 的电场强度E中，有一半是有平面上半径为石的圆内的电荷产生的。 解半径为I 1/ 电荷线密度为的带电细圆环在z轴上Z = Z处的电场强度为 d .d r d 匕=e.rv 辽璟广+石” 故整个导电带电而在Z轴上z = z0处的电场强度为 r raz.o dr1cr E-

17、eA；= 一 e.- = e. 13word版本可编辑欢迎下载支持. !)2勺(广+ 2泸 、2勺(广+石匕J、2% rTZo d r 2勺(斥+对严 2.10 一个半径为的导体球带电荷量为Q,当球体以均匀角速度3绕一个直径族转，如题 2.10图所示。求球心处的磁感应强度b。 解球而上的电荷面密度为 ”2 4曲一 当球体以均匀角速度血绕一个直径旋转时，球而上位豊矢r=era点处的电流面密度为 J s =av = crcoxr = aecoxera = e.coaa sin 0 = e.sin 0 r/ip = O SAbH(-)2 +(y-)2 +(-)2sin(-) = y(y-b) a b

18、 cb 由式(2),可得 Am()2 + (牛)+()2 = 7J y(y-仍 sin(-) dy = l ()3 (cos 必 一 1)= a b cbb nn 77 = 1,3,5, 8/?2 0) o (、8/r 二 #Cw) = _ 2L 1,；1 人兀勺)心.35农3(丄)2 +(为2 +(丄)2 a b c 4.6如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷如，苴 位豊为(0,)。求板间的电位函数。 41word版本可编辑欢迎下载支持. T 0) (xvO) 由式 (1),可得 将式 由式 w-l 30X 工观sin(空)=B”sin(竺) 铝粽(I -

19、人亞sin( “1 a IlTTy (1) mrry (2)两边同乘以sin( ),并从0到对积分，有 a A +B“ =-(y-d)sin()dy = -sin( IlTTS J 0an7T 和(4)解得 nnd) a (3) (2) (3) (4) 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑欢迎下载支持. 解 由于在(0,)处有一与Z轴平行的线电荷0,以x = 0为界将场空间分割为x0和 x0 (x - oo) (H0 (x-yo) 卩(O,y) = (O,y) (警今)|才寺X) X a汐 Ji兀d、 九= E=-Sin() nns a (x0) (p(A- y) = y 1

20、sin(sin(竺) 矶铝n aa (xvO) 4.7 0,(X, y) = -_yl sin(凹sin() 齊)铝n aa 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平 行的线电荷。求槽内的电位函数。 41 word版本可编辑欢迎下载支持. 題4.7图 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑欢迎下载支持. 解 由于在（勺，儿）处有一与Z轴平行的线电荷们，以X = xo为界将场空间分割为 0 V X V无和X。V X V 两个区域，则这两个区域中的电位（兀刃和 （x，y）都满足拉普拉斯 方程。而在X = xo的分界而上，可利用5函数将线电荷表示成电荷而密度 b（y） =

21、 gQ（y-y（）,电位的边界条件为 01(0)=0,輕(匕刃=0 0i(x,O)=(x,b) = O (p2(x90)=(p2(x.b) = 0 0i(xo，y) = 02(xo，y) (詈-等仁一辭U 由条件和，可设电位函数的通解为 (0 xxo) Pi(X，刃= A. sin(牛丄)sinh(字) 铝bb % (儿 y) = Y Bn sin( )sinh罕(a 一 x)(x0 x a) 粽bb 由条件，有 观 sin(牛丄)sinh(件乂) = 戈 sin(p-) sinh( -x0) 粽bb 铝bb 5 “龙 JtynxQ gA-S1n()cosh()- 学 sin(牛5 cosh字

22、(a -仏)=6(y-儿) 铝 b bbe0 由式 ，可得 将式 gnh(譽 “sinh等()“ m/ry （2）两边同乘以sin（-）,并从0到b对积分，有 b An cos n7ry )+ B“ cosh呼(a -心)=芝匸一 儿)sin(竽= 垒sin(叫 n7T0 b (1) (2) (3) (4) 由式 （3）和（4）解得 2 An =:!sinha - xQ) sin( sinh(n7ra/b) “矶 bh 2qf1. . H7rxf. x . n7ry(. v sinh(十)sin(十) hb Bn = sinh(“7?) n7rs #word版本可编辑欢迎下载支持. 文档从网络

23、中收集，已重新整理排版.word版本可编辑欢迎下载支持. S-inh(n7,)SinhTG/-Xo) 站(叫singsin(竺) bb b z 、2q fiTTx 0(X，y) = 一- / Sinh() 矶 Zt11 sinh(血a/b)b -sin(sinh (a - x) sin( -)(x0 x a) bbb 若以y = )b为界将场空间分割为o v y 儿和y() y) = Z |/ sinh(/; 一 儿) 矶 Zi n sinh(/?7r/?/a) a sin(止)sinh(竺)sin(空)(Oy) = X J ，、sinh(竺迢 码 n n sinh(nZ?/a)a .sin(

24、l!Ll)sinh(Z? - y)sin()(y0 y co) 由此可设 (pt 0) = 一 E* cos 0 + A r1 cos。+ C 由条件，有 -fodcosO + AaTcosO + CuC 于是得到=a2E0 故圆柱外的电位为 0(几 0) = (-r + crr )EQ cos + C 若选择导体圆柱表而为电位参考点，即0(,0) = 0,则c = o. 导体圆柱外的电场则为 詈f ；护 _e(l + =)恥。s0 + q(_l + =)cos 0 + 2碣 - (C + 宀nG- 2丄(_)cosM(6) 2矶2%幺” w 讨论：利用式(4),可将式(6)中的第二项写成为

25、- V - ()H cos 呦=厶(In R - In r) 2矶S n w2矶 其中R = J, +（/%），-2,（/心）cos0。因此可将0（几0）写成为 0（匚 0）= In R + 山 In R In r +C + In 心 2碣2叭2矶2亦（） 由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（心，0）的线电荷: 2 位于（.0）的线电荷一位于r = 0的线电荷如。 47word版本可编辑欢迎下载支持. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 4.13在均匀外电场E=e；E。中放入半径为的导体球，设（1）导体充电至匕：（2）导 体上充

26、有电荷0。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 解（1）这里导体充电至久应理解为未加外电场仇时导体球相对于无限远处的电位为久， 此时导体球面上的电荷密度b =，总电荷勺=4亦/久。将导体球放入均匀外电场竝中 后，在的作用下，产生感应电荷，使球而上的电荷密度发生变化，但总电荷。仍保持不变， 导体球仍为等位体。 设0（匚 0心, (2)证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同，r = W。 3 解(1)当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所 产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球而上有极化电荷面密度， 球内.外的电位满足拉普拉斯

27、方程.可用分离变量法求解。 建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球而上的极化电荷而密度为 (Jr = P it = P er = PcosG 介质球内、外的电位0和卩2满足的边界条件为 (00)为有限值： 02(尸- = - | 0 + a 0 4.25 一个半径为R的导体球带有电荷量为0,在球体外距离球心为D处有一个点电荷9。 0RD，R （1）求点电荷9与导体球之间的静电力；（2）证明：当Q与Q同号，且-s一- q （D，-R） D 成立时，F表现为吸引力。 解（1）导体球上除带有电荷虽：0之外，点电荷g还要在导体球上感应出等量异号的两种不 同电荷。根据镜像法，像电荷/和q的大小和位置分

28、别为（如题4.25图所示） RR2 q =_ q, d = DD q = -q = q , D d = 0 导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷。等效。故点 电荷q受到的静电力为 qq q(D + q”) 4隔（D_d丫 * 4碣）， Rq D2 （2）当g与Q同号, 且F表现为吸引力，即FvO时，则应有 Q + （R/D）qRq d-/d）22 位于：6/;=- -DD q； = -（1； = -*Q，位于：d； = 0 如题4.26图所示。由此可见，像电荷亦和/等值异号，且同时位 于球心，故球心处总的像电荷为零：而像电荷/和g；也等值异号， 且位置关于球心对称，故构成位于球心的电偶极子，天电偶极矩为 s，、门 2 2a3Q （2）球外的电位由0和-0以及像电荷/和q；共同产生，即 Q . q； _ Q i q； _ H!F 4 矶/?；4 矶4 矶 R； a,!D 4碣r + D2-2rDcos3 r2+(a2/D)2-(2ra2/D)cos0 a；D 1 r + D +2rDcos + (心芮 +(2m D)