固体13年复习题

1、3. 说出简立方晶体、面心立方晶体和体心立方晶体的原胞和晶胞中所包含的原子数。晶体结构原胞中原子数晶胞中原子数简立方11面心立方14体心立方124. 说出氯化钠、氯化铯和金刚石结构晶体它们的原胞的晶格类型，每个原胞中包含的原子数。晶体结构原胞晶体类型原胞中原子数氯化钠面心立方2氯化铯简立方2金刚石面心立方25. 下面几种种典型的晶体由哪种布拉菲格子套构而成？8 画出的金属列面心立方面心立 方晶 格结构 在(100) ， (110 ) ， (111) 面上原子 排晶体结构布拉菲格子晶体结构布拉菲格子碳酸钙简立方立方硫化锌面心立方氯化铯简立方金刚石面心立方氯化钠面心立方六角密积的镁六角格子6. 下

2、面几种典型的晶体结构的配位数(最近邻原子数)是多少？晶体结构配位数晶体结构配位数面心立方12氯化钠型结构6六角密积12氯化铯型结构8体心立方8金刚石型结构4简立方6立方硫化锌结构47.画出体心立方结构的金属在 (100)，(110) ， (111)面上原子排列 体心立方11 如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征 ?使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能 , 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱. 一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能 . 放出来的能量越多 , 这个负离子的能量越低 , 说明中性原子与 这个电子的结合越稳定 . 也就是说 , 亲和能的

3、大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱 . 原子的电负性大小是原子吸引电 子的能力大小的度量 . 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的 .13 共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性” ?设N为一个原子的价电子数目 , 对于IVA、VA、VIA、VII A族元素，价电子壳层一共有 8个量子态, 最多能接纳 (8- N) 个电子 , 形成 (8- N)个共价键 . 这就是共价结合的 “饱和性” .共价键的形成只在特定的方向上 , 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向 , 在这个方向上交迭的电子云密度最大 . 这 就是共价结合的 “方向性” .15. 什么叫声子？对于一给定的晶体

4、，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子， 它是一种玻色子， 服从玻色爱因斯坦统计， 即具有能量为 wj (q) 的声子平均数为n (q) 1nj (q)wj(q)/(kBT)e1对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。16 晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在 极低温度下能给出精确结果？解在爱因斯坦模型中， 假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动， 而在德拜模型中， 则以连续介质的弹性波来代表格 波以求出 () 的表达式。爱因斯坦模型取得的

5、最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容cV 亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到3的结果。其局限性在于模型给出的是比热容cV 以指数形式趋近于零，快于实验给出的以 T 3趋近于零的结果。德拜模型取3得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度T 3 成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度D 应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度 D 是不同的。在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对比热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视 为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结

6、果。17 布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？ 解：布洛赫电子论作了 3 条基本假设，即绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的 运动分开来处理；单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；周期场近似，假设所有电子及 离子实产生的场都具有晶格周期性。 布洛赫电子论相比于金属自由电子论， 考虑了电子和离子实之间的相互作用， 也考虑了 电子与电子的相互作用。18 试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。 解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。在半导体中，由于存

7、在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的 导电性。在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很 多电子，并不导电。20 近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有何相同之处？解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将 主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所 选取的函数集中展开， 其展开式中有一组特定的展开系数， 将

8、展开后的电子的波函数代入薛定谔方程， 利用函数集中各基函 数间的正交性， 可以得到一组各展开系数满足的久期方程。 这个久期方程组是一组齐次方程组， 由齐次方程组有解条件可求 出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。二证明题1.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为32（ 1）简单立方 ；（ 2）体心立方；（ 3）面心立方6 8 623（ 4）六角密积；（5）金刚石。6 16解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数 a 2R ，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：2）3）431R333a431 R33(2R)3

9、在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为42R33a在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数 a 4R / 3 ，则体心立方的致密度为：2 4 R33(4R / 3)3R，则原胞的晶体学常数 a 2 2R ，则面心立方的致密度为：4 4 R333a2 4 R33(2 2R) 3）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原 胞 的晶 体 学 常数 a 2R ，c （2 6 /3）a （4 6 / 3）R ，则六角密积的致密度为：6 4 R336 4 R336 3a246 3(2R)2 (4 6 /3)R5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数 a （

10、8/ 3）R ，则金刚石的致密度为：438R33a8 4 R33(8/ 3)3 R3163. 证明晶格常数为 a 的体心立方晶体晶面族h1h2 h3 的面间距为dh1h2h3ah2 h3h3 h1h1h2证明：体心立方正格子原胞基矢可取为a1 a i j k ，2a2 a i j k ， a3 a i j k22由 b1 2a2 a3a1 a2 a3b2 2a3 a1a1 a2 a3b3 2a1a1 a2a2 a32 2 2可得其倒格子基矢为 : b1j k ,b2k i ,b3i jaaa倒格矢 Kh h1b1 h2b2 h3b3则晶面族的面间距为dh1h2 h32Kh1h2h3得体心立方晶

11、体晶面族h1h2h3 的面间距 d h1h2h3ah2 h3 2 h3 h1 2 h1 h2 24. 在一维双原子链中，如M /m1 ，求证：解：（1）在一维双原子链中，其第2n 个原子与第 2n 1个原子的运动方程为d x2nm 2(x2n1x2n12x2n )dt2 2n12n1 2nM d x22n 1(x2n x2n 2 2x2n 1)dt1）为解方程组（ 1）可令Aei (2 n) qa t x2n 1Bei(2n 1)qa tx2n2）将（ 2）式代入（ 1）式可得出222( 2) A ( cosqa)B 0 mm2 2 2( cosqa) A (2 )B 0MM3）从 A 、 B

12、 有非零解，方程组（2(M3）的系数行列式等于零的条件出发，可得22） 2 4 sin 2 qa 0m M m可解出得4M2 sin mqa4）当（ 4）式中取“”号时，有12(M m) 1 (1mM4Mm2(M m) 21sin2 qa) 25）M /m1 ，（ 5）式中有(M m) M4MmMmMm(M m) 2sin 2qa4Mm 22 sin qaM24msin2 qa1那么（ 5）式可简化为m 1 (1 M4m sin 2 qa) 2(1 124msin2qa) 2M sin2 qa当（ 4）式中取“”号时，有222( M m) (M m) 11MmMm4Mm(M m)22cosqa

13、6） M / m1 ，（ 6）式中有( M m) M( M m)MmMmMmMm4Mm(M22 cos qa m)24Mm2 cos22 qa4m2 cos Mqa 1那么6）式可简化为mm12(1 124mcos2 qa )(1 mMcos2 qa )225. 设晶体由 N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为9 N 2（ ） 3 。式中 m 为格波的截止频率。 m3解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系vpq1）那么格波的状态密度为()V(2 ) 33vpdq2）又根据将（ 2）式代入（ 3）式得m( )d 3N03）由（ 4）式可得把（ 5）式代入（

14、 2）式即可得6. 证明一维单原子链的频率分布函数为解：设原子质量为 m，晶格常数为a，对于一维单原子晶格的态密度为：Na2dq 间隔内的状态数 dnNa2dq2(m)2msinaq2所以aq12aqa( ) 2cos dqm2V 2 3 d 3N0 2 v p3vp18 2 N( ) 9N3()2N设链上含有 N 个原子，Nadqdqda( )m112 aq2 cos24）5）所以 dnNa dqddNa 1a()12cosaqm2又因为： dn d1，写出一维近自由电子近似，第n 个能带（ n=1， 2，3，）中，简约波数 k的 0 级波函数。5ak01 ikxL e L ei 2 mxa

15、第一区：, n=1,m=0 aakk5aix ei5ax第二区：2 aa ,2a , a第三区：5a5an=2,m11Lei9 x5a11一维近自由电子近似，n 个能带（5a5an=3,m111ixe 5a2.写出n=1，2，3，）中，简约波数 k的 0 级波函数。3akki 2 mx ea1 ikx1L eikx第一区：n=1,m=0kkk3a3an=2,m=1第三区：3ai 5 x3aaa2 ,3aak3ak3an=3,5. 若一晶体中含有 N 个原子，原子间的平均相互做用能可以表为u(r)（ 单原子的 ） 体弹性模量解：( u(r) rr0mnm 1 n10 得 r0结合能 （单原子的

16、）w 12 u(r0 )体弹性模量 K V( U2 )V 2 V01Lei3ax试求：第二区：2,aaka,2ai 7 x e i 3a x平衡间距 结合能 w1)n m mn)nr0(n1(m2(r0m2U V0( 2 )V0Vm2r0m(1m) n晶体中含有 N个原子,设最近邻原子间距为 r ，则有V Nr 3 ，平衡时晶体体积为 V0 Nr03.3N1r2 r( 2U ( V 2)V0Vr rUVVrr1U23Nr 2 rr011U112U3Nr 26Nr r22r03Nr 2 3Nr 22 rV r V r0上式的第一项为零，所以22U112U12U2 r02U3Nr 23Nr 2r2

17、r0249N 2r042 rr r09V02r 2 rr0)V02)2r02U所以 K r0 (9V0 r2Ur0所以 KN| 2 u(r)| 2 (m(m 1)m2rn)m2nr0m(n m)n(n 2) m(m 1)Nm2Nr0mm 2(n m)2 r0 9V0Nm2Nr0mm 2(n m)r0n2n(n 1)nmr0又 r0nm平衡时晶体内原子间的总的相互作用势能为NNmU 0 w m (1 ) 22 r0mn得 K mnU09V07. 若一晶体中含有 N个原子，原子间的平均相互做用能可以表为u(r)26112 试求： 平衡间距 r0r 6 r 12结合能w (单原子的) ； 体弹性模量

18、。解： ( u(r)r0127 1213 0 得r0 1r0 7 131 1 2 1结合能 (单原子的 ) wu(r0)(16 r 12 ) 2体弹性模量 K V( U2 )V2V0UV0( VU2 )V033 晶体中含有 N个原子,设最近邻原子间距为 r ，则有V Nr 3 ，平衡时晶体体积为 V0 Nr03.V2( 2U )r Ur r U 1 1 U( 2 )V0Vr VV0Vr V rV03Nr 2r 3Nr 2 rr03Nr26Nrr r03N1r223Nr 22Ur2r0上式的第一项为零，所以112U12Ur022U3Nr 23Nr 22r 2r0249N 2r042 rr09V0

19、2r 2 r02 2U( V2U2)V0r0所以 K9V00( r2 )r0NN2U u(r) ( 6226N212112 )r2U42 2r2r08 r012 1314r0N2 84 156 36N所以 K2r0 36N9V09N36N 48. 若一晶体中含有 N个原子，原子间的平均相互做用能可以表为u(r)AB r612 试求： 平衡间距 r0 r12结合能w (单原子的) ； 体弹性模量。解：( u(r)r0r06A 12B 0 得 r013r0(2AB)16A结合能 (单原子的 )w 12 u(r0 )12(AB6 12 )rA6 (1 12)r2A A24r06 8B2U体弹性模量

20、K V( U2 )V22UV0V0( V 2 )V03 V0 Nr03 .3晶体中含有 N个原子,设最近邻原子间距为 r ，则有V Nr 3 ，平衡时晶体体积为( 2U2 )V0r UV2V r VV0Vr rVrUrV0123Nr 2 r 3Nr 2 r r0123Nr 2 6Nr上式的第一项为零，所以( V2U2)V03N1r 2V 03Nr所以 K r0 ( U9V01U1 2 1 2 r03Nr 2 3Nr 22U13Nr 2r2)r02U12U2 r02U249N 2r04r 2 r0r09V022r 2 rr0rr0U N2 u(r) N2 (2UN42Ar2r028 r0AB)6

21、 122 r r12 13B14r012 13B6r0118 42A018 42A 78A r0818NA8r02所以K r02 18NA2NA9V0V0r06又 r062B2NA2B2NA2V0V0BNA2Nr03BA210.初级晶胞中含有两个原子的一维点阵,点阵常数为 a,两个原子的质量分别为A2 A2B B 2BBAM1 和 M 2,只计入最近邻原子间的相互作用 ,设力常数为 C, 求其 2N 个格波解。并试求在 k 0和 k 处的 (k) .(备注 a 解：对于一维双原子链，设第 2n个原子质量为 M1，第 2n 1个原子质量 为 M2，如图：M 1 M 2)对于 M1：对于 M2：M

22、1 2nC( 2n 1 2n 1 2 2n)M 2 2 n 1 C( 2n 2 2n 2 2n 1)设试探解： 2nAei( t 2naq) ,Bei t (2n 1)aq代入,化简得：(M1 2 2C)A (2Cc oasq) B 02(2Ccosaq)A (M 2 2 2C)B 0有非零解的条件是2M 12C 2Ccosaq22Ccosaq M 2 2 2C解得2CM 1M 2122(M1 M2) M 22 M12 2M2M 1c o2saq) 2 - 10 -q0 时 , max22(M1 M 2) M22 M12 112M 2M1)2 2C(M 1 M 2 )M2M1minCM2M22

23、(M1 M 2) M22 M1212M2M1)2 0q2时，2minM2M122(M1 M2) M 22 M1212M2M1)22CM1M2M12CM22max1C2CM2CC (M1 M2) M22 M12 2M 2M1)22 2CM 2M1M2M1 M113. 考虑一双原子链的晶格振动，链最近邻原子间的力常数交错地等于c 和 10c, 令两种原子质量相等并且最近邻的间距是a 2,试求在 k 0和k 处的 (k) a 解：设原子质量为 m力常数为 c和 c 10c 如图所示：试探解：振动方程mx2n c(x2n 1 x2n) c(x2n _x2n 1)mx2n 1 c (x2n 2 x2n

24、1) c(x2n 1 x2n )i ( t 2nq a2 ) x2nAe 2i t q(2n 1)a x2n 1 Be 2将上式与 c 10c 代入振动方程得：11c2m A 10ceaq2ce ia2q Baq i ce 2i aq10ce i 2A 11c2 m B有非零解的条件是：11c2 miaqi aqce 2 10ce 2aqi10ce 2 2aqce11c 2m解得：1 10c (101c2 m120cc oasq)2 - 11 -max2 22cmmi2n0q时2min2min20 c mmax2max14.初级晶胞中含有两个原子的一维点阵,点阵常数为 a,两个原子的质量分别为

25、 M1 和 M2,只计入最近邻原子间的相互作用 ,设力常数为 C, 求其 2N个格波解。并试求在 k 0和k 处的 (k).(备注 M1 M2) a解：对于一维双原子链，原子质量为 M2，如图：设第 2n个原子质量为 M1，第 2n 1个对 于 M1对 于 M2 ：M 2 2n 1 C( 2n 2 2n 2 2n 1 )M 1 2n C( 2n 1 2n 1 2 2n )设试探解： 2Aei( t 2naq) , Bei t (2n 1)aq代入,化简得：(M1 2 2C)A (2Cc oasq) B 0(2Ccosaq)A (M 2 2 2C)B 0有非的条件2M 1 2 2C2Ccosaq

26、2Ccosaq2M 2 2C解得2CM 1M 2(M122M 2 ) M 22 M 122M 2M 1c o 2saq) 2 q 0 时 , maxC (M 1 MM 2M 1222) M 22 M12 2M 2M1)22C(M 1 M 2 )M 2M 1minM2M122(M1 M 2) M22 M12 2M2M1)2 0q 时，2min2C (M1 M2) M 22 M12 2M 2M1)22CM12CM2M1M2M1M22max2C (M1 M2) M22 M12 2M2M1)2 2CM 2 2CM2M1M2M1M115.用紧束缚近似，求出简单立方晶格 s 态原子能级相对应的能带 Es

27、k 函数，并求出能带宽度 解: 在紧束缚近似下与原子能级 S 态相对应能带 Es k 函数:- 12 -sEs k i J0a)J(Rs )e ik Rs (R S为最近邻原子的波矢，设晶格单胞立方边长为 Rs NearestJ0i( ) U ( ) V( )ds 态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，J(Rs) 具有相同的值 J1 J(Rs)。J1 J(Rs)i* (U( ) V( ) i( )d 0所以能量本征值为： Es k i J0 J1e ik RsRs Nearest体心立方： 6 个近邻 : ( ( a,0,0),(0, a,0),(0,0, a), )sik Rsik

28、xa ikxa ikya ikyikza ikza eikzae ikzaE k i J0J1e s i J0J1 e x e x e eRs NearestiJ0 2J1 coskxa coskya coskza由此可知，当 k 0,0,0 时，即能带底的能量为 Emins J0 6J ；当 k , ,，即能带顶的aaa能量为 EmaxsJ06Jmaxs 0max能带宽度为 EEmaxEmin12J1max min 117.用紧束缚近似，求出体心立方晶格 s 态原子能级相对应的能带 Es k 函数。解: 在紧束缚近似下与原子能级 S 态相对应能带 Es k 函数:Es ki J0J(Rs)e ik Rs (R S为最近邻原子的波矢，设晶格单胞立方边长为 a)Rs NearestJ0 i( ) U ( ) V( )ds 态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，J(Rs) 具有相同的值 J1 J(Rs)。J1 J(Rs)i* (Rs)U( ) V( ) i( )d 0所以能量本征值为： Es k i J0 J1e ik RsRs Nearest体心