高中数学选修2-2函数的单调性与导数

1、 1.3.1 函数的单调性与导数学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次).知识点一 函数的单调性与其导数的关系在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性单调递增单调递减常函数f(x)0f(x)0f(x)0思考 以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设 x x 的前提下，比较 f(x )与 f(x )1212的大小，在函数 yf(x)比较复杂的情况下，比较 f(x )与 f(x )的大小并不很容易，如何利用导12数来

2、判断函数的单调性？答案 根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减.知识点二 利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域.(2)求出函数的导数 f(x).(3)解不等式 f(x)0，得函数的单调递增区间；解不等式 f(x)0，得函数的单调递减区间.知识点三 导数绝对值的大小与函数图象的关系1 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，

3、这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.如图，函数yf(x)在(a,0)和(0，b)内的图象“陡峭”，在(，a)和(b，)内的图象“平缓”.题型一 利用导数确定函数的单调区间例 1 求下列函数的单调区间.(1)f(x)3x 2ln x；(2)f(x)x e ；22x1(3)f(x)x .x2x3333解 (1)函数的定义域为 d(0，).f(x)6x ，令 f(x)0，得 x ，x 12(舍去)，用 x 分割定义域 d，得下表：1x0，f(x)f(x)033 3函数 f(x)的单调递减区

4、间为 0，单调递增区间为， .3(2)函数的定义域为 d(，).f(x)(x )e x (e )2xe x e e (2x2x2xx2xxx )，令 f(x)0，由于 e 0，x 0，x 2，用 x ，x 分割定义域 d，得下表：2x1212x(，0)(0,2)20(2，)f(x)f(x)f(x)的单调递减区间为(，0)和(2，)，单调递增区间为(0,2).(3)函数的定义域为 d(，0)(0，).1f(x)1 ，令 f(x)0，得 x 1，x 1，用 x ，x 分割定义域 d，得下表：x212122 x(1,0)(0,1)10f(x)f(x)0函数 f(x)的单调递减区间为(1,0)和(0,

5、1)，单调递增区间为(，1)和(1，).反思与感悟 首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“”.跟踪训练 1 求函数 f(x)x33x 的单调区间.解 f(x)3x233(x21).当 f(x)0 时，x1 或 x1，此时函数 f(x)单调递增；当 f(x)0 时，1x1，此时函数 f(x)单调递减.函数 f(x)的递增区间是(，1)，(1，)，递减区间是(1,1).题型二 利用导数确定函数的大致图象例 2 画出函数 f(x)2x33x236x16 的大致图象.解 f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2).由 f(x)0 得 x2 或

6、 x3，函数 f(x)的递增区间是(，2)和(3，).由 f(x)0 得2x3，函数 f(x)的递减区间是(2,3).由已知得 f(2)60，f(3)65，f(0)16.结合函数单调性及以上关键点画出函数 f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).反思与感悟 利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向.当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象.跟踪训练 2 已知导函数 f(x)的下列信息：当 2x3 时，f(x)0；当 x3 或 x2 时，f(x)0；当 x3 或 x2 时，f(x)0；3 试画出函数 f(x)图象的大致形状.解 当

7、2x3 时，f(x)0，可知函数在此区间上单调递减；当 x3 或 x2 时，f(x)0，可知函数在这两个区间上单调递增；当 x3 或 x2 时，f(x)0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变.综上可画出函数 f(x)图象的大致形状，如图所示(答案不唯一).题型三 利用导数确定参数的取值范围例 3 已知函数 f(x)2axx3，x(0,1，a0，若函数 f(x)在(0,1上是增函数，求实数 a 的取值范围.解 f(x)2a3x2，又 f(x)在(0,1上是增函数等价于 f(x)0 对 x(0,1恒成立，且仅有有限个点使得 f(x)0，32x(0,1时，2a3x20，也就是 a x2 恒成立.3

8、232又 x(0,1时， x2 0， ，3a .232a 的取值范围是 ， .反思与感悟 已知函数在某个区间上的单调性，求参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种：利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即 f(x)0(或 f(x)0)在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；利用子区间(即子集思想)，先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集；利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间的位置.12跟踪训练 3 已知函数 f(x)ln x，g(x) ax22x，a0.(1)若函数

9、 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围；(2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求 a 的取值范围.12解 (1)h(x)ln x ax22x，x(0，)，1h(x) ax2.xh(x)在(0，)上存在单调递减区间，4 1当 x(0，)时， ax20 有解，x1 2x2 x即 a 有解.1 2x2 x设 g(x) ，只要 ag(x) 即可.min1而 g(x) 1 21，xg(x) 1，mina1.(2)h(x)在1,4上单调递减，1x1,4时，h(x) ax20 恒成立，x1 2x2 x即 a 恒成立，1ag(x) ，而 g(x) 1 21，maxx

10、7g(x) ，16max7a .16求函数单调区间时，因忽视函数定义域致误例 4 求函数 yxln x 的单调区间.11错解 y1 ，令 y1 0，得 x1 或 x0，所以函数 yxln x 的单调递增区xx1间为(1，)，(，0).令 y1 0，得 0x1，所以函数 yxln x 的单调递减x区间为(0,1).错因分析 在解与函数有关的问题时，一定要先考虑函数的定义域，这是最容易忽略的地方.正解 函数 yxln x 的定义域为(0，)，1又 y1 ，x1令 y1 0，得 x1 或 x0(舍去)，所以函数yxln x 的单调递增区间为(1，).x1令 y1 0，得 0x1，所以函数 yxln

11、x 的单调递减区间为(0,1).x防范措施 在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.5 1.函数 f(x)xln x 在(0,6)上是(a.单调增函数)b.单调减函数11ec.在 0， 上是减函数，在 ，6 上是增函数e11ed.在 0， 上是增函数，在 ，6 上是减函数e答案 a1解析 x(0,6)时，f(x)1 0，函数 f(x)在(0,6)上单调递增.x2.f(x)是函数 yf(x)的导函数，若 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是()答案 d解析 由导函数的图象可知，当 x0 时，f(x)0，即函数 f(x)为增函数；当 0x2 时，f(x)0，即f(x)为

12、减函数；当x2 时，f(x)0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知 d 正确.3.若函数 f(x)x ax x6 在(0,1)内单调递减，则实数 a 的取值范围是()32a.1，) b.a1 c.(，1 d.(0,1)答案 a解析 f(x)3x22ax1，且 f(x)在(0,1)内单调递减，不等式 3x22ax10 在(0,1)内恒成立，f(0)0，且 f(1)0，a1.6 4.函数 yx 4xa 的增区间为_，减区间为_.2答案 (2，) (，2)解析 y2x4，令 y0，得 x2；令 y0，得 x2，所以 yx24xa 的增区间为(2，)，减区间为(，2).15.已知函数 f(x)2ax

13、 ，x(0,1.若 f(x)在 x(0,1上是增函数，则 a 的取值范围为x_.12答案 ，1x2解析 由已知条件得 f(x)2a .f(x)在(0,1上是增函数，1f(x)0，即 a 在 x(0,1上恒成立.2x21而 g(x) 在(0,1上是增函数，2x21g(x) g(1) .2max1a .2121当 a 时，f(x)1 对 x(0,1有 f(x)0，且仅在 x1 时，f(x)0.x212a 时，f(x)在(0,1上是增函数.12a 的取值范围是 ， .判断函数单调性的方法如下：(1)定义法.在定义域内任取 x ，x ，且 x x ，通过判断 f(x )f(x )的符号来确定函数的单调

14、121212性.(2)图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数.(3)导数法.利用导数判断可导函数 f(x)在区间(a，b)内的单调性，步骤是：求 f(x)；确定 f(x)在(a，b)内的符号；确定单调性.求函数 yf(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式 f(x)0 和 f(x)0 所得的 x 的取值集合.反过来，如果已知f(x)在区间 d 上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即 f(x)0 在 d 上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求 f(x)

15、中参数的值.同样可以解决已知 f(x)在区间 d 上单调递减，求 f(x)中参数的值的问题.7 一、选择题1.函数 y(3x )e 的单调递增区间是()2xa.(，0)b.(0，)d.(3,1)c.(，3)和(1，)答案 d解析 求导函数得 y(x22x3)e .x令 y(x22x3)e 0，可得 x22x30，x3x1.函数 y(3x2)e 的单调递增区间是(3,1).x2.已知函数 f(x)x ax x1 在(，)上单调递减，则实数 a 的取值范围是()32a.(， 3 3，)b. 3， 3c.(， 3)( 3，)d.( 3， 3)答案 b解析 由题意得f(x)3x22ax10在(，)上恒

16、成立，且仅在有限个点上f(x)0，则有 4a2120，解得 3a 3.3.下列函数中，在(0，)内为增函数的是()a.ysin xb.yxe2d.yln xxc.yx x3答案 b解析 显然 ysin x 在(0，)上既有增又有减，故排除 a；对于函数 yxe2，因 e2 为大于零的常数，不用求导就知 yxe2 在(0，)内为增函数；333对于 c，y3x213 x，3x3 3故函数在 ， 上为增函数， 33333在 ，上为减函数；31对于 d，y 1 (x0).x故函数在(1，)上为减函数，在(0,1)上为增函数.故选 b.8 4.设 f(x)，g(x)在a，b上可导，且 f(x)g(x)，

17、则当 axb 时，有()a.f(x)g(x)b.f(x)g(x)c.f(x)g(a)g(x)f(a)d.f(x)g(b)g(x)f(b)答案 c解析 f(x)g(x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在 a，b上是增函数，当 axb 时 f(x)g(x)f(a)g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a).ln |x|5.函数 y的图象大致是()x答案 cln |x|解析 yf(x)f(x)，xln |x|yf(x)为奇函数，xyf(x)的图象关于原点成中心对称，可排除 b.ln x1ln x又当 x0 时，f(x) ，f(x)，xx2当 xe 时，f(x)0，函数 f(x)在(e，)上

18、单调递减；当 0xe 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，e)上单调递增.故可排除 a，d，而 c 满足题意.6.定义在 r 上的函数 f(x)满足：f(x)1f(x)，f(0)6，f(x)是 f(x)的导函数，则不等式 e f(x)xe 5(其中 e 为自然对数的底数)的解集为()x9 a.(0，)b.(，0)(3，)d.(3，)c.(，0)(1，)答案 a解析 由题意可知不等式为 e f(x)e 50，xx设 g(x)e f(x)e 5，xxg(x)e f(x)e f(x)exxxe f(x)fx)(10.x函数 g(x)在定义域上单调递增.又g(0)0，g(x)0 的解集为(0，).二

19、、填空题7.若函数 f(x)2x ln x 在定义域内的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数 k 的2取值范围是_.32答案 1，1 4 21x解析 显然函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x .由 f(x)0，得函数 f(x)xx1212的单调递增区间为 ， ；由 ( )0，得函数 ( )单调递减区间为 0， .因为函数在f xf x121232区间(k1，k1)上不是单调函数，所以 k1 k1，解得 k ，又因为(k1，k321)为定义域内的一个子区间，所以 k10，即 k1.综上可知，1k .328.函数yf(x)在其定义域 ，3 内可导，其图象如图所示，记yf(x)的

20、导函数为yf(x)，则不等式 f(x)0 的解集为_.13答案 ，1 2,3)9.函数 yln(x x2)的递减区间为_.2答案 (，1)2x1x2x212解析 f(x)，令 f(x)0 得 x1 或 x2，注意到函数定义域为(，1)(2，)，故递减区间为(，1).10 11210.若函数 f(x)x ax 在 ， 上是增函数，则 的取值范围是_.a2x答案 3，)解析 因为 f(x)x2ax 在 ， 上是增函数，112x1x212故 f(x)2xa 0 在 ， 上恒成立，1x212即 a 2x 在 ， 上恒成立.1x22x3令 h(x) 2x，则 h(x) 2，12当 x ， 时，h(x)0

21、，则 h(x)为减函数，1 所以 h(x)h 3，所以 a3. 2三、解答题11.已知函数 f(x)ax bx 的图象经过点 m(1,4)，曲线在点 m 处的切线恰好与直线 x9y032垂直.(1)求实数 a，b 的值；(2)若函数 f(x)在区间m，m1上单调递增，求 m 的取值范围.解 (1)函数 f(x)ax3bx2 的图象经过点 m(1,4)，ab4.f(x)3ax22bx，则 f(1)3a2b.1 由条件 f(1) 1，即 3 2 9.ab 9由解得 a1，b3.(2)f(x)x 3x ，则 f(x)3x 6x.322令 f(x)3x26x0，得 x0 或 x2.函数 f(x)在区间

22、m，m1上单调递增，m，m1 (，20，)，m0 或 m12，m0 或 m3.12.已知函数 f(x)a x xln ab(a，br ，a1)，e 是自然对数的底数.x2(1)试判断函数 f(x)在区间(0，)上的单调性；(2)当 ae，b4 时，求整数 k 的值，使得函数 f(x)在区间(k，k1)上存在零点.解 (1)f(x)a ln a2xln a2x(a 1)ln a.xxa1，当 x(0，)时，ln a0，a 10，xf(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增.11 (2)f(x)e x x4，f(x)e 2x1，x2xf(0)0.当 x0 时，e 1，f(x)0，xf(x)是(0，)上的增函数.同理，f(x)是(，0)上的减函数.又 f(0)30，f(1)e40，f(2)e220，当 x2 时，f(x)0，当 x0 时，函数 f(x)的零点在(1,2)内，k1 满足条件.1e1f(0)30，f(1) 20，f(2) 20，e2当 x2 时，f(x)0，当 x0 时，函数 f(x)零点在(2，1)内，k2 满足条件.综上所述，k1 或2.13.求下列函数的单调区间.(1)yln(2x3)x ；2x1x1(2)f(x)aln x(a 为常