高中数学导数与积分知识点.

1、 高中数学教案导数、定积分一课标要求：1导数及其应用（1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 能根据导数定义求函数 y=c，y=x，y=x ，y=x ，y=1/x，y=x 的导数；23 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 f（ax+b）的导数； 会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利

2、用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（5）定积分与微积分基本定理 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），

3、直观了解微积分基本定理的含义。（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中数学文化的要求。二命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值.三要点精讲1导数的概念dxdydx函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 处有增量 ，那么函

4、数y 相应地有增量 =f（x + ）00dyf（x ），比值 叫做函数 y=f（x）在 x 到 x + 之间的平均变化率，即dxdx000dydxx f x( + d ) - ( )f x=00 。dxdy时， 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处可导，并把这个极如果当dx 0dx0限叫做 f（x）在点 x 处的导数，记作 f（x ）或 y| 。00x=x0 dydxf (x + dx) - f (x )lim=lim即 f（x ）=0。00dxdx0dx0说明：dx 0 时，dydydx（1）函数 f（x）在点 x 处可导，是指0有极限。如果不存在极dx限，就说函数在点 x 处不可

5、导，或说无导数。0dx（2） 是自变量x在 x 处的改变量，dx 0dy时，而 是函数值的改变量，可以是0零。由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）：0（1）求函数的增量dy=f（x +0dx）f（x ）；0dydx( + d ) - ( )f xx f x（2）求平均变化率=；00dxdydxlim（3）取极限，得导数 f(x )=0。dx02导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x ，f（ x ）0处00的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x ，f（ x ）处的切线的斜率是 f（x

6、 ）。000相应地，切线方程为 yy =f/（x ）（xx ）。0003常见函数的导出公式（）(c) = 0 （c 为常数）（）(x ) = n xnn-1（）(sin x) = cos x（）(cos x) = -sin x4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， v) = u v .即： (u法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个(uv) = u v + uv .函数乘以第二个函数的导数，即：(cu) = c u + cu = 0 + cu = cu若 c 为常数,则 .即常数与函数的积的

7、导数等于常(cu) = cu .数乘以函数的导数：法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， uv - uv u （v 0）。再除以分母的平方： = v v2的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。(x )形如 y=f j法则：y| = y| u|uxx5导数的应用（1）一般地，设函数y，则 为增函数；= f (x)在某个区间可导，如果f (x) 0 f (x)(x) 0f (x)，则 为减函数；如果在某区间内恒有f (x) = 0 f (x)，则 为常数；如果 f （2）曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左

8、侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；(x)（3）一般地，在区间a，b上连续的函数 f 在a，b上必有最大值与最小值。求(x)(x)函数 在(a，b)内的极值； 求函数 在区间端点的值(a)、(b)； 将函数(x)的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定积分（1）概念设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 axxx xxb 把区间a，b01i1inn等分成n个小区间，在每个小区间x ，x上取任一点（i1，2，n）作和式if (i1iini1)x（其中x为小区间长度），把n即x0 时，和式i 的极限叫做函数f(x)在区间in

9、f (x)dx limn(x)dxa，b上的定积分，记作： f ，即bbf ( )x。iaani=1这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。110dxx dxmxx基本的积分公式： c；+1 c（mq，m1）； dxlnmm +1xaxcos xdx sinxc；sin xdx cosxcc； e dx c； a dx c；e xxxln a（表中c均为常数）。（2）定积分的性质(x)dx = k f (x)dxb kfb（k为常数）；aa(x) g(x)dx = f (x)dx g(x)dxb fbb；

10、aaa (x)dx = f (x)dx + f (x)dxb fcb（其中acb) 。aac（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab），x轴及一条曲线yf（x）b=f (x)dx。a如果图形由曲线yf(x) ，yf(x（) 不妨设f(x)f(x)1122120），及直线xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积sss曲边梯形 amnb bfb。12aa四典例解析题型 1：导数的概念1例 1已知 s= gt2 ，（1）计算t从3秒到3.1秒 、3.001 秒 、 3.0001 秒.各段内2平均速度；（2）求 t=3 秒是瞬时速度。 3,3.1 ,dt = 3.1- 3 = 0.1,d

11、t解析：（1）指时间改变量；11ds = s(3.1) - s(3) = g3.1 - g3 = 0.3059. ds指时间改变量。2222ds 0.3059v = 3.059。dt1其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。dt随 变化而变化， 越小，dsdtdsdtdt（2）从（1）可见某段时间内的平均速度越接近ds于一个定值，由极限定义可知，这个值就是dt 0 时，的极限，dt11(3 + dt) - g3ds22s(3 + dt) - s(3)dt2g2lim dt lim= limv=dt

12、dx0dx0dx01= g lim （6+dt) =3g=29.4(米/秒)。2dx04例 2求函数 y=的导数。x2444dx(2x + dx)解析：dy =-= -，(x + dx)2xx (x + dx)222dydx2x + dx= -4，x2( + d )xx2 dydxx x2 + d 8 lim= lim -4=- x。x2( + d )xx23dx0dx0点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。题型 2：导数的基本运算1 1= x(x + + )的导数；例 3（1）求 y2x x31= ( x +1) (-1)的导数；（2）求 yxxx

13、= x - sin cos（3）求 y的导数；22x2（4）求 y=的导数；sin x3x - x x + 5 x - 92（5）求 y的导数。x12q y = x +1+ y = 3x - .解析：（1）3,2x2x311-1 = -x + x-11= x - x +（2）先化简, y2 2xx11-11 y= - x-1 - x-3=1+ . 2222x 2 x （3）先使用三角公式进行化简.1xxy = x - sin cos = x - sin x222111 y = x - sin x = x - (sin x) = 1- cos x.222(x ) sin x - x * (sin

14、 x) 2xsin x - x cos x222（4）y=；sin xsin x223x x9x-13q（5） y22321*（ ）3121232(xxx- y*（x ）x）*22921x(1+ ) -1。x2点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这 样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。例 4写出由下列函数复合而成的函数：（1）y=cosu,u=1+x2（2）y=lnu, u=lnx解析：（1）y=cos(1

15、+x 2 )；（2）y=ln(lnx)。)点评：通过对 y=（3x-2 2 展开求导及按复合关系求导，直观的得到y =y .u .给出xux复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。题型 3：导数的几何意义例 5（1）若曲线ya4x - y - 3 = 0= x4 的一条切线l 与直线x + 4 -8 = 0y垂直，则l 的方程为（）bx + 4y - 5 = 0 c4x - y + 3 = 0 dx + 4y + 3 = 0= x + x +1（2）过点（1，0）作抛物线y的切线，则其中一条切线为（）2（a）2x + y + 2 = 0 （b）3x - y + 3 = 0 （c）x +

16、y +1 = 0（d）x - y +1 = 0解析：（1）与直线x + 4y -8 = 0l 4x - y + m = 0 ，即y = x4 在某一点的垂直的直线 为导数为 4，而y = 4x3 ，所以y x4 在(1，1)处导数为 4，此点的切线为4x - y -3 = 0，故=选 a； = 2 +1( , )+1，且y= x + x +1，（2）yx，设切点坐标为x y ，则切线的斜率为 2x2000000- x - x -1 = (2x +1)(x - x )于是切线方程为y20，因为点（1，0）在切线上，可解得x00000 或4，代入可验正 d 正确，选 d。点评：导数值对应函数在该点

17、处的切线斜率。pp例 6（1）半径为 r 的圆的面积 s(r) r ,周长 c(r)=2 r，若将 r 看作(0，)上2p的变量，则( r )2 r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周p1 121长函数。对于半径为 r 的球，若将 r 看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：2 2；式可以用语言叙述为：。1（ 2）曲线 y =和 y x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积=x是。444r ， 又（ pr ） 4pr（ pr ） 4pr2 ，用语解析：（1）v 3p3322 故式可填33言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”；3球1=和y = x

18、2 在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是 y=x+2（2）曲线yx 3和 y=2x1，它们与 轴所围成的三角形的面积是 。x4点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。题型 4：借助导数处理单调性、极值和最值例 7（1）对于r 上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f（x）0，则必有（）af（0）f（2）2f（1）（2）函数 f (x)的定义域为开区间(a,b)，导函数在开区间(a,b)内有极小值点（b2 个 c3 个f (x) (a,b)在 内的图象如图所示，则函数 f (x)a1 个（3）已知函数 f x）d 4个1+ x( )y =

19、f x( )=e-ax 。（）设a 0，讨论的单调性；（）若1- x( ) ( ) 0,1f x 1，求a 的取值范围。对任意x恒有解析：（1）依题意，当 x1 时，f（x）0，函数 f（x）在（1，）上是增函数；当x1 时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故 f（x）当 x1 时取得最小值，即有 f（0）f（1），f（2）f（1），故选 c；（2）函数 f (x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x) (a,b)在 内的图象如图所示，函数 f (x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有 1 个，选 a。ax +2a2（3）

20、：()f(x)的定义域为(,1)(1,+).对 f(x)求导数得 f (x)=e(1x)2ax。2x2()当 a=2 时, f (x)=e , f (x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于2x(1x)20, 所以 f(x)在(,1), (1,+).为增函数；()当 0a0, f(x)在(,1), (1,+)为增函数.；a2aa2aa2a()当 a2 时, 01, 令f (x)=0 ,解得x = 1, x=；2当 x 变化时, f (x)和 f(x)的变化情况如下表:xa2(1,+)(aa2a2a,)af (x)f(x) a2aa2af(x)在(, ), (,1), (1,+)为增函数

21、, f(x)在 ( a2aa2a,)为减函数。()()当 0f(0)=1；12a2a()当 a2 时, 取x=0(0,1),则由()知 f(x )1且e 1，ax1x1+x1+x得：f(x)=e ax1. 综上当且仅当 a(,2时,对任意 x(0,1)恒有1x1xf(x)1。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。 -1,1(x) = x - 3x + 2例 8（1） f(a)232在区间上的最大值是（ ）(c)2(b)0(d)42x - 3(a -1)x +1,其中a 1.（2）设函数f(x)=论f(x)的极值。32（）求f(x)的单调区间；（）讨(

22、 ) = 3 - 6 = 3 ( - 2) ( ) = 0可得 x0 或 2（2 舍去），当x x ，令f x解析：（1）f xx2x( )( )1x0，当 0x1时， f x 1时， f x(-,0)， fx f x 随 的变化情况如下表：( ), ( )x x a( ) = 6 - -1 x(a -1,+)xf(x)f (x)+0z极大值极小值z(x) (-,0) 上单调递增；在(0,a -1) 上单调递减；在(a -1,+)在从上表可知，函数 f上单调递增。（）由（）知，当a =1a 1( ) x = 0时，函数 f x 在( )时，函数 f x 没有极值；当 处取得极大值，在x = a

23、 -1处取得极小值1- ( -1)a 3 。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型 5：导数综合题例 9设函数 f (x) = -x3+ 3x + 2分别在x 、x 处取得极小值、极大值 .平面上点xoy12uuur uuurpa pba、b 的坐标分别为（x ,f (x )）、（x ,f (x )），该平面上动点 满足q= 4 ,点 是点pp1122关于直线 = 2( - 4)的对称点.求yx(i)求点a、b 的坐标；(ii)求动点 的轨迹方程.q( ) = (- + 3 + 2) = -3 + 3 = 0x ；= 1或 =

24、-1解析： ()令 f xx3xx2解得x当x -1时,f (x) 0 ， 当-1 x 0，当x 1时， f (x) 0 。所 以 , 函 数 在 x = -1处 取 得 极 小 值 , 在x =1取 得 极 大 值 , 故x = -1, x = 1, f (-1) = 0, f (1) = 4。12所以, 点 a、b 的坐标为a(-1,0),b(1, 4)。（） 设p，(m,n) q(x, y)，() ()pa pb = -1- m,-n 1- m,4 - n = m2 -1+ n2 - 4n = 4 ，1y - n1k = - ，所以pq= - 。2x - m2y + m x + n= 2

25、= 2(x - 4)- 4m,n，消去 得又 pq 的中点在 y上，所以22( ) ( )x - 8 2 + y + 2 2 = 9 。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。例 10已知函数 f (x) = x - sin x ,数列a 满足 : aaf a n0 1, = ( ), =1,2,3, .l 证n1n+1n160 a a 1明:()；()aa 3 。nn+1nn+1证明: （i）先用数学归纳法证明0 a 1，1,2,3,n(i).当 n=1 时,由已知显然结论成立。(ii).假设当 n=k 时结论成立,即0 a 1。k因为 0x 0 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数。 (

26、0) f (a ) f (1),即0 a 1- sin1 1又 f(x)在0,1上连续，从而 f时,结论成立。.故 n=k+1kk +1由(i)、(ii)可知，0 a 1对一切正整数都成立。n又因为0 1时，a a- = -sin - = -sin 0 ，所以a ，综上所述aan+1a aaan+1nnnnnnn0 a a 1。n+1n16（ii）设函数 ( ) = sin - +g x x xx3，0 x 1，由（i）知，当0 x 1时，sin x -2( ) + = 0.所以 g (x)在(0,1)上xx22从而2222 222是增函数。又g (x)在0,1上连续,且 g (0)=0，所以

27、当0 x 0 成立。11(a ) 0,即sin a - a + a 0a a于是g故3 。366nnnnn+1n点评：该题是数列知识和导数结合到一块。题型 6：导数实际应用题锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点o 到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设 oo 为 x m,则由题设可得正六棱锥底面13 + (x -1) = 8+ 2x - x2 （单位：m）。边长为22于是底面正六边形的面积为（单位：m ）：233 323 + (x -1) = 6g g( 8+ 2x - x ) =(8+

28、 2x - x )2 。22224帐篷的体积为（单位：m ）：33 32132v (x) =(8+ 2x - x ) (x -1)+1 =(16+12x - x )2333( ) =v x(12-3x )2 ；求导数，得2令v x( ) = 0 解得 x=-2(不合题意，舍去),x=2。 当 1x 0 ,v(x)为增函数；当 2x4 时，v(x) 0+ 2x（ii）因为函数h时单调递增，而x + x = 3x222nnn+1n+1 4x + 2x = (2x ) + 2x，22n+1n+1n+1n+11x1xx xn 2xn+1 ,=n-1 2 ( ) .所以x，即因此xn-12xn-1xn-

29、2x12nn+1xnn1y+ x 2(x + x ),n+1 .= x + x,则又因为x2令y222nnn+1nnnyn+1n11= x + x = 2,y ( ) y = ( ) .n因为y所以n-1n-22122111111 x + x ( ) ,( ) x ( ) .因此x故2n-2n-1n-2222nnnn点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。题型 7：定积分例 13计算下列定积分的值 p xp32dx ；（2） xx x(4 - )( -1)5dx ；（3）( + sin )cos2 xdx（1）2x dx；（4）；22p-110-