多边形与三角形习题讲解

1、2014 年 1 月 cccgir的初中数学组卷一选择题（共 5 小题）1（ 2006?日照）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1 的正方形， A ， B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点 C 也在小方格的顶点上，且以 A， B，C为顶点的三角形面积为 1，则点 C 的个数为（）A3个B4 个C5 个D6个2已知在正方形网格中，每个小方格的边长都相等，A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A、B 为顶点的网格平行四边形的个数为（ ）A6个B8 个C10个D12 个3已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形， A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小

2、方格的顶点上，且 ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数为（）4（2007?呼伦贝尔）锐角三角形的三个内角是 A， B ， C，如果 =A+ B，=B+C，=C+A，那 么 ， ， 这三个角中（）A 没有锐角B有 1个锐角C有2个锐角D有 3个锐角5（ 2013?延安二模）现有 2cm， 4cm， 5cm，8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三 角形的个数为（ ）A1个B2 个C3 个D4个二填空题（共 6 小题）6已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1 的正方形， A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示若点C、 D 也在小方格的顶点上，这四点正好是一个平行

3、四边形的四个顶点，且这个平行四边形的面积恰好为2，则这样的平行四边形有 个菁优网7已知ABC，（1）如图，若 P点是 ABC 和ACB 的角平分线的交点，则P= ；ACE 的角平分线的交点，则 P=90 A；CBF 和 BCE 的角平分线的交点，则 P= 8如图，对面积为 1的ABC 进行以下操作： 分别延长 AB 、BC、CA 至点 A1、B1、C1，使得 A1B=2AB ，B 1C=2BC ，S，则 S= 9（2012?门头沟区一模）如图，对面积为1 的ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、 BC、CA至 A 1、B 1、 C1，使得 A 1B=2AB ， B1C=2BC

4、，C1A=2CA ，顺次连接 A1、B1、C1，得到 A1B1C1，记其面积为 S1； 第二次操作，分别延长 A1B1，B1C1，C1A1 至 A2，B2，C2，使得 A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次?2010-2014 菁优网菁优网连接 A2，B2，C2，得到 A2B2C2，记其面积为 S2，按此规律继续下去，可得到 A 5B5C5 ，则其面积为 S5=10如图，对面积为 1 的平行四边形 ABCD 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB ，BC，CD，DA 至点A1，B1，C1，D1，使得 A1B=2AB，B1C=2BC，C1D=2CD，D1A=2

5、AD ，顺次连接 A1，B1，C1，D1，得到平行四边 形 A 1B1C1D1，记其面积为 S1；第二次操作， 分别延长 A 1B1，B 1C1，C1D1、D1A 1至点 A2，B2，C2，D2，使得 A 2B1=2A 1B 1， B2C1=2B1C1，C2D1=2C1D1，D2A1=2A1D1，顺次连接 A2，B2，C2，D2 记其面积为 S2； ；按此规律继续下去，可 得到平行四边形 A5B5C5D5，则其面积 S5= 11（2006?沈阳）已知点 I是ABC 的内心， BIC=130 ，则 BAC 的度数是 度三解答题（共 3 小题）12已知 ABC 1）如图1，2）如图2，3）如图3，

6、P 点为 ABC 和ACB 的角平分线的交点，试说明： P=90+ A ； P= A ； P=90 A P 点为 ABC 和外角 ACD 的角平分线的交点，试说明：P 点为外角 CBD 和 BCE 的角平分线的交点，试说明：13对面积为 1的ABC 逐次进行以下操作： 第一次操作，分别延长 AB 、BC、CA 至点 A1、B1、C1，使得 A 1B=2AB ， B1C=2BC ，C1A=2CA ，顺次连接 A1、B1、C1，得到 A 1B 1C 1，记其面积为 S1；第二次操作， 分别延长 A1B1、B1C1、 C1A1至点 A2、B2、C2，使得 A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，

7、C2A1=2C1A1，顺次连接 A2、B2、C2，得到 A2B2C2， 记其面积为 S2； ；按此规律继续下去，可得到 AnBnCn?2010-2014 菁优网菁优网 （ 1）求面积 S1；（ 2）求面积 Sn14阅读下面资料： 小明遇到这样一个问题：如图 使得 A1B=2AB ， B 1C=2BC ， 小明是这样思考和解决这个问题的：如图1，对面积为 a 的ABC 逐次进行以下操作：分别延长 C1A=2CA ，等高两三角形的面积比等于底之比，所以AB 、BC 、CA 至 A1、B1、 C1， 顺次连接 A1、B1、C1，得到 A1B1C1，记其面积为 S1，求 S1 的值 2，连接 A1C、

8、B1A、C1B ，因为 A1B=2AB ，B1C=2BC ， C1A=2CA ，根据= ，由此继续推理，从而解决a 的式子表示） （ 1）直接写出 S1=（用含字母请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图 3，P 为ABC 内一点，连接 AP、 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求 （3）如图 4，若点 P为ABC 的边 AB 上的中线 CF 的中点，求 SAPEBP、CP 并延长分别交边 BC、AC 、AB 于点 D、 E、F，则把 ABC ABC 的面积与 S BPF 的比值?2010-2014 菁优网菁优网参考答案与试题解析一选择题（共 5 小题）1（

9、2006?日照）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1 的正方形， A ， B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点 C 也在小方格的顶点上，且以 A， B，C为顶点的三角形面积为 1，则点 C 的个数为（ ）A3个B4 个C5 个D6个考点 ：三角形的面积专题 ：压轴题；网格型分析：怎样选取分类的标准，才能做到点 C 的个数不遗不漏，按照点 C 所在的直线分为两种情况：当点 C 与 点A 在同一条直线上时， AC 边上的高为 1， AC=2 ，符合条件的点 C有4个；当点 C与点 B在同一条 直线上时， BC 边上的高为 1， BC=2 ，符合条件的点 C有 2 个解答： 解：C 点所

10、有的情况如图所示：故选 D 点评： 此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A、B 为2已知在正方形网格中，每个小方格的边长都相等，顶点的网格平行四边形的个数为（ ）考点：平行四边形的判定专题 ：网格型分析：根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，显然图中以 行四边形的个数为 12 个A、B 为顶点的网格平解答：解：如图所示，根据平行四边形的定义，则以 的网格平行四边形有 6 个，则共有 12 个AB 为边的网格平行四边形有6 个，以 AB 为对角线A6个B8 个C10个D12 个故选 D ?2010-2014 菁优网菁优网AB

11、为边或对角线找到点评： 本题考查了平行四边形的判定，此题要能够根据平行四边形的定义，分别以 所有的平行四边形3已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形， A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且 ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数为（）考点 ： 等腰三角形的判定；勾股定理专题 ： 网格型分析： 根据已知条件，可知按照点 C所在的直线分两种情况： 点C以点 A为标准， AB为底边； 点 C 以点 B 为标准， AB 为等腰三角形的一条边解答： 解： 点C以点A为标准， AB为底边，符合点 C的有 5个； 点 C 以点 B 为标准， AB 为等腰三角形的

12、一条边，符合点C 的有 4 个所以符合条件的点 C 共有 9 个故选 C点评： 此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学 知识来求解注意数形结合的解题思想4（2007?呼伦贝尔）锐角三角形的三个内角是A， B ， C，如果 =A+ B，=B+C，=C+A，那么 ， ， 这三个角中（）A 没有锐角B有 1个锐角C有2个锐角D有 3个锐角考点 ：三角形的外角性质分析：根据三角形的外角性质，及锐角三角形的性质作答解答：解：由于锐角三角形中三个都是锐角， 而 ， ， 分别是其外角， 根据三角形外角的性质， 可知 ， ， 这三个角都是钝角 故选 A 点评：

13、此 题主要考查了三角形内角与外角的关系?2010-2014 菁优网菁优网（1）三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和；（ 2）三角形的任一外角任何一个和它不相邻的内角5（ 2013?延安二模）现有 2cm， 4cm， 5cm，8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三 角形的个数为（ ）A1个B2 个C3 个D4个考点 ：三角形三边关系分析：首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系 “任意两边之和大于第三边，任意两边之 差小于第三边 ”，进行分析解答：解：其中的任意三条组合有 共四种情况， 根据三角形的三边关系，则 故选 B 2cm、4cm、2cm、4c

14、m、5cm；2cm、4cm、8cm；4cm、5cm、8cm；2cm、5cm、8cm5cm； 4cm、 5cm、 8cm 符合，点评： 此题考查了三角形的三边关系关键是掌握判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和 是否大于第三个数二填空题（共 6 小题）6已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1 的正方形， A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示若点C、 D 也在小方格的顶点上，这四点正好是一个平行四边形的四个顶点，且这个平行四边形的面积恰好为2，则这样的平行四边形有 6 个考点 ： 平行四边形的判定专题 ：网格型分析：根据平行四边形 ABCD 的面积为 2 可以推知： 平行四边

15、形的底边长为 2，高为 1； 正方形的边 长为 ；可通过在正方形网格中画图得出结果解答： 解：根据题意作图可发现符合题意的有5 种情况： ?ABC 2D3、?ABC 1D2、?AC1BD1、?AC2BC3、正方形 ABD 1C2、正方形 ABC 3C1故答案为： 6点评： 本题考查了平行四边形的判定本题应注意数形结合，防止漏解或错解7已知ABC，（1）如图，若 P点是 ABC 和ACB 的角平分线的交点，则 P= ；?2010-2014 菁优网菁优网ACE 的角平分线的交点，则P=90 A ；CBF 和 BCE 的角平分线的交点，则P= 1）（3）考点 ：三角形的外角性质；三角形内角和定理分析

16、： 根 据三角形的内角和外角之间的关系计算解答：解：(1)正确；(2) A= ACE ABC=2 PCE2PBC=2(PCEPBC) P=PCE PBC2P=A故（ 2）的结论是错误（3） P=180（ PBC+ PCB ）=180 FBC+ ECB )=180 A+ ACB+ A+ABC)=180 A+180 )=90 A 正确故填（ 1）（ 3）?2010-2014 菁优网菁优网8如图，对面积为 1的ABC 进行以下操作： 分别延长 AB 、BC、CA 至点 A1、B1、C1，使得 A1B=2AB ，B 1C=2BC ， C1A=2CA ，顺次连接 A1、 B1、 C1，得到 A1B1C1

17、，记其面积为 S，则 S= 19 考点 ： 三角形的面积分析： 连接 A 1C，根据图示可知 AA1C与ABC 是同高的两个三角形， 由题意可以求得 SAA1C=3SABC=3， 则 SAA1C1=2SAA1C=6SA1B1C1=3SAA1C1+SABC=19SABC解答： 解：如图，连接 A1C BA 1=2AB ，AA 1=3AB ，SAA1C=3SABC，S AA1C1 =2SAA1C =6S ABC ，所以 SA1B1C1=3SAA1C1+SABC=19SABC=191=19，即 S=19故答案是： 19点评： 本题考查了三角形的面积 解答此题的难点是将所求三角形的面积与已知三角形的面

18、积的数量关系找 出来9（2012?门头沟区一模）如图，对面积为1 的ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、 BC、CA至 A 1、B 1、 C1，使得 A 1B=2AB ， B1C=2BC ，C1A=2CA ，顺次连接 A1、B1、C1，得到 A1B1C1，记其面积为 S1； 第二次操作，分别延长 A1B1，B1C1，C1A1 至 A2，B2，C2，使得 A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次 连接 A2，B2，C2，得到 A2B2C2，记其面积为 S2，按此规律继续下去，可得到 A 5B5C5 ，则其面积为 S5= 2476099 第 n 次操

19、作得到 AnBnCn，则AnBnCn 的面积 Sn= 19n ?2010-2014 菁优网菁优网考点 ： 三角形的面积专题 ： 规律型分析： 连接 A 1C，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的19 倍的规律，利用规律求延长第 n次后的面积解答： 解：连接 A1C；SAA1C=3SABC=3，SAA1C1=2SAA1C=6，所以 SA1B1C1 =6 3+1=19 ；同理得 SA2B2C2=1919=361；SA3B3C3=36119=6859，S A4B4C4=6859 19=130321 ，SA5B5C5=130321 19=2476099，从中可以得出一个规律， 延长各边后得到的三角形

20、是原三角形的 19倍，所以延长第 n次后，得到 AnBnCn， 则其面积 Sn=19n?S1=19n 故答案是： 2476099；19n10如图，对面积为 1 的平行四边形 ABCD 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB ，BC，CD，DA 至点A1，B1，C1，D1，使得 A1B=2AB，B1C=2BC，C1D=2CD，D1A=2AD ，顺次连接 A1，B1，C1，D1，得到平行四边 形 A 1B1C1D1，记其面积为 S1；第二次操作， 分别延长 A1B1，B1C1，C1D1、D1A1至点 A2，B2，C2，D2，使得 A 2B1=2A 1B 1， B2C1=2B1C1，C2D1=2

21、C1D1，D2A1=2A1D1，顺次连接 A2，B2，C2，D2 记其面积为 S2； ；按此规律继续下去，可 得到平行四边形 A5B5C5D5，则其面积 S5= 135 考点：平行四边形的性质专题 ：规律型分析：根据题意分析可得：平行四边形 ABCD 的面积为 1；每次操作后，每个三角形面积都是原平行四边形?2010-2014 菁优网菁优网13 倍；按此规律继续下去，可得到面积的 3 倍，所以新的平行四边形的面积就是原来平行四边形的 平行四边形 A5B5C5D5，则其面积 S5=135解答： 解：如图，连接 BD， B1D，B1C=2BC， B1DC 的面积是 DBC 的面积的两倍，又 C1D

22、=2DC ，B1C1D 的面积是 B1DC 的两倍， B1C1C 的面积是 DBC 的面积的 6 倍， 也就是平行四边形 ABCD 的面积的三倍， 以此类推，其余三个三角形的面积都是平行四边形面积的三倍， 新的平行四边形的面积是原来平行四边形面积的 13 倍， 按此规律继续下去，那么平行四边形A 5B5C5D5的面积是 135故填空答案 135点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生 了变化，是按照什么规律变化的11（2006?沈阳）已知点 I 是ABC 的内心， BIC=130 ，则 BAC 的度数是 80 度考点 ：三角形的内切圆与内心

23、分析：已知 I是ABC 的内心，则 IB、IC 分别平分 ABC 、 ACB ；由三角形内角和定理， 可求得 IBC+ ICB 的度数，也就求出了 ABC+ ACB 的度数，进而可求出 BAC 的度数解答：解：点 I是ABC 的内心， IBC= ABC， ICB= ACB ；IBC 中， BIC=130 ； IBC+ ICB=180 BIC=50 ； ABC+ ACB=100 ； BAC=180 ( ABC+ ACB ) =80 故答案为： 80三解答题（共 3 小题）12已知 ABC （1）如图 1，若 P 点为 ABC 和ACB 的角平分线的交点，试说明： P=90+ A ；?2010-2

24、014 菁优网菁优网2）如图 2，若 P 点为 ABC 和外角 ACD 的角平分线的交点，试说明：P= A ；3）如图 3，若 P点为外角 CBD和 BCE的角平分线的交点，试说明： P=90 A考点 ： 三角形内角和定理；三角形的外角性质 分析： （1）利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可证明；、（2）利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义即可求解；（3）利用三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质即可证得解答： 解：（ 1） P=180 ABC ACB=180 （180A）=90+ A(2) P=PCD PBD= ACD ABC= A(3) P=180 CBD

25、BCE=180 ( CBD+ BCE)=180 ( A+ ACB+ A+ABC)=180 ( 180 + A )=90 A 点评： 本题考查了三角形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是关键13对面积为 1的ABC 逐次进行以下操作： 第一次操作，分别延长 AB 、BC、CA 至点 A1、B1、C1，使得 A 1B=2AB ， B1C=2BC ，C1A=2CA ，顺次连接 A1、B1、C1，得到 A 1B 1C 1，记其面积为 S1；第二次操作， 分别延长 A1B1、B1C1、 C1A1至点 A2、B2、C2，使得 A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接

26、 A2、B2、C2，得到 A2B2C2， 记其面积为 S2； ；按此规律继续下去，可得到 AnBnCn（ 1）求面积 S1；（ 2）求面积 Sn考点：面积及等积变换专题 ：规律型分析：（ 1）首先根据题意，求得 SABC1= 2S ABC，同理求得 SA1B1C1=19SABC，则可求得面积 S1 的值； （2）根据题意发现规律： Sn=19nS0 即可求得答案解答：解 ：连 BC1，?2010-2014 菁优网菁优网 C1A=2CA ， SABC1=2SABC ，同理： S A1BC1=2S ABC1 =4S ABC ， SA1AC1=6SABC，同理： SA1BB1=SCB1C1=6SABC ， SA1B1C1 =19SABC ，即 S1=19S0，S0=SABC=1， S1=19 ；232）同理， S2=19S1=192S0，S3=193S0， nnSn=19 S0=19 点评： 此题考查了三角形面积之间的关系注意找到规律：Sn=19nS0 是解此题的关键14阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图 1，对面积为 a的ABC 逐次进行以下操作：分别延长 AB 、BC 、CA 至 A1、B1、C1， 使得 A1B=2AB