多边形及其内角和讲解

1、复习与知识回顾 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ 多边形及其内角和 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 了解多边形，多边形的对角线，正多边形等有关的概念； 掌握多边形内角和与外角和公式； 灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题， 体验并掌握探索、 归纳图形性质的推理方法， 进一步培养说理 和进行简单推理的能力。 重点难点： 重点：多边形内角和及外角和公式的灵活应用。 难点：多边形内角和公式的推导；多边形内角和及外角和公式的应用。 学习策略： 通过把多边形转化为三角形体会转化思想在几何中的运用， 探索多边形内角和公式

2、， 同时体会从特殊到一般的认识 问题的方法。 二、学习与应用 凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。 一）三角形的内角和等于， 外角和是。 二）三角形的一个等于与它不相邻的两个内角的和， 三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角 三）三角形任意两边 大于第三边，三角形任意两边 小于第三边。 知识要点预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5# 242807。 知识点一：多边

3、形及有关概念 1 （一）多边形的定义： 在平面内，由一些线段 相接组成的图形叫做多 边形。 （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条叫做多边形的边。 顶点：每相邻两条边的公共叫做多边形的顶点。 内角：多边形 两边组成的角叫多边形的内角， 一个 n 边形有 个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的 组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意： 一些线段（多边形的边数是大于等于 的正整数）； 首尾顺次相连，二者缺一不可； 理解时要特别注意“在同一 内”这个条件，其目的是为了排除 几个点不共面的情况，即空间多边形。 （二）多边形的分类： （ 1）多边形可分为多边形和 多边形，画出多边形的任

4、何一 条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为 多 边形，反之为 多边形（见图 1）。本章所讲的多边形都是指多边形。 凹多边形 凸多边形 图1 2）多边形通常还以 命名，多边形有 n 条边就叫做边形 三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形。 知识点二：正多边形 各个角都 ，各条边都 的多边形叫做正多边形。如正三角形、 正方形、正五边形等。 正方形 正三角形 要点诠释： 正六边形 正十二边形 是正多边形的必备条件，二者缺一不可。如四 条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只 有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是 _

5、。 知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线 ：连接多边形 的两个顶点的线段，叫做多边形的 对角线。如图 2，为四边形 ABCD 的一条对角线。 要点诠释： （ 1）从 n 边形一个顶点可以引条对角线，将多边形分成 个三角形。 （2）n 边形共有_条对角线。 证明：过一个顶点有条对角线 （n3 的正整数），又共有个 顶点，共有 对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了 次， 凸 n 边形，共有 条对角线。 知识点四：多边形的内角和公式 （一）公式： n 边形的内角和为 （ n 3） 。 （二）公式的证明： 证法 1：在 n边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个 三角形， 这 个三

6、角形的内角和为 ，再减去一个 角，即得到 n 边形的内角和为 。 证法 2：从 n 边形一个顶点作对角线， 可以作 条对角线， 并且 n 边形被分成 个三角形，这个三角形内角和恰好是 n 边 形的 ，等于 。 证法 3：在 n 边形的一边上取一点与各个顶点相连， 得 个三角形， n 边 形内角和等于这 个三角形的内角和减去所取的一点处的一个 角 的度数，即 。 要点诠释： （ 1）注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为问题来 解决的基础思想。 （2）内角和定理的应用： 已知多边形的边数，求其内角和； 已知多边形内角和，求其边数。 知识点五：多边形的外角和公式 （ 1）公式： 多边形的外角

7、和等于。 （ 2）多边形外角和公式的证明： 多边形的每个内角和与它相邻的外角都是 ，所以 n 边形的内角和加外角和为，外角和等于 。 注意： n 边形的外角和恒等于 ，它与边数的多少无关。 要点诠释： （ 1）外角和公式的应用： 已知外角度数，求正多边形边数； 已知正多边形边数，求外角度数。 （ 2 ）多边形的边数与内角和、外角和的关系： n 边形的内角和等于（n3，n 是正整数），可见多边形内 角和与边数 n 有关，每增加 1 条边，内角和增加 。 多边形的外角和等于 ，与边数的多少无关。 知识点六：镶嵌的概念和特征 （一）定义： 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分 覆盖，通常把这 类问

8、题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌） 。这里的多边形可以形状相同，也可以形 状不相同。 （二）实现镶嵌的条件： 拼接在同一点的各个角的和恰好等于 ；相邻的多 边形有 。 （三）常见的一些正多边形的镶嵌问题： （1）用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边 形的内角之和为 。 （2）只用一种正多边形镶嵌地面 对于给定的某种正多边形， 怎样判断它能否拼成一个平面图形， 且不留一点空隙？ 解决问题的关键在于正多边形的 的特点。当围绕一点拼在一起的几个正多 边形的内角加在一起恰好组成一个 角 时，就能铺成一个平面图形。 事实上，正 n 边形的每一个内角为 ，要求 k 个正 n

9、 边形各有一个内 角拼于一点，恰好覆盖地面，这样 360 ，由此导 出 k 2n 2+，而 k是正整数，所以 n 只能取 。因而， n2 用相同的正多边形地砖铺地面， 只有正 角形、正方形、 正 边形的地砖可以用。 注意： 任意四边形的内角和都等于 。所以用一批形状、大小完全相 同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满 地面。 （3）用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形， 关键是相关正多边形 “交 接处各角之和能否拼成一个 角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三 角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形

10、与正八边形都可以作平面镶嵌， 见下图： 又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地 面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角 经典例题 - 自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反 三。若有其它补充可填在右栏空白处。 更多精彩请参看网校资源 ID ：#jdlt0#242807 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 例 1 一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍，它是几边形？ 思路点拨： 本题实际告诉了这个多边形的内角和是 解析： 总结升华： 举一反三： 【变式 1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800 ，求

11、这个多边形的边 数。 答案： 【变式 2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750，求这个多边形的内角 和是多少？ 答案： 【变式 3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350，求这个多边 形的边数。 答案： 类型二：多边形对角线公式的运用 例 2 某校七年级六班举行篮球比赛， 比赛采用单循环积分制 （即每两个班都进行一次 比赛）。你能算出一共需要进行多少场比赛吗？ 思路点拨： 本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形 条数的求法， 即多边形的对角线条数加上边数。如图： 一班 二班 五班 四班 解析： 总结升华： 举一反三： ）。 变式 1】一个多边形共有 20 条对角线

12、，则多边形的边数是（ A 6 B 7 C 8 D 9 答案： 【变式 2】一个十二边形有几条对角线。 解析： 总结升华： 类型三：可转化为多边形内角和问题 例 3如图，求 A+B+C+D+E+F+G 的度数。 思路点拨： 设法将这几个角转移到 中，然后利用多边形内角和公式求解。 解析： 总结升华： 举一反三： 变式 2】如图所示，求 A+B+C+D+E+F 的度数 解析： 类型四：实际应用题 例 4如图，一辆小汽车从 P市出发，先到 B 市，再到 C市，再到 A 市，最后返回 P 市，这辆小汽车共转了多少度角？ C 思路点拨： 根据多边形的 定理解决。 解析： 总结升华： 举一反三： 【变式

13、1】如图所示，小亮从 A 点出发前进 10m，向右转 15，再前进 10m，又向 右转 15，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了 m 答案： 总结升华： 【变式 2】小华从点 A 出发向前走 10 米，向右转 36，然后继续向前走 10 米，再向 右转 36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A 吗？若能，当他走回点 A 时共走了多少米？若不能，写出理由。 答案： 变式 3】如图所示是某厂生产的一块模板， 已知该模板的边 AB CF，CDAE 。 按 规定 AB 、CD 的延长线相交成 80角， 因交点不在模板上，不便测量。 这时师 傅告诉徒弟只需测一个角，便知道 AB、 CD

14、 的延长线的夹角是否合乎规定，你知 道需测哪一个角吗？说明理由。 D 解析： 类型五：镶嵌问题 例 5 分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图 10 （1）正方形和正八边形； （2）正三角形和正十二边形； （3）正三角形、正方形和正六边形。 思路点拨： 只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能 作平面镶嵌。 解析： 总结升华： 举一反三： 【变式 1】分别用形状、大小完全相同的三角形木板；四边形木板；正五边形木 板；正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是（ ） A BCD 答案： 【变式 2】用三块正多边形的木板铺地， 拼在一起并相交于一点的各边完

15、全吻合， 其中 两块木板的边数都是 8，则第三块木板的边数应是（） A 4B5C6D8 答案： 三、总结与测评 11 要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们 巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。 总结规律和方法 - 强化所学 认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧 相关内容请参看网校资源 ID ：#tbjx16#242807 。 一）内角和与边数成正比： 边数增加， 内角和增加； 边数减少， 内角和减少。 每增加一条边， 内角的和就增加 过来也成立） ，且多边形的内角和必须是 180的倍 二） 多边形外角和恒等于 ，与边数的多少无关 （

16、三）多边形最多有 个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形） ；多边形的外角中最多有 个钝角，最少没有钝角。 （四）在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法。 （五）在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决。 三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基 础，同时注意转化思想在数学中的应用。 成果测评 现在来检测一下学习的成果吧！请到网校 测评系统 和 模拟考试系统 进行相关知识点的 测试。 知识点： 多边形 测评系统 分数： 模拟考试系统 分数： 如果你的分数在 80 分以下，请进入网校资源 ID ： #cgcp0#242807做基础达标部分的练习，如果你的分数在80 分以上， 你可以进行能力提升题目的测试。 自我反馈 学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整 理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。 我的收获 12 习题整理 题目或题目出处 所属类型或知识点 分析及注意问题 好题 错题 注： 本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。 知识导学 ： 多边形及其内角和（ #242807） 视听课堂：多边形的内角和与外角和（选学）（#