复数典型例题原

1、2）是 2m 3m 2 2 z 2（m2 3m 10）i 例 1 当 m 为何实数时，复数m2 25；（1）是实数； 虚数；（ 3）是纯虚数。 2 m2 3m 10 0 2 解：（ 1）z 为实数，则虚部 m2 3m 10 0，即 m 25 0 解得 m=2 m=2 时，z 为实数 2 m 3m 10 0 2 2)z 为虚数，则虚部 m2 3m 10 0，即 m 25 0 解得 m 2 且 m5 2 2m2 3m 2 0 2 2 m2 25 0 （3）z 为纯虚数 1 m 解得 2 m2 3m 10 0 1 m 当2 时， z 为纯虚数 例 3 求同时满足下列条件的所有复数z：（ 1） 的实部

2、和虚部都是整数。 22 解： 设 z a bi（a,b R 且 a b 0） z 10 z 是实数，且 1 z 10 6 。（2）z z 10 a bi 10 a bi 则 z a bi 10(a bi) a2 b 2 10 a(1210 a 由（ 1）知 b(1 10 2 ) b(1 22 )i b2a 2 b2 1010 z 1 z 6 z 是实数，且 z 10 )0 a2 b2) 0即b 0或 a2 b2 10 1 a(1 又 10 a 2 b 2 )6 当 b=0 时， 1 a 6 * 化为 a 无解。 a3 当 a2 b2 10 时，*化为 1 2a 6 由（2）知 a 1,2,3

3、相应的 b3，6 （舍）， 1 因此，复数 z为：1 3i 或3 i w z 2i 例 4 设复数 | z i | 1，且 z 0， z 2i 。又复数 w 使 w 2i z 为实数，问复数 w在复平面上所对应的点 Z 的集合是什么图形，并说明理由。 分析与解答： 设 z a bi ， w x yi(a,b,x,y R) 由题 z 0， z 2i 且 | z i | 1 22 a 0， b 0且a2 b2 2b 0 w z 2i x yi a bi 2i u 记 w 2i z x yi 2i a bi 2 2 2 2 (x2 y2 2y) 2xi (a2 b2 2b) 2ai 2 22 2 x

4、2 (y 2)2a2 b2 22 (x2 y2 2y) 2xi 2ai 2 2 22 x2 (y 2)2a2 b2 已知 u 为实数 x2 y2 2y 2a 0 2 2 2 2 x2 (y 2) 2 a2 b2 2 2 2 2 a 0 x2 y2 2y 0 即 x2 (y 1)2 1 w 在复平面上所对应的点 Z 的集合是以( 0， 1)为圆心， 1 为半径的圆 又 w 2i 0 除去( 0， 2)点。 2 例 5 设虚数 z1, z2 ，满足 z1 z2 （1）若 z1,z2 又是一个实系数一元二次方程的两根，求z1,z2 。 （2）若z1 1 mi（i为虚数单位， m R），|z1| 2，

5、复数 w z2 3，求|w|的 取值范围。 解：（ 1） z1, z2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭， 可设 z1 a bi（a,b R且 b 0），则 z2 a bi 由 z12 z2 得 （a bi）2 a bi 即： a 2 b2 2abi a bi a2 b2 a 根据复数相等， 2ab b b 0 解得 a1 2 b3 2 或b 1 2 3 2 3 i 2 3 i 2或 2)由于 z1 z2,z1 1 mi， w z2 3 w (1 mi) 2 3 4 m 2 2mi z1 z1 13 i 22 1 z2 2 2 13 z2 2 2 i | w| (4 m2 )2 4

6、m2(m2 2)2 12 由于 | z1 | 2 且 m 0，可解得 0 m2 1， 令m2 u ，|w| (u 2)2 12 2 在 u (0,1上， (u 2)2 12 是减函数 |w| 13,4) 例 6 已知复数 z满足 zz i(3z) 1 3i ，求 z。 22 方法一： 设 z x yi(x,y R)，则 x2 y2 i3(x yi) 1 (3i) 22 即 x2 y2 3y 3xi 1 3i 22 x2 y2 3y 1 由复数相等得 3x 3 x1x1 解得 y 0 或 y 3 z 1 或 z 1 3i 方法二： zz i(3z) 1 (3i) zz 1 3i 3iz 2 即|

7、z|2 1 3i(z 1) R z 1是纯虚数或 0 可令 z 1 ai(a R) 2 则 1 a2 i( 3 3ai) 1 3i 即 a2 3a 0 a 0 或 a3 故 z 1或 z1 3i z2 例 7 已知复数 z满足 |z| 1且 1 2z 0 z 求 z 的值。 解：设 z x yi(x,y R) ，由已知得 x2 y2 1 ( 1) z2 1 2z z 21 (x yi)22(x yi) x yi 22 (x2 y2 3x) (2xy y)i 22 x2 y2 3x 0(2) 依题意得 2xy y 0(3) 1 x 由( 3)得 y 0或 2 1）当 y 0时，由（ 1）知 x1

8、但 x 1与（2）矛盾 1 ，即 z11 2）当 1 x 2 时，由（ 1） y3 得2 把 y 值代入（ 2）均成立 综上可知： z1 1 1 3 13 z2i z3i 2 22 ， 3 2 2 2 例 8 设 a,b为共轭复数，且 (a b) 3abi 4 6i ，求 a和 b。 解： a, b为共轭复数 设 a x yi(x,y R) 则 b x yi 2 由 (a b)2 3abi 4 6i 得 2 4x 2 4 2 22 22 (2x)23(x2y2)i4 6i ，即 3(x2y2)6 2 x 2 1 x1 y 2 1 y 1 a 1 i ，b 1 i ；a 1 i，b 1 i ；

9、a 1 i，b 1 i； a1 i ，b1 i。 2 例 9 已知关于 x 的方程 x (6 i)x 9 ai 0(a R) 有实数根 b。 (1)求实数 a,b 的值； ( 2)若复数 z满足|z a bi| 2|z| 0，当 z为何值时 | z |有最小值，并求出 |z|的 最小值。 2 解：( 1) b 是方程 x (6 i)x 9 ai 0(a R)的实根 2 (b 2 6b 9) (a b)i 0 b2 6b 9 0 a b 0 a b 3 (2) 设 z x yi(x, y R) | z 3 3i | 2|z| 0 |x yi 3 3i| 2|x yi | 2 2 2 2 即 (x

10、 3)2 (y 3) 2 4(x2 y2 ) 22 整理，得 (x 1) 2 (y 1) 2 8 复数 z对应点的轨迹是以 O1( 1,1)为圆心，以 2 2 为半径的圆。如图所示 连结圆心 O1和原点 O，并延长交圆 O1于点 P，当复数 z为点 P对应的复数时 ,|z|最小 可求得 P(1, 1) z 1 i ,| z|min2 【模拟试题】 22 1. 已 知 关于 x 的实 系 数方 程 x2 2ax a2 4a 4 0 的 两虚 根 为 x1,x2 ,且 | x1 | | x2 | 3，则 a 的值为 。 2. 已知 (2x 1) i y (3 y)i ，其中 x,y R，求 x=，

11、y=。 t 1 t x yi ( )i 4. 已知 x, y,t R，t1且t 0，求满足 1 t t 时，点 (x, y)的轨迹 方程 。 5. 计算( 1) (4 i5)(6 2i7) (7 i11)(4 3i) 2) 3) 6. 计算：(1) 1 2 3i 2 (2 2i)4 (2) (1 3i)5 13 i 22 7. 设 2 2 i ，计算： (1 2 )(12 ) 试题答案】 15 1. 2 2. 2 ；43. i 4. xy 1 5. 解析：(1)原式 = 2(4 i)(3 i) (7 i)(4 3i) 22 2(12 3i 4i i2) (28 4i 21i 3i 2) 2(1

12、1 7i) 25(1 i) 47 39i 2)1i ( 2 2i)5 (1 i 1 )4 (11 ii)7 1i 5 2 2 1 2 7 i ( 2)5 (1 i)22 (1 i) 2 2 i7 (1 i)2 16 2( 1 i) 1 i 4 1 (16 2 ) (16 2 1)i 4 3 1 12 2 2i 8 ( i) ( ) 3)2 2 1 3i 12 3 1 12 1 i ( i)12 ( 3 1i)12 1 i 2 2 1 2 ( 12 23 i)12 22 8 3i 2 13 (12 23 i) ( 21 23i)33 24 (1 i)2 4 ( 13 i)34 ( 8 8 3i)

13、 22 1 8 8 3i 7 8 3i 6. i 2 3 19 (5 i 19) 解析：( 1) 1 2 3i (1 2 3i)i 5 (i 4) 1 2 3i i5i 22 i i2 2 11 2)令 (2 2i)4 5 (1 3i) 2 62 6 7. 11 i 1 2 5i 3 i 2， 24 (1 i) 1，于是 (2i)2 5 13 52 5 25( 13i)52 22 1 3i 13 i 解析：因为 2 2 所以 2 1 0 ， 3 1 从而 1 2 ， 1 2 23 所以，原式 ( 2 2 )( 2 ) 4 3 4 2010 年高考数学选择题试题分类汇编复数 2 2010 湖南文

14、数） 1. 复数 2 等于 1i A. 1+I B. 1-i C. -1+i D. -1-i 的是 （A） zz 2y （B） z2 x2 y2 （C） zz 2x （D） zxy 解析： 可对选项逐个检查， A 项， z z 2y ， 故 A 错，B项， z2 x2 y2 2xyi ，故 B 2010 浙江理数） 5）对任意复数 z x yi x,y R ，i 为虚数单位，则下列结论正确 错，C项， z z 2y，故 C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及 其几何意义，属中档题 2010 全国卷 2 理数） 1）复数 13 ii 2 A） 3 4i（ B） 3 4i 答案】

15、 A 命题意图】本试题主要考查复数的运算 C) 3 4i D) 3 4i 解析】 31 ii 1 2i)2 3 4i . A D）第四象限 （2010 陕西文数） 2. 复数 z= i 在复平面上对应的点位于 1i （A） 第一象限（B）第二象限（C）第三象限 解析：本题考查复数的运算及几何意义 i i（1 i） 1 1i ，所以点（ 1 , 1 ）位于第一象限 1 i 2 2 2 2 2 1+2i 2010 辽宁理数) (2) 设 a,b 为实数，若复数 1+2i 1 i ，则 a bi 31 (A) a,b (B) a 3,b 1 22 13 (C) a ,b (D) a 1,b 3 22

16、 答案】 A 命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。 解析】由 1 2i 1 i 可得 1 2i (a b) (a b)i，所以 a b 1 ，解得 a bia b 2 1 ，故选 A。 2 2010 江西理数） 1. 已知（ x+i ） （ 1-i ） =y，则实数 x，y 分别为（ ） A.x=-1 ， y=1 B. x=-1 ，y=2 C. x=1 ， y=1 D. x=1 ，y=2 答案】 D 【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得 （x i2） （1 x）i y ，没有虚 部， x=1,y=2. 2010 安徽文数） （2） 已知 i2

17、1，则 i（ 1 3i）= (A) 3 i (B) 3 i (C) 3 i (D) 3 i 2.B 【解析】 i(1 3i) i 3，选 B. 方法总结】直接乘开，用 i 2 1 代换即可 2010 浙江文数） 5i 3. 设 i 为虚数单位，则 5 i 1i (A)-2-3i (C)2-3i (B)-2+3i (D)2+3i 解析：选 C，本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题 a 2i （2010 山东文数）（ 2）已知b i a,b R ，其中 i 为虚数单位，则 a b i A. 1B. 1C. 2 D. 3 答案： B （2010 北京文数） 在复平面内，复数 6+5i, -

18、2+3i 对应的点分别为 A,B. 若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是 （ A）4+8i （B）8+2i（C） 2+4i（D）4+i 答案： C 23 2010 四川理数）（ 1）i 是虚数单位，计算 i i 2 i 3 (A) 1(B)1(C) i(D) i 解析：由复数性质知： i 2 1 故 ii 2i 3i(1)(i )1 答案： A (2010 天津文数) (1)i 是虚数单位，复数 = 1i (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 【答案】 A 【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。 2 进行复数的除法的运算需要份子、分母

19、同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为 -1. 3 i (3 i)(1+i) 2 4i 1 2i 1-i (1-i)(1+i) 2 【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心， 不要失分哦。 (2010 天津理数)( 1)i 是虚数单位，复数 1 2i (A)1 i (B)5 5i (C)-5-5i (D)-1 i 【答案】 A 【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。 进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为 -1. 1 3i (-1+3i ) (1-2i)5 5i 1i 1 2i (1 2i)(1 2i) 5

20、 【温馨提示】 近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题， 运算时要细心， 不要失 分哦。 (2010 广东理数) 2. 若复数 z1=1+i ，z2=3-i ，则 z1 z2=() A4+2 iB. 2+i C. 2+2 i D.3 2. A z1 z2 (1 i) (3 i) 1 3 1 1 (3 1)i 4 2i 1 i 4 (2010 福建文数) 4 i是虚数单位 , (1 i )4 等于 ( ) 1-i AiB -iC1D-1 答案】 C 解析】 2 1 i 4 (1 i) 4 4 ( ) = =i =1, 故选 C 1-i 2 命题意图】本题考查复数的基本运算 , 考查同学们

21、的计算能力 3 2i (2010 全国卷 1 理数) (1) 复数 2 3i (A) i (B) i (C)12-13 i (D) 12+13 i a 2i a 2i (2010 山东理数) (2) 已知 b i(a,b) b i(a,b R)，其中 i 为虚数单 ii 位，则 a+b= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】 B a+2i 【解析】由 a+2i =b+i 得a+2i=bi-1 ,所以由复数相等的意义知 a=-1,b=2 ,所以 a+b= 1,故选 i B. 【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。 1. (2010 安徽理数) 1、 i 是虚

22、数单位， 3 3i A、 13i B、 13i 13 C、i D、 1 3 4 12 4 12 26 26 1.B 【解析】 i i( 3 3i) 3i 3 13i ，选 B. 4 12 【解析】 3 3i 3 9 12 【规律总结】 i 为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭 3 3i 复数 3i ，然后利用复数的代数运算，结合 i2 1得结论 . 2. ( 2010 福建理数) (2010 湖北理数) 1若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示 复数 Z，则表示复数 z 的点是 1i A E B.F C.G D.H 1【答案】 D 【解析】 观察图形可知 z 3

23、i , 则 z 3 i 2 i ，即对应点 1 i 1 i H(2， 1)，故 D正确. 导数 一 导数的概念 (一) 导数的定义 1.导数的原始定义：设函数 y f (x)在 x x0处附近有定义， 如果 x 0时， y与 x 的比 y ( 也叫函数的平均变化率 )有极限即 y 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫 xx / /f (x0 x) f(x0) 做函数 y f (x)在 x x0处的导数， 记作 y/ x x0 ，即 f / (x0) limx 00 x 0 2 导函数的定义：如果函数 y f (x) 在开区间 (a,b) 内的每点处都有导数，此时对于每 一个 x (a,b)，

24、都对应着一个确定的导数 f /(x) ，从而构成了一个新的函数 f/(x), 称这 个函数 f /(x)为函数 y f ( x)在开区间内的导函数，简称导数。 (二) 导数的实际意义： 1. 导数的几何意义： f / (x0 ) 是 曲线 y f ( x)上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率 因此，如果 y f(x)在点 x0 可导，则曲线 y f ( x)在点( x0 , f (x0 ) )处的切线方程为 y f(x0) f /(x0)(x x0) 2. 导数的物理意义： 导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。 三)概念部分题型： 1.利用定义求函数 y f (

25、 x) 的导数 主要有三个步骤： (1)求函数的改变量 y f (x x) f ( x) y f ( x x) f ( x) (2)求平均变化率 xx (3)取极限，得导数 y/ f ( x) lim yx 2.利用导数的实际意义解题 主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。 导数的运算 一) 常见函数的导数 1 C 0 n n 1 2 (x ) nx xx 3 (e ) e 4 (ax) axln a 1 5(ln x) x 6 (log a x) 1 log a e 1 x x ln a 7 (sinx) cosx 8 (cos x)sin x 二) 导数的四则运算 1和差

26、： (u v) u v 2积： (uv) u v uv 3商： ( u ) u v uv v v 2 三) 复合函数的导数： 1运算法则复合函数导数的运算法则为： f g( x) f (g) g (x) 2复合函数的求导的方法和步骤： 求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则， 由外向里一 层层求导，注意不要漏层。 求复合函数的导数的方法步骤： (1) 分清复合函数的复合关系，选好中间变量 (2) 运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求 导数 (3) 根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成 自变量的函数

27、 三 导数的应用 (一)利用导数判断函数单调性及求解单调区间。 1.导数和函数单调性的关系： (1) 若 f (x)0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在 (a，b)上是增函数， f (x)0 的解集与定义域的 交集的对应区间为增区间； (2) 若 f (x)0 在(a， b)上恒成立，则 f(x)在(a， b)上是减函数， f (x)0 ，则 f(x)在对应区间上是增函数， 对应区 间为增区间； f (x)0 ，则 f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。 (二)利用导数求解函数极值与最值。 1.极值与最值的定义： (1)极大值： 一般地，设函数 f(x) 在点 x0附近有定义，如

28、果对 x 0附近的所有的点，都有 f(x) f(x 0) 就说 f(x 0)是函数 f(x) 的一个极小值，记作 y 极小值 =f(x 0)， x0是极小值点 (3)函数的最大值和最小值 :在闭区间 a,b 上连续的函数 f (x) 在 a,b 上必有最大值与 最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。 2.极值的性质： (1)极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是 最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (2)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止 一个 (3) 极大值与极小值之间无确定的大小关

29、系 即一个函数的极大值未必大于极小值。 (4) 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得 最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 3. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法 : 若 x0满足 f (x0) 0，且在 x0 的两侧 f (x)的导数异号，则 x0是 f(x)的极值点， f (x0 )是极值，并且如果 f (x)在 x0两侧满足“左正右负” ，则 x0是 f (x)的极大值点， f(x0)是极大值；如果 f (x)在 x0两侧满足“左负右正”，则x0是 f (x)的极小值点， f(x0) 是极小值 4. 求函数 f (x)的极值的步骤

30、 : (1)确定函数的定义区间，求导数 f (x) (2)求方程 f (x)=0 的根 (3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 检 查 f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果 左负右正， 那么 f(x)在这个根处取得极小值； 如果左右不改变符号即都为正或都为负， 则 f(x) 在这个根处无极值 5. 利用导数求函数的最值步骤 : 求 f (x) 在(a,b)内的极值； 将 f (x)的各极值与 f(a)、 f (b)比较得出函数 f (x)在 a,b 上的最值 (三) 利用导数求解证明不等式： 主要方法为将不等式 t(x) g(x) 左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数 f(x) t(x) g(x) ，通过对 f (x) 求导，根据 f (x)的大小和