高中数学必修五第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时

1、第2课时数列的递推公式与通项公式学习目标1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.3.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.a12，知识点一递推公式思考数列1,2,4,8，的第n项an与第n1项an1有什么关系？答案an12an.梳理如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)(n2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递

2、推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项知识点二数列的表示方法思考以数列2,4,6,8,10,12，为例，你能用几种方法表示这个数列？答案通项公式法：an2n.递推公式法：an1an2，nn*.列表法：nan122436k2k图象法：.梳理数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法1.利用an12an，nn*可以确定数列an.()2.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松解决.()3.递推公式是表示数列的一种方法.()类型一数列的表示法

3、例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.考点数列的表示方法题点数列的表示方法解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a11，an13an，nn*，个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an3n1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示).反思与感悟求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序

4、号的关系，图象法则一如既往地直观.跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n1(n2，nn*)个三角形数多_个石子.例2设数列an满足1an1(n1，nn*).解由题意可知a11，a212，a31，a41，a511.考点数列的通项公式题点根据图形写出通项公式答案n解析a2a12，a3a23，anan1n.类型二数列的递推公式命题角度1由递推公式求前若干项a11，1an写出这个数列的前5项.考点数列的递推公式题点由递推公式求项11315

5、138a1a22a33a455引申探究1an若数列an满足a12，an1，求a2018.1ana3，21a3211a3131a431a4111a112解a23，1a1121a21311a213111a4，211a52a1，3an是周期为4的数列，a2018a45042a23.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否有规律性.跟踪训练2已知数列an中，a11，a22，an2an1an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律

6、？你能否求出该数列中的第2018项？考点数列的递推公式题点周期数列问题解a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71，a82，.发现：an6an，数列an具有周期性，周期t6.证明如下：an2an1an，an3an2an1(an1an)an1an.an6an3(an)an.数列an是周期数列，且t6.a2018a33662a22.命题角度2由递推公式求通项例3(1)对于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nn*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，an1an2，求通项an；an(2)若数列an中各项均不为零，则有a123a

7、aa1a2an1nan(n2，n*)成立.试根据这一结论，(n2，nn*)，求通项an.n完成问题：已知数列an满足：a11，ann1an1an(2)当n2时，ana1231.考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式解(1)当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)12222(n1)12n1.(n1)个2a11也符合上式，所以数列an的通项公式是an2n1.aaa1a2an112n1123nn111111，ana1a2a23an(n2，nn)求通项公式；形如f(n)的递推公式，可以利用a1*解an1an，anan1(n2)，a11也符合上式，1所以数列an的通项公式是ann.反

8、思与感悟形如an1anf(n)的递推公式，可以利用a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an1aaann1an(n2，nn*)求通项公式.以上方法分别叫累加法和累乘法.111跟踪训练3已知数列an满足a11，anannn1，nn*，求数列的通项公式an.考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式11nn111a2a112，11a3a223，11a4a334，11n1n(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)223n1n1即ana11n(n2).111ana11n11nn(n2)，又当n1时，a11，也符合上式.1ann，nn*.1.数列1,3,6,10,15，的递推公式是()a.

9、an1ann，nn*b.anan1n，nn*c.an1an(n1)，nn*d.anan1(n1)，nn*，n2考点数列的表示方法题点数列的表示方法答案c解析由已知得a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，an1ann1，nn*，故选c.2.已知数列an满足a12，an1an10(nn*)，则此数列的通项an等于()a.n21c.1nb.n1d.3n考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式答案d解析an1an1.ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(1)(1)(1)共(n1)个2(1)(n1)3n.3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所

10、搭三角形的个数n之间的关系式可以是_.考点数列的通项公式题点根据图形写出通项公式答案an2n1，nn*解析a13，a2325，a33227，a432229，an2n1，nn*.1，则x2018_.4.数列xn中，若x11，xn11xn12考点数列的递推公式题点周期数列问题1答案解析x11，1x22，x31，数列xn的周期为2，1x2018x22.1.an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式.而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.3.通项公式和

11、递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.一、选择题1.已知an1an30，则数列an是()a.递增数列c.常数列b.递减数列d.不能确定考点数列的性质题点判断或证明数列的单调性答案a解析an1an30，故数列an为递增数列.2c.34d.5a.1b.1112.已知数列an的首项a11，且满足an12an2n，则此数列的第4项是()8考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案b11113解析a22a121；a32a24

12、4；111a42a382.5b.2a.25.若a11，an1，则给出的数列an的第4项是()16b.1a.13.已知数列an中，an1man1(n1)，且a23，a35，则实数m等于(3c.2d.3考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案a2解析由题意得a2ma31，即35m1，m5.4.已知a11，anan13(n2，nn*)，则数列的通项公式为()a.an3n1b.an3nc.an3n2d.an3(n1)考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式答案c解析anan13，anan13.a2a13，a3a23，a4a33，anan13，以上各式两边分别相加，得ana13(n1)，ana13(n

13、1)13(n1)3n2，故选c.an3an11117c.10d.25考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案c)解析a2，a1113a1131411a21a3a3，a43a213173a3131108an2n229n32n42108，471.476.已知数列an中，an2n229n3，则数列中最大项的值是()1a.107b.108c.108d.109考点数列的性质题点求数列的最大项、最小项答案b解析由已知得291829由于nn*，故当n取距离4最近的正整数7时，an取得最大值108.数列an中的最大值为a7108.7.已知数列an中，a12，an(n2)，则a2018_.2解析a2，a32，a

14、4a2，an解析由(n1)an(n1)an1，即则a100a1231001a1a2a991299二、填空题1an1考点数列的递推公式题点周期数列问题1答案1111a12a221an的周期为2，a2018a22.8.若数列an满足(n1)an(n1)an1，且a11，则a100_.考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案5050n1，an1n1aaa341015050.9.已知数列an满足：anan1，ann2n，nn*，则实数的最小值是_.考点数列的性质题点已知数列的单调性求参数的值或取值范围答案3解析anan1n2n(n1)2(n1)(2n1)，nn*3.10.根据下列5个图形及相应点的个数

15、的变化规律，可以得出第n个图中有_个点.考点数列的通项公式题点根据图形写出通项公式答案n2n1解析图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；猜想an(nn*).ana111111anan1解anan1an1an，1.ana1a2a1a3a2n1，当n2时，an.a1也符合上式，an(nn*).2图(3)除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点；猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n1)个点，故第n个图中点的个数为1n(n1)n2n1.三、解答题11.根据下列条件，写出数列的前4项

16、，并归纳猜想它的通项公式.(1)a10，an1an2n1(nn*)；nan(2)a11，an1an1(nn*).考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式解(1)a10，a21，a34，a49.猜想an(n1)2(nn*).345(2)a11，a22，a322，a42.n12112.已知数列an满足a12，anan1an1an，求数列an的通项公式.考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式11n1当n2时，112111n1.(n1)个111ann111n113.已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an123a1，a为奇数.an，a为偶数，nnn可能的取值.考点数列的递推公式题点递推公式其他应用解若a5为奇数，则3a511，a50(舍去).a若a5为偶数，则251，a52.1若a4为奇数，则3a412，a43(舍去).a若a4为偶数，则242，a44.若a3为奇数，则3a314，a31，则a22，a14.a若a3为偶数，则234，a38，7若a2为奇数，则3a218，a23(舍去).a若a2为偶数，则228，a216.若a1为奇数，则3a1116，a15.a若a1为偶数，则2116，a132.故m所有可能的取值为4,5,32.四、探究与拓展若a61，求m所有9b.25a.2514.数列an中，a11，对所有的n2，nn*，都有a1a2a3a