圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲详细答案

1、 课程星级： 椭圆】 知能梳理 、椭圆的定义 1、 椭 圆 的 第 一 定 义 ： 平 面 内 一 个 动 点 P 到 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 (PF1 PF2 2a F1F2 ) ，这个动点 P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作 椭圆的焦距。 注意：若 ( PF1PF2 F1F2) ，则动点 P的轨迹为线段 F1F2； 若( PF1PF2 F1F2 ) ，则动点 P 的轨迹无图形。 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程(端点为 a、 b，焦点为 c) 1)当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程： 22 xy 1 22 ab 2 (

2、a b 0)，其中 c2 a2 b2 ； 2)当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程： 22 ay22 bx22 1 2 (a b 0) ，其中 c2 a2 b2 ； 2、两种标准方程可用一般形式表示： x2 y 1 或者 mn 22 mx +ny =1 2 y2 b2 1(a b 0) 为例 ) 2 三、椭圆的性质( 以 x2 a2 1、对称性 22 xy 对于椭圆标准方程 2 2 1(a b 0)：是以 x 轴、 y轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对 a 2 b2 称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围 ： 椭圆上所有的点都位于直线 x a和 y b所围成的矩形内

3、，所以椭圆上点的坐标满足 x a ， y b 。 3、顶点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 22 xy 椭圆 2 2 1 (a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1 ( a,0) ， a 2 b2 A2(a,0)，B1(0, b)， B2(0,b)。 线段 A1A2， B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴， A1A2 2a， B1 B2 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆 的长半轴长和短半轴长。 4、离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 2c e 表示，记作 e c 。 2a a 因为 (a c 0) ，所以 e的取值范围是 (0 e 1)

4、。 e越接近 1，则 c就越接近 a ，从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁； 反之， e越接近于 0， c就越接近 0，从而 b越接近于 a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a b时， c 0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a 。 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 22 注意：椭圆 x 2 y2 1的图像中线段的几何特征(如下图) a 2 b 2 PF1 PF2 PM1 PM 2 ( PF1PF22a) ( PM1PM 2 2a2 2 焦点在 x 轴上： 2 x 2 y22 1 （ab 0） 准线方程： x a 2 a b2 c 2 2 2

5、焦点在 y 轴上： y 2 x2 1 （ a b 0） 准线方程： y a a b2 c 6、椭圆的内外部 需要更多的高考数学复习资料， 请在淘 .宝 .上.搜 .索.宝.贝. “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲 （详细解答 ）” 或者搜 .店.铺.“龙奇迹【学习资料网】 5、椭圆的第二定义： 平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数 e，（0 e b 0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆 ab 2 的焦点角形的面积为 S FPF b2 tan 22 4、 椭圆 x2 y2 1( a b 0)的焦 半径 公式： |M

6、F1| a ex0 , |MF2| a ex0 ( F1( c,0) ab F2 ( c,0) M (x0,y0) 5、设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相 应于焦点 F的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF NF。 6、过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点， A1P和 A2Q 交于点 M， A2P和A 1Q交于点 N，则 MFNF。 x2 y2b2 7、AB 是椭圆 x2 y2 1的不平行于对称轴的弦， M(x0,y0) 为 AB 的中点，则 kOM kABb2 ，即 aba K

7、b2 x0 。 K AB2 。 a y0 2 2 2 2 8、若 P0(x0,y0) 在椭圆x2y21内，则被Po所平分的中点弦的方程是x02xy02yx02y02 ababab 22 xyx0 x y0y 2 2 2 2 abab 22 xy 9、若 P0（x0,y0） 在椭圆 2 2 1 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 ab 【双曲线】 一、双曲线的定义 1、第一定 义：到两个定点 F1 与 F2 的距离之 差的绝 对值等 于定长（ |F1F2|） 的点的轨迹 （ PF1 PF2 2a F1F2 （ a为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差 的绝对值。（2）2

8、a |F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 2、第二定义： 动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e（e1）时，这个动点的轨迹是双曲 线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线。 、双曲线的标准方程（ b2 c2 a2，其中 |F1 F2 |=2c） 需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝 .上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲 （详细解答 ）” 或者搜 .店.铺.“龙奇迹【学习资料网】 ” 三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线 2、直线与双曲线 四、双曲线与渐近线的关系 五、双曲线与切线方程

9、六、双曲线的性质 七、弦长公式 1、 若直线 y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 x1, x2分别为 A、B 的横坐标， 2、 3、 AB (x1 x2) (y1 y2) y1,y2 分别为 A、B 的纵坐标，则 ABk2 1 AB k12 1 y1 y2 x1 x2 通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 若弦 AB 所在直线方程设为 x k2 1 x1 x2 k12 1 y1 y2 4y1y2 。 4x1x2 1 k2 |a|， A、B 两点，则弦长 | AB| 2b2 。 a ky b ，则 AB 1 k2 y1 y2 。 4、 特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦

10、转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 八、焦半径公式 九、等轴双曲线 十、共轭双曲线 例题精讲 ( 详细 需要双曲线的详细资料， 请在淘 .宝 .上.搜 .索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 解答)” 或者搜 .店.铺.“龙奇迹【学习资料网】 ” 【抛物线】 、抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l (l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F 叫做抛物 线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。 二、抛物线的性质 三、相关定义 1、通径： 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2 称为通径；通径： |H1H2|=2P 2、弦长公式： |AB| 1

11、k2|x1 x2| 1 12 |y1 y2| 2 3、焦点弦： 过抛物线 y2 2px (p 0)焦点 F 的弦 AB，若 A(x1, y1),B(x2,y2)，则 2 p p 2 (1) | AF | x0+ ， (2) x1x2， y1y2 p (3) 弦长 AB p (x1 x2) ,x1 x2 2 x1x2 p，即当 x1=x 2时,通径最短为 2p (4) 若 AB 的倾斜角为 ，则 AB = 2 2p sin 5) 1 1 2 += AF BF P 四、点、直线与抛物线的位置关系 需要详细的抛物线的资料， 请在淘 .宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例

12、题精讲 ( 详 细解答 )” 或者搜 .店.铺.“龙奇迹【学习资料网】 ” 【圆锥曲线与方程】 一、圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y) 到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之比是一个常 数 e(e 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心 率。 当 0e 1时，轨迹为双曲线。 特别注意：当 e 0时，轨迹为圆( e c ，当 c 0,a b 时)。 a 二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 三、曲线与方程 四、坐标变换 1、坐标变换： 2、坐标轴的平移： 3、中心或顶点在 (

13、h,k) 的圆锥曲线方程 需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝 .上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲 (详细解答 )” 或者搜 .店.铺.“龙奇迹【学习资料网】 ” 例】以抛物线 y2 8 3x的焦点 F 为右焦点 ,且两条渐近线是 x 3y 0的双曲线方程为 解： 抛物线 y2 8 3x 的焦点 F 为 (2 3,0) ，设双曲线方程为 x2 3y2， 4 (2 3)2 9 ，双 3 22 曲线方程为 x y 1 93 22 xy 【例】双曲线 2 =1(bN)的两个焦点 F1、F2，P 为双曲线上一点， |OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|

14、成等比数 4 b2 列，则 b2=。 解：设 F1(c,0)、 F2(c,0)、P(x,y)，则 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|250+2c2， 又 |PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1| |PF2|，依双曲线定义，有 |PF1|PF2|=4， 17 依已知条件有 |PF1| |PF2|=|F1F2|2=4c2 16+8c250+2c2， c2 , 3 又 c2=4+ b2 17 ， b24， m=0 ，由知 x1+x2=0， x1x2= 代入 x1+x2， x1x2可解 a2=5，故所求椭圆方

15、程为： 4a 2 ，又 |M 1M 2|= 2 (x1 x2 )2 4x1x2 4 10 ， 4 a2 3 22 xy =1。 54 解： x 轴，建立坐标系， 例】某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱高 4米，在建桥时每隔 4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的 长。需要更多的高考数学复习资料，请在淘 .宝.上. 搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总 结 例题精讲 （ 详细解答 ） 或者搜 . 店. 铺. “龙奇迹【学习资料网】” 如图，由题意知， |AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为 （10， 4）、 （10， 4） 设抛物线方程为 x2=2py，将 A 点坐标代入

16、，得 100= 2p（ 4） ，解得 p=12。5， 于是抛物线方程为 x2= 25y。 由题意知 E 点坐标为 （2， 4），E点横坐标也为 2，将 2 代入得 y=0。16，从而 |EE|=（0.16）（ 4)=3.84 。 故最长支柱长应为 3.84 米。 例】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1与椭圆交于 P和 Q，且 OPOQ， |PQ|= 10 ，求椭圆方程。 2 解：设椭圆方程为 mx2+ny2=1（m 0， n0），P（x1，y1）， Q（x2， y2） y x 1 2 2 2 2得(m+n)x2+2nx+n1=0，=4n24(m+n)(n1) 0，即

17、m+nmn0， mx ny 1 由 OP OQ，所以 x1x2+y1y2=0，即 2x1x2+(x1+x2)+1=0， 2(n 1) 2n +1=0 ， m+n=2 m n m n 又 2 4(m n mn) mn 由、式得 ( 10 )2，将 m+n=2 ，代入得 2 1331 m= ， n= 或 m= ， n= 2222 3 mn= 4 故椭圆方程为 例】已知圆 22 y2 1 a b 0 ， C2 的离心率 b2 C1的方程为 x 2 2 y 1 2 20，椭圆 C2 的方程为 x2 3 为 2 ，如果 2 程。 C1与 C2相交于 A、B两点，且线段 AB恰为圆 C1的直径， 求直线

18、AB 的方程和椭圆 C2 的方 解：由 e 2 ,得 a 2 ,a 2c ,b x2 c2. 设椭圆方程为 2 2b2 2 by22 1. 设 A(x1,y1).B(x2,y2).由圆心为 (2,1).x1 x2 4,y1 y2 2. 2 2 2 2b2 by122 1,2xb222 by222 1, 2 x1 2 x2 两式相 2 2 2 得 x1 x2 y1 2 2 0. 2b2 b2 又 x1x24.y1y22.得 y1y21.直线 AB的方程为y 1 (x2).即 yx 3 (x1 x2)(x1 x2) 2(y1 y2)(y1 y2) 0, x1 x2 22 将 y x 3代入 x 2

19、 y2 1,得 3x2 12x 18 2b2 0. 2b2 b2 直线AB与椭圆 C2相交.24b2 72 0.需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高 考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 （ 详细解答 ） ” 或者搜 .店 .铺 .“龙奇迹【学习资料网】 ” 由 AB x1 x2 2 (x1 x2) 2 4x1 x2 230.得 2 24b2 72 20 例】过点 （1，0）的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为 22 的椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程。 解法一：由 e= c a 22，得 a2

20、21，从而 a2=2b2，c=b。设椭圆方程为 2 2 2 x2+2y2=2b2， A(x1，y1)，B(x2， y2）在椭圆上。 2 2 2 则 x12+2y12=2b2， x22+2y22=2b2，两式相减得， (x12x22)+2(y12 y22)=0， x1 x2 x1 x22(y1 y2 ) y1 y2 设 AB 中点为 （x0， y0) ，则 kAB= x0 2y0 ，又 （x0， y0）在直线 y= 12 x上， 1 y0= 2 x0， x0 是 2y0 = 1， kAB= 1， 设 l 的方程为 y=x+1。右焦点 （b，0）关于 l 的对称点设为 (x， y，) xy b 1

21、 xb y 2 xb 2 解得 x1 y 1 b 由点 （1，1b）在椭圆上，得 1+2（1b）2=2b2，b2= 9 ,a2 16 2 所求椭圆 C的方程为 8x9 196 y2 =1，l的方程为 y=x+1。 99 解法二：需要更多的高考数学复习资料，请在淘 . 宝.上.搜. 索. 宝. 贝. 高考复习资料 高中数学 知识 点总结 例题精讲 （ 详细解答 ） ” 或者搜 . 店. 铺. “龙奇迹【学习资料网】” e=ac22 ,得a2a2b2 a 2 a 2 1， 2 从而 a2=2b2，c=b。设椭圆 C的方程为 x2+2y2=2b2，l 的方程为 y= k（ x1）， 将 l 的方程代

22、入 C 的方程，得 (1+2k2)x24k2x+2k2 2b2=0， 2 2k 则 x1+x2= 4k 2 ， y1+y2=k(x11)+k(x2 1)=k(x1+x2)2k= 2k 2 。 1 2k21 2k 2 2 )，则k 2 1 2k 2 ，解得 直线 l：y=12x过AB的中点(x12x2 y1 y2 2 1 2k2 2 1 2k2 k=0 ，或 k=1。 若 k=0，则 l 的方程为 y=0，焦点 F（c，0）关于直线 l 的对称点就是 F 点本身， 不能在椭圆 C 上，所以 k=0 舍去，从而 k= 1，直线 l 的方程为 y=（x1），即 y= x+1 ，以下同解法一。 2 解

23、法三：设椭圆方程为 ax2 by2 1(a b 0)(1) 直线 l 不平行于 y 轴， 否 则 AB 中 点 在 x 1 轴上与直线 y 12x过AB 中点矛盾。故可设直线 l的方程为 y k(x 1) (2) （2）代入（1）消y整理得：（k2a2 b2)x2 2k2a2 x a2k2 a2b2 0 (3) 设A(x1，y1) B(x2，y2)， 知：x1 x2 2k2a2 k 2a 2 b2 又y1 y2 k(x1 x2 ) 2k代 入 上 式 得 ： x1 2k 1 2kx2 21 ， k 2k 2 2 2 2b 2(a c ) a2 a2 2 2 2 k2 a 2 b2 2k2a2

24、2 2e2 kk b2 ka2 1， 直线 l的方程为 y 1 x， 此时 a2 2b2， 方程 (3)化为 3x2 4x 2 2 2 2 2b2 0 ， 16 24(1 b2) 8(3b2 1) 0 b3 ， 椭圆C的方程可写成： x2 2y2 2b2 (4)，又c2 a2 b2 b2 ， 3 右焦点 F (b，0) ， 设点F关于直线 l的对称点 (x0，y0)， y0 1 x0 b x0 1，y0 1 b ， y0 1 x0 又点(1，1 b)在椭圆上，代入 (4)得：1 2(1 b) 2b2 ， b 3 3 4 b2 9 16 29 a 8 所以所求的椭圆方程为： 22 x2 y2 1

25、 99 8 16 例】如图，已知 P1OP2的面积为 27 ， 4 P 为线段 P1P2的一个三等分点，求以直线 OP1、 OP2为渐近线且 过点 P 的离心率为 13 的双曲线方程。 2 解：以 O 为原点， P1OP2的角平分线为 x轴建立如图所示的直角坐标系。 2 2 2 设双曲线方程为 x2y2=1(a0，b0)，由 e2= c21 (b)2( 13)2，得 b3。 a2b2 a 2 a 2 a2 33 两渐近线 OP1 、OP2 方程分别为 y= 3 x 和 y= 3 x 22 设点 P1(x1， 32 x1)， P2(x2， 23 x2)(x10，x20)， 则由点 P分 P1P2

26、 所成的比 = P1P =2，得 P 点坐标为 ( x1 2x2 x1 2x2 1 2PP23 2 4y 2 又点 P 在双曲线 x2 4y2 =1上，所以2 a2 9a29a2 即 (x1+2x2)2 (x12x2)2=9a2，整理得 8x1x2=9a2 22 (x1 2x2)(x1 2x2) 9a2 又 |OP1 | x1 9 x12 4 123 x1,|OP| x22 9x22 4 13 x2 2 =1， 3 2 2 2 12 1 9 13 4 sin P1OP22 tan 2P1Ox 1 tan2 P1Ox S P1OP2 12 | OP1 | |OP2 | 1 sin P1OP2 2

27、 13 x1x2 4 12 13 27 4 9 即 x1x2= 9 2 由、得 a2=4， b2=9。 2 故双曲线方程为 4 9 2 y2 =1。 例】需要更多的高考数学复习资料， 请在淘 .宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例 题精讲 ( 详细解答 ) 22 ” 或者搜 .店.铺.“龙奇迹【学习资料网】 ”过椭圆 C： y2 x2 1(a b 0) 上一动点 P a2 b2 引圆 O：x2 +y2 =b2 的两条切线 PA、PB，A、 B 为切点，直线 AB 与 x 轴， y 轴分别交于 M 、N 两点。 (1) 已 知 P 点坐标为 (x0 ，y0 )并且

28、x0y0 0，试求直线 a2 AB 方程；(2) 若椭圆的短轴长为 8，并且 a 2 b2 2 22 |OM |2 |ON |2 25 ， 16 求椭圆 C 的方程； (3) 椭圆 C 上是否存在点 P，由 P 向圆 O 所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在 的条件；若不存在，请说明理由。 解： (1)设 A(x1，y1)，B(x2， y2) 切线 PA： x1x y1y b2 ，PB： 2 x2x y2 y b P 点在切线 PA、 PB 上， x1x0 y1y0 b2 x2x0 y2y0 b2 直线 AB 的方程为 x0 x y0 y b2 (x0y0 0) b2 (2)在直线 AB方

29、程中，令 y=0，则 M( b ，0)； x0 令 x=0，则 N(0 ， by ) y0 2 a |OM |2 22 222 b 2a2 ( y02bx0 )a21265 |ON |2b2 a2b2b216 2b=8 b=4 代入得 a2 =25 ， b2 =16 22 椭圆 C 方程： y x 1(xy 0) 25 16 (3) 假设存在点 P(x0，y0)满足 PAPB，连接 OA、 OB 由|PA|=|PB|知， 四边形 PAOB 为正方形， |OP|= 2 |OA| x02 y02 2b2 又 P 点在椭圆 C 上 a2x02 b2 y02 a 2b2 2 2 2 2 2 由知 x2

30、0 b (a2 22b ) ,y02a2 b 2ab0 a2 b20 a2 b2a2 b2 (1) 当 a22b20，即 a 2 b时，椭圆 C 上存在点，由 P点向圆所引两切线互相垂直； (2) 当 a22b20，即 ba 2 b时，椭圆 C上不存在满足条件的 P点 【例】已知点 B ( 1， 0)， C(1， 0)， P是平面上一动点，且满足 |PC | |BC | PB CB. (1) 求点 P的轨迹 C 对应的方程； (2) 已知点 A(m，2)在曲线 C上，过点 A 作曲线 C的两条弦 AD 和AE，且 AD AE ，判断：直线 DE 是否过定点？试证明你的结论。 (3) 已知点 A

31、(m，2)在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD ， AE ，且 AD ，AE 的斜率 k1、k2满 足 k1k2=2 。求证：直线 DE 过定点，并求出这个定点。 解：( 1)设 P(x,y)代入 |PC | |BC | PB CB得 (x 1)2 y2 1 x,化简得 y2 4x. 2 (2)将A(m,2)代入y2 4x得m 1, 点A的坐标为 (1,2). 设直线 AD的方程为 y 2 k(x 1)代入y 2 4x,得y2 4 y 8 4 0, kk 4 4 4 由y1 2可得 y22, D( 2 1, 2). k k 2 k 1 同理可设直线 AE:y 2 (x 1),代

32、入y 2 4x得E(4k2 1, 4k 2). k 4 4k 则直线DE方程为 :y 4k 2 k (x 4k2 1),化简得 4 k2 4k k 2(y 2) k(x 5) (y 2) 0, k 即y 2 2 (x 5),过定点 (5, 2). k 2 1 (3)将A(m,2)代入 y2 4x得 m 1, 设直线 DE的方程为 y kx b,D(x1,y1),E(x1, y1) 由 y2 kx b得k2x2 2(kb 2)x b2 0, y2 4x y1 2 y2 2 kAD kAE 2, 1 22( x1 , x2 1), x1 1 x2 1 且 y1 kx1 b, y2 kx2 b 22

33、 (k2 2)x1x2 (kb 2k 2)(x1 x2) (b 2) 2 2 0, 2 将x1 x22(kb2 2) ,x1 x2 b2 代入化简得 b2 (k 2)2, b (k 2). k 2 k2 b (k 2). 将b k2代入ykxb得ykx k 2 k(x 1)2,过定点 ( 1, 2). 将b 2k代入ykxb得ykx 2 k k(x 1)2,过定点 (1,2),不合,舍去, 定点为 ( 1, 2) 【例】需要更多的高考数学复习资料， 请在淘 .宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例 题 精 讲 ( 详 细 解 答 ) ” 或 者 搜 . 店 . 铺

34、. “ 龙 奇 迹 【 学 习 资 料 网 】” 已 知 曲 线 x2 y2 1(a 0,b 0)的离心率 e 2 3 ，直线 l过 A(a，0)、B(0，b)两点，原点 O到 l的距离是 3. a2 b2 3 2 )求双曲线的方程； ()过点 B 作直线 m 交双曲线于 M 、N 两点，若 OM ON 23 ，求直线 m的 方程。 解：()依题意， l 方程 x y ab 1,即 bx ay ab 0, 由原点 O 到 l 的距离为 3 ，得 2 ab a 2 b2 ab 3 c2 又 c 2 3 e a3 b 1,a 3 。 2 故所求双曲线方程为 x y2 1 3 )显然直线 m 不与

35、x 轴垂直，设 m 方程为 y=kx1， 则点 M 、N 坐标 x1, y1 )、( x2,y2) 是方程组 y kx 1 2 x2 y 3 的解 1 消去 y，得 (1 3k2 )x2 6kx 6 0 依设， 1 3k 0, 由根与系数关系，知 x1 x2 6k 3k 2 1,x1x2 6 3k 2 1 OM ON (x1,y1) (x2,y2) x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 1)(kx2 1) (1 k2)x1x2 k(x1 x2 ) 1 OM ON 23 k= 1 。 2 故直线 l 方程为 1 y2 例】已知动点 P 与双曲线 261= 23， 3k 2 1 x 1, 或 y

36、 1 x 1 2 y 1 的两个焦点 x2 23 1 当 k= 1 时，方程有两个不等的实数根 2 F1、 F2 的距离之和为定值，且cos F1PF2 的最小值 6(1 k 2)6k2 1 3k2 1 3k 2 1 6 3k2 1 为 19 1)求动点 P 的轨迹方程； 2)若已知 D (0,3) ， M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM DN ，求实数 的取值范围 2 2 2 解：( 1)由已知可得： c 5 ， a a (2c) 2a2 a2 9 b2 a2 c2 4 22 所求的椭圆方程为 x y 1 。 94 （2）方法一：由题知点 D、M 、N 共线，设为直线 m，当直线 m

37、的斜率存在时，设为 k，则直线 m 的方程为 22 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 （4+9k 13 218 5 1， 解得 1 5 为所求。 12( 2 ) 5 需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝 .上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 ） x讲 （详细解答 ）” 或者搜 .店.铺.“龙奇迹【学习资料网】 ” 1 方法三：设法求出椭圆上的点到点 D 的距离的最大值为 5，最小值为 1。进而推得 的取值范围为 1 5 。 +54 k +45 = 0 由判别式 (54k)2 4 (4 9k2) 45 0，得 k2 9 。 再设 M (x 1 ， y1

38、 )， N ( x2 ， y 2)，则一方面有 9 x1 x2 DM (x1,y1 3) DN(x2,y2 3) ( x2, (y2 3) ，得 y1 3 (y2 3) 54k 45 另一方面有 x1 x2 2 ， x1x22 4 9k【例】 如图所示，抛物线 y2=4x的顶点为 O，点 A的坐标为 （5，0），倾斜角为 的直线 l与线段 4 9kOA相交（不经过点 O或点 A）且交抛物线于 M、N两点，求 AMN 面积最大时直线 l 的方程，并 将 x1x2代入式并消去 x 2可得 求 AMN 的最大面积。 2 解：由题意，可设 l 的方程为 y=x+m， 5m0， 解得 m 1，又 5m0

39、，即 k 3 ，又 k2 ，故当 k 2 或 2k 2 或 2 k 3 时，方程 （*）有两不 22 等实根， l 与 C 有两个交点。 3 当 32 时，方程 （*）无解， l与 C 无交点。 3 综上知：当 k= 2 ，或 k= 3 ，或 k 不存在时， l 与 C 只有一个交点； 2 当 2 k 3 ，或 2 k 2 ，或 k 3 时， l 与 C 没有交点。 2 （2）假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB，且 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 2x12y12=2，2x22y22=2 两式相减得： 2（x1x2）（x1+x2）=（y1y2）（y1+y2） 又 x1+x2=2，y

40、1+y2=22（x1x2）=y1y1 即 kAB= y1 y2 =2 x1 x2 但渐近线斜率为 2 ，结合图形知直线 AB 与 C无交点，所以假设不正确，即以 Q为中点的弦不存在。 【例】已知双曲线 G 的中心在原点，它的渐近线与圆x2 y2 10 x 20 0 相切过点 P 4,0 作斜率 1 为 1 的直线 l ，使得 l 和 G 交于 A,B 两点，和 y 轴交于点 C，并且 点 P在线段 AB 上，又满足 4 PA PB PC 2 （1）求双曲线 G 的渐近线的方程； （2）求双曲线 G 的方程； （3）椭圆 S的中心在原点，它的短轴是 G的实轴如果 S中垂直于 l 的平行弦的中点的

41、轨迹恰好是 G的 渐近线截在 S 内的部分，求椭圆 S的方程 解：（ 1）设双曲线 G 的渐近线的方程为： y kx ，则由渐近线与圆 x2 y2 10 x 20 0相切可得： 11 所以， k 双曲线 G 的渐近线的方程为： y x 22 （2）由（ 1）可设双曲线 G 的方程为： x2 4y2 m 12 把直线 l 的方程 y x 4 代入双曲线方程，整理得 3x2 8x 16 4m 0 8 16 4m 则 xA xB, xAxB（） A B 3 A B 3 2 PA PB PC 2， P,A,B,C 共线且 P在线段 AB上， 2 xPxAxBxPxPxC，即： xB4 4xA16 ，整

42、理得： 4xAxBxAxB32 0 22 将（）代入上式可解得： m 28所以，双曲线的方程为 x y 1 28 7 3）由题可设椭圆 S 的方程为： 22 2x8 ay2 1 a 2 7 下面我们来求出 S中垂直于 l的平行弦中点的 轨迹需要更多的高考数学复习资料， 请在淘 .宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例 题精讲 （详细解答 ）” 或者搜 .店.铺.“龙奇迹【学习资料网】 ” 设弦的两个端点分别为 M x1,y1 ,N x2,y2 ， MN的中点为 P x0,y0 ，则 22 x12 y12 1 28 a2 1 28 a 两式作差得： 22 x22 y2

43、2 1 28 a2 1 x1 x2 x1 x2y1 y2 y1 y2 28 y1 y2 由于 1 24， x1 x2 2x0,y1 y2 2y0 x1 x2 所以， 2x08 4y20 0， 所以，垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线 x 42y 28 a2 0 截在椭圆 S 内的部分 又由题，这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分，所以， a2 1 112 2 22 所以， a2 56，椭圆 S 的方程为： x y1 28 56 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标） 之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到

44、 设而不求 ”的方法；判别式和韦达 定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具） 例】已知椭圆 C的中心为直角坐标系 xOy 的原点， 焦点在 s轴上， 它的一个顶点到两个焦点的距离分别 是 7 和 1。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝 .贝. 高考复习资料 高中数学 知识点总 结 例题精讲 （ 详细解答 ） ” 或者搜 .店 .铺.“龙奇迹【学习资料网】 ” ）求椭圆 C 的方程； ）若 P 为椭圆 C 上的动点， M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， OP =，求点 M 的轨迹方程， OM 并说明轨迹是什么曲线。 需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝 .上.搜.

45、索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲 （详细解答 ） ” 或者搜 .店.铺 .“龙奇迹【学习资料网】 ” 解： （）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a， c ，由已知得 22 xy 1 16 7 a c 1 ,解得a 4,c 3，w。w。w。k。s。5。u。c。o。m所以椭圆 C 的标准方程为 a c 7 OP ）设 M （x,y） ，其中 x 4,4 。由已知 OM 2 22 及点 P 在椭圆 C 上可得 9x2 112 22 16(x2 y2) 2。整理得 (16 2 9)x2 16 2y2 112 ，其中 x4,4 。 32 i）时。化简得 9y2 112 4 所以

46、点 M 的轨迹方程为 y 4 7 （ 4 x 4） ，轨迹是两条平行于 x轴的线段。 3 3 ii）43 时，方程变形为112 112 1，其中 x4,4 16 2 9 16 y 轴上的双曲线满足 4 x 4 的部分。 3 当 0 时，点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 4 x 轴上的椭圆满足 4 x 4 的部分； 3 当1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 4 当 1时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆； 例】已知椭圆 Cx2 y21 ab0 的离心率为 3 ，过右焦点 F的直线 L 与 C相交于 A、B两点， a2 b23 当 L 的斜率为 1时，坐标原点 O到 L

47、的距离为 2 。 2 () 求 a， b 的值； () C 上是否存在点 P，使得当 L 绕 F 转到某一位置时，有 OPOAOB 成立？若存在，求出所有的 的坐标与 L 的方程；若不存在，说明理由 考点：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有 关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处 理。 解：()设 F c,0 , 当 l 的斜率为 1 时，其方程为 x y c 0,O到 l的距离为 故 22 2， c1 ec a3， ba2 c2 = 2 ) C上存在点 P，使得当 l绕 F 转到某一位置

48、时，有 OP OA OB成立。 由 ()知 C 的方程为 2x2+3y2=6。 设 A(x1,y1),B(x2, y2). () 当l不垂直x轴时，设 l的方程为 y k(x 1) C 上的点 P使OP OA OB 成 立 的 充 要 条 件 是 P点的坐标为( x1 x2, y1 y2) 2(x1 x2)2 3(y1 y2)2 6 2 2 2 2 整理得 2x1 3y1 2x2 3y2 4x1x2 6y1y2 6 2 2 2 2 又A、B在C上，即 2x12 3y1 2 6,2x22 3y22 6 。 故 2x1x2 3y1y2 3 0 将 y k(x 1)代入 2x2 3y2 6,并化简得

49、 (2 3k2)x2 6k2x 3k2 6 0 2 2 2 6k 2 3k 2 6 2 4k2 是x1x22 3k2 ,x1x2=23k2 ,y1y2k(x11)(x22) 23k2 代入解得， 23 k 2 2 ，此时 x1 x2。 2 k 是 y1 y2 k(x1 x2 2)= ， 即 因此， 当k 2时， P(23, 22)， l的方程为 2x y 2 0； 当k 2时， P(23, 22 ， l 的方程为 2x y 2 0 。 )当 l 垂直于 x轴时，由 OA OB (2,0)知， C上不存在点 P使 OP OA OB成立。 32 综上， C上存在点 P( ,)使 OP OA OB成

50、立，此时 l的方程为 2x y 2 0 22 22 x 例】已知椭圆 C1： y2 x2 1(a b 0)的右顶点为 A(1,0) ，过 C1的焦点且垂直长轴的弦长为 ab 1 I)求椭圆 C1 的方程； II)设点P在抛物线 C2：y x2 h(h R)上，C2在点P处的切线与 C1交于点 M,N当线段 AP的 中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值 b 1a2y2 a2y2 解：( I)由题意得b2,所求的椭圆方程为x2 1 2 b1b14 a a2 2 II )不妨设 M (x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2 h),则 抛物线 C2在点 P处的切线斜率为 y x

51、t 2t ，直线 2 MN 的方程为 y 2tx t 2 h ， 将 上 式 代 入 椭 圆 C1 的 方 程 中 ， 得 4x2 (2tx t2 h)2 4 0 ，即 40 1 16 t4 2(h 2)t 2 h2 4 0， 4 1t2 x2 4t 2(th) x2 ( t ，2 )h 因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点，所以有 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ，则 x3 x1 x2 t(t2 h) 2(1 t2 ) t1 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4，则 x4 t 1， 2 由题意得 x3 x4 ，即有 t2 (1 h)t 1 0 ，其中的 2 (1 h)2 4

52、0, h 1或 h 3； 当 h 3时有 h 2 0,4 h2 0 ，因此不等式 1 16 t4 2(h 2)t2 h2 4 0不成立； 因此 h 1，当 h 1时代入方程 t2 (1 h)t 1 0得 t1， 将 h 1,t 1 代入不等式 1 16 t4 2(h 2)t 2 h2 4 0成立，因此 h 的最小值为 1 22 例】设椭圆 E: x2 y2 1 ( a,b0)过 M (2， 2) ， N( 6 ,1)两点， O 为坐标原点， ab I)求椭圆 E 的方程； II )是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA OB ？ 若存在，写出该圆的方程，并求 |AB |的取值范围，若不存在说明理由。 考点：本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆 的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系。 ，N( 6 ,1)两点 , 42 2 2 1 所以 a b