圆的综合专题讲解

1、圆的综合专题 一只野狼卧在草上勤奋地磨牙， 狐狸看到了， 就对它说 : “天气这么好， 大家在休息娱乐， 你也加入到我们队伍中吧！ ”野狼没有说话，继续磨牙，把它的牙齿磨得又尖又利。狐狸奇 怪地问道 : “森林这么静，猎人和猎狗已经回家了，老虎也不在近处徘徊，又没有任何危险， 你何必那么用劲磨牙呢？ ”野狼停下来回答说 : “我磨牙并不是为了娱乐，你想想，如果有一 天我被猎人或老虎追逐，到那时，我想磨牙也来不及了。 ” 温馨提示 : 做事应该未雨绸缪，居安思危，这样在危险突然降临时，才不至于手忙脚乱。 “书到用时方恨少 ”，平时若不充实学问， 临时抱佛脚是来不及的。 机会只给那些有准备的人。

2、千万不要相信，临阵磨枪不快也光，那是自欺欺人。 一、圆 1圆的知识框架图 2. 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所 形成的图形叫做圆。 固定的端点 O叫做圆心， 线段 OA 叫做半径， 以点 O为圆心的圆，记作 O，读作“圆 3. 在半径为 R 的圆上， n0的圆心角所对的弧长 l 的的计算公式为 nR l 180 4. 点与圆的位置关系 ? 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 ? 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 ? 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 ? 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？

3、 5. 圆的有关性质 思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？ 经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？ 6. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。 7. 垂径定理 : 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ? 如图， P 为 O 的弦 BA 延长线上一点， PAAB 2，PO 5，求 O 的半径。 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、 半径、 弦长构成直角三角形，

4、 便将问题转化为直角三角形的问题。 8. （ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 （4）圆的两条平行弦所夹的弧相等 9. 圆的性质 ? 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 ? 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ? 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度 ，都能与原来的图形重合。 10. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 圆心角 : 顶点在圆心的角 . 11. 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一

5、半。 ? 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于 它所对的弧的度数的一半。 ? 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ ? 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ ? 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？ 12. 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 13. 思考： （ 1）、 “同圆或等圆 ”的条件能否去掉？ （2）、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对 应的其余各组量也相等。 14. 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是 90； 90的圆周角所

6、对的弦是直径。 180l 180l 15. 由弧长公式可推出： n ， R Rn 16. 如果扇形的半径为 R，圆心角为 n0 ，扇形的弧长为 l ，那么扇形面积的计算公式为： n R2 1 S lR（ 注意：要根据已知条件选择适当的公式来求扇形面积） 。 360 2 17. 如果弓形的面积是 S，弓形所在扇形的面积是 S1，圆心角是 n0，扇形的两条半径与 弓形的弦所成的三角形面积是 S2，则（ 1）当 n1800 时， S=S1；（等于半圆） （2）当 n 180 0时， S=S1+S2 （大于半圆） 18. 圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，斜边旋转 而成的

7、曲面叫做面锥的侧面无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的母线，另一 条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面如果记圆锥的高线长为h，地面半径为 r，母线 长为 l ，则 h2+r2=l2 . 19. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长l ，弧长是圆锥的底 面周长 C = 2 r ，侧面积 S 侧= rl 。 20. 圆锥的侧面积与底面积的和叫圆锥的全面积（或表面积）S 全= rlr2 例题精讲： 1. 钟表的轴心到分针针端的长为 5cm，那么经过 40 分钟，分针针端转过的弧长是 （ ） 10 20 25 50 （A） cm （B） cm （C） cm （D） cm 3333

8、2. 有一张矩形纸片 ABCD，其中 AD=4cm，上面有一个以 AD 为直径的半园，正好与对边 BC 相切，如图 （甲） 。将它沿 DE折叠，是 A点落在 BC上，如图 （乙） 。这时，半圆还露在外面的 部分 （阴影部分 ）的面积是（） （A）（2 3）cm2 （B） （1 3）cm2 2 (D) D 3. 将如右图所示的圆心角为 与 OB重合 ( 接缝粘贴部分忽略不计 90 22 3 ) cm 3 的扇形纸片 AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA O(第 3 题图)B ) ，则围成的圆锥形纸帽是 则该圆锥的底面半径与母线长的比为 (D)4 1 4. 已知圆锥侧面展开图圆心角为90，

9、(A)1 2 (B)2 1 (C)1 4 5. 如图，点 P 在圆 O外， OAPA于 A点， OP与圆周相交于 C点，点 B 与点 A关于直线 PO 对称，已知 OA 4，PA 4 3. 求 (1) POA的度数； (2) 弦 AB 的长； (3) 阴影部分的面积 . 6. 如图，梯形 ABCD中， AD BC， D=90，以 AB为直径的 O 与 CD相切于 E，与 BC相交于 F，若 AB=4，AD=1，则图中两 阴影部分面积之和为多少 ? 7. 如图, ABC内接于 O, ADBC于D, AE是 O的直径. 若AB= 6, AC=8, AE=10, 求AD 的长. A （1）相交：直线

10、与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时的直线叫做圆的割线；直 线 l 和O相交dr； 3. 判断直线与圆相切有哪些方法？ （ 1）利用切线的定义； （ 2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径； （3）利用切线的判定定理。 4. 圆的切线的性质定理： 经过切点的半径垂直于圆的切线； 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 例题精讲： 例 1、如图， AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点， AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D 。 求证： AC 平分 DAB 。 分析：从条件想， CD 是 O 的切线，可考虑连结 CO ，利用 切线的性质定理可知 OCCD ，由 ADCD ，易知 O

11、C AD。如果从结论看，要证 AC 平分 DAB ，须证 明 DAC = CAB，由于 CAB=ACO，所以只要证明 DAC= ACO 即可。 例 2、木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的 半径 .如图 ,用角尺的较短边紧靠 O于点 A,并使较长边与 O 相切于点 C,记角尺的直角顶点为 B,量得 AB=8cm,BC=16cm. 求 O 的半径。 分析：要求 O 的半径，可以考虑建立与圆的半径有关 的直角三角形， 因为 BC 是O 的切线，所以连结 OC ，这样四边形 ABCO 是直角梯形，过 A 点作 OC 的垂线，求得圆的半径。 例 3、如图 ,直线 AB与 O相切于点 C，AO与 O交于点

12、 D,连 CD。 1 求证：（ 1） ACD COD 。 2 （2）若 AC=4cm ，O的半径为 3cm，求AD ，CE 的长。 1 分析：要证明 ACD COD ，需要找到一个角等于 2 COD 的一半，或者是 ACD 的两倍。因为直线 AB 与 O 相切于点 C，所以 OC AB，因此考虑作 COD 的平分线。 例 4、（补充例题）已知如图， BC 是与圆相切于点 求证： DC 是O 的切线。 B 5. 重心定理： 三角形的三条中线交于一点， 这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。 该点叫做三角形的重心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 垂心定

13、理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 旁心定理： 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。 该点 叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 6.圆与圆的位置关系 两圆外切d=R+r ； 两圆内切d=R r 两圆相交R r d R+r；两圆内含d r ， OC 4r CD OC2 OD216r 2 r 2 15r 巩固拓展： O， 【问题一】如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 CG 切半圆于 E，交 AD 于 F，交 BA 的延长线于 G，GA 8。 （1）求 G 的余弦

14、值； 2）求 AE 的长。 D C 【问题二】如图，已知 ABC 中， AC BC ， CAB （定值）， O 的圆心 O 在 AB 上，并分别与 AC 、BC 相切于点 P、 Q。 （ 1）求 POQ； （2）设 D是 CA 延长线上的一个动点， DE 与 O相切于点 M，点 E在 CB 的延长线 上，试判断 DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。 10 当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功） 一、选择题： 1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ A 、经过半径外端点的直线是圆的切线； B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线； C、垂直于半径的直线是圆的切线； D、经过半径的外

15、端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3、正方形 ABCD 中， A、12 4、如图， 过O 外一点 PB 、PA 上分别取一点 （ ） ab C B AE 切以 E C C B A D A C F D P E O F E B 第 4 题图 C B C D A F A B O B O A ab BC 为直径的半圆于 ab 13 BC 与以 AD 为直径的 O 相切于点 E，AB 9，CD4 B P 作 O 的两条切线 PA 、PB D ab 交 CD 14 切点分别为 E、F，使 AD BE，BDAF，连结 CE A 、 ab 1800 P BA 第 6 题图 A、900P 1 D 、450

16、 P 2 APB 780 ，点 C是O上异于 A、B 的 BOC 第 3 题图 ab D、 2 于 F，则 CF FD（） D、25 A、B，连结 AB，在 AB、 DE 、DF 、EF，则 EDF 1 900 P 2 二、填空题： 5、已知 PA、PB 是 O的切线， A、B 是切点 任一点，则 ACB 6、如图， AB BC ，DC BC 则四边形 ABCD 的面积为 7、如图， O 为 RtABC 的内切圆，点 D、E、F为切点，若 AD 6， BD 4，则 ABC 的面积为 。 8、如图，已知 AB 是 O的直径， BC 是和 O相切于点 B的切线，过 O上 A 点的直线 AD OC，

17、若 OA2且 ADOC6，则 CD。 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 2、在 Rt ABC 中， A900，点 O 在 BC 上，以 E、F，若 ABa，ACb，则 O的半径为（ O 为圆心的 O 分别与 AB 、 AC 相切于 ） 11 9、如图，已知 O 的直径为 AB ，BDOB， CAB 300，请根据已知条件和所给图形写 出 4 个正确的结论 （除 OA OB BD 外）：； ； ； 。 10、若圆外切等腰梯形 ABCD 的面积为 20 ，AD 与 BC 之和为 10，则圆的半径为。 三、计算或证明题： 11、如图， AB 是半 O的直径，点 M 是半径 OA 的中点，点

18、P在线段 AM 上运动（不 与点 M 重合），点 Q在半O 上运动，且总保持 PQPO，过点 Q 作O 的切线交 BA 的延 长线于点 C。 （1）当 QPA 600时，请你对 QCP 的形状做出猜想，并给予证明； （2）当 QPAB 时， QCP 的形状是三角形； （ 3）则（ 1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P 在线段 AM 上运动到任何位置 时， QCP 一 定是三角形。 第 11 题图 12、如图，割线 ABC 与O 相交于 B、C两点， D 为 O上一点， E 为BC的中点， OE 交 BC于 F，DE交 AC 于 G， ADG AGD 。 （1）求证： AD 是O 的切线；

19、 （2）如果 AB2，AD4，EG2，求 O 的半径。 E A 第 12 题图 12 13、如图，在 ABC 中， ABC900，O是 AB 上一点，以 O 为圆心， OB 为半径的 圆与 AB 交于点 E，与 AC 切于点 D，AD2，AE1，求 S BCD 。 B 第 13 题图 14、如图， AB 是半圆（圆心为 O）的直径， OD 是半径， BM 切半圆于 B， OC 与弦 AD 平行且交 BM 于 C。 （ 1）求证： CD 是半圆的切线； （2）若 AB 长为 4，点D 在半圆上运动， 设 AD 长为 x，点 A 到直线 CD 的距离为 y， 试求出 y与 x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 M A O B 第 14 题图 13 15、如图， AB 是 O的直径，点 C在 O的半径 AO 上运动， PCAB 交O于E， PT切O于 T， PC 2.5。