圆中最值问题10种求法

1、圆中最值的十种求法 在圆中求最值是中考的常见题型， 也是中考中的热点、 难点问题， 有的学生对求最值 问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求 最值的方法，归纳如下： 一、利用对称求最值 1如图： O的半径为 2，点 A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是 OB上 一动点，求 PA+PC的最小值 . 分析：延长 AO交O于 D，连接 CD交O于 P，即此时 PA+PC最小，且 PA+PC的最 小值就等于弦 CD的长 . 解：延长 AO交 O于D，连接 CD交 OB于 P 连接 PA，过 O 作 OE CD，垂足为 E 在 OCD中，因为 AOC=

2、60 所以 D= C=30 在 Rt ODE中 cos30= 即 DE=2 cos30 = 所以 CD=2DE=2 即 PA+PC的最小值为 2. 二、利用垂线段最短求最值 2如图：在直角坐标系中，点 A的坐标为 （3, 2）， A的半径为 1，P为 x轴上一 动 点 ， PQ 切 A 于 点 Q ， 则 PQ 长 度 的 最 小 值 为 分析：连接 AQ、PA，可知 AQPQ. 在 RtPQA 中， PQ=，求 PQ 的最小值转化为求 PA的最小值，根据垂线段最短易求 PA 的最小值为 2. 解：连接 PA、 QA 因为 PQ切 A 于点 Q 所以 PQAQ 在 RtAPQ 中， PQ2=P

3、A2AQ2 即 PQ= 又因为 A（3, 2） ，根据垂线段最短。 所以 PA 的最小值为 2 所以 PQ 的最小值 = 三、利用两点之间线段最短求最值 3如图：圆锥的底面半径为 2，母线 PB 的长为 6，D 为 PB 的中点，一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为 （ ） AB2C 3D 3 分析：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从 A 爬行到点 D，不好求爬行的最小值，要把立体 图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题 . 解：圆锥的侧面展开图如图 2，连接 AB 根据题意得：弧 AC 的长为 2r=2 2=4， PA=6 因为 4 = 所以 n=1

4、20 即 APB=60 又因为 PA=PB 所以 PAB是等边三角形因为 D 为 PB中点 所以 AD PB PD=DB=3 在 RtPAD 中， AD=，故选 C. 四、利用直径是圆中最长的弦求最值 4如图：半径为 2.5 的 O中，直径 AB 的两侧有定点 C和动点 P，已知 BC：CA=4：3， 点 P 在劣弧 AB 上运动，过点 C 作 CP的垂线，与 PB的延长线交于点 Q， （1）求 P 的正切值； 2）当 CPAB时，求 CD和 CQ的长； CQ的长. 分析：易证明 ACB PCQ，所以，即 CQ=PC. 当 PC最大时， CQ最大，而 PC是O 的动弦，当 PC是 O的直径时最

5、大 . 五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值 5如图：已知 O的半径为 2，弦 BC的长为 2，点 A为弦 BC所对优弧上任意一点， (B、 分析 ：设 BC边上的高为 h 因为 SABC=BC h=2h=h 当 h最大时 SABC最大，当点 A在优弧的中点时 h 最大. 解：当点 A为优弧的中点时，作 AD BC于 D 连接 BO 即 BD=CD= 在 RtBDO中， OD2=OB2BD2=22()2=1 所以 OD=1 所以 AD=2+1=3 所以 SABC=BCAD=2 3=3 即 ABC面积的最大值为 3 六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值 6用 48 米长的篱笆材料，在空地上围成

6、一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正 方形的场地， 另一种是围成圆形场地， 试问选用哪一种方案， 围成的场地面积较大？并说明 理由. 分析 ：周长一定的几何图形，圆的面积最大. 解：围成圆形场地的面积较大 设 S1、 S2 分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积 则 S1=()2=144 S2= ()2= 因为 所以 =144 所以 S2 S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大 七、利用判别式求最值 7如图：在半径为 1的 O中， AB是弦， OMAB，垂足为 M，求 OM+AB的最大值 . 分析：可设 AM=x，把 OM 用 x的代数式表示出来，构造关于 x的一元二次方程，然 后利

7、用判别式来求最值 . 解：设 AM=x ，在 RtOAM 中 OM= 所以 OM+AB=+2x=a 整理得： 5x24ax+（a2 1）=0 因为 =（ 4a）2 4 5 （a21） 0 即 a2 5 所以 a 所以 OM+AB 的最大值为 八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值 8如图：海边立有两座灯塔 A、B，暗礁分布在经过 A、B 两点的弓形 （弓形的弧是 O 的一部分 ）区域内， AOB=80，为避免触礁，轮船P 与 A、 B 的张角 APB 的最大值 分析：连接 AC，易知 ACB=AOB=40，又因为 ACB P，所以 P的最大值为 解：如图：连接 AC，根据圆周角定理可知 A

8、CB=AOB=80=40 又因为 ACB P 即 APB 40 所以 APB 的最大值为 40 九、利用经过 O 内一定点 P的所有弦中，与 OP 垂直的弦最短来求最值 9如图： O的半径为 5cm，点 P为 O内一点，且 OP=3cm，则过点 P的弦 AB长度 的最小值为 cm. 分析：过 P作 ABOP，交O于A、B，则 AB的长最小 . 解：在 RtOAP 中，AP= 所以 AB=2AP=2 4=8 所以 AB 的最小值为 8 十、利用经过圆外一点与圆心的直线与 O 的两个交点与点 P的距离最大或最小求最值 10如图：点 P为 O外一点， PQ切 O于点 Q， O的半径为 3cm，切线 PQ的长为 4cm，则点 P与 O上各点的连线长度的最大值为，最小值为 . 分析：过 P、 O两点作直线交 O于 A、B，则 PA的长度最大， PB的长度