数列通项公式的十种求法

1、数列通项公式的十种求法 、公式法 ai 2，求数列an的通项公式。 例1已知数列an满足an 1 2an 3 2n， 解: an 1 2an 3 2n两边除以2n 1，得開 an3 an 1an3 歹 2，人2* 1 刁 2， 得鱼 2n 以|121为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列是 1(n 丐， 31 所以数列an的通项公式为an ( n -)2n。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an1 2an 2n转化为開 |讣是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 an 1)-，进而求出数列 2 -，说明数列 2 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a

2、n 1 an 2n 1转化为an 1 an 2n 1，进而求 an的通项公式。 二、累加法 求数列an的通项公式。 例2已知数列an满足an 1 an 2n 1， 解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1 an 2n 1 则 2( n 1) 1 2( n 2) 1 L (2 2 1)(2 1 1) 1 2(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 1 -(n 1)n (n 1) 1 2 - 2 (n 1)( n 1) 1 2 n an (an an 1)(an 1 an 2) L (a3 a2) (a2 a1 ) a1 出(an an 1) (an 1 an 2) L(a3 a?)

3、(a? aj a1，即得数列an的通项公式。 an 1 an an 1 _ n. an2 31 an (an an 1 )( a (2 3n 11) 2(3n 13n 2 23(1 3n1) n 1 (2 L an 2) 3n 2 1) 3231) (n (a3 (2 1) a?) 32 (a2 1) aj (2 31 a1 1) 3 所以 3n 3n an 3n (n 1. 1) 3 评注：本题解题的关键是把递推关系式 an an 1转化为 sJ丄 an 1 an 231 ， 进而求出 an(an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1 ) a1，即得数列an的通

4、项公式。 例4 已知数列an满足an 1 3an 3n 1，a1 3，求数列an的通项公式。 解：an n 3an 2 3 1两边除以3n 1 ，得 an 1 3n 1 an 2丄 3n3 3n 1， an 1 1 an2 3n3 _1 3 an 3n an 因此 则an (I 2(n (2 (an 1 an 1 1 3n 1 1 3n an 2 ) )(2 1 3n 1 (an 2 (尹 _L) 3n2) 3n On 3n 2(n 1) 3n 1) 2n 3 3n 3n an 3) 2 色)旦 (32 31)3 丄)3 32) 3 3n， 评注：本题解题的关键是把递推关系式 an 1 3 a

5、n 2 3n 1转化为an ； an2 1 3n 1 3n3 3n 1 进而求出（即an1）（an 1an 2 1n 2 ) / an 2 (n 2 an 3 n 3 ) a2 aia1 L(_2) 即得数列 鱼 n 333 3 3 3 333 3 的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。 三、累乘法 例5已知数列an满足a n 12(n 1)5n an,a1 3，求数列an的通项公式。 解：因为an 1 2(n 1)5n an, a 3，所以an 0 ,则 an 1 an 2(n 1)5n ，故 an an 1 1 a3 a2 an L a an 1 an 2 a2 a1 2( n 1 1

6、)511 2(n 2 1)5 2 L 2(2 1) 522(1 1) 51 3 2n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1 (n 2) L 21 3 n(n 1) 3 2n 1 5n! n(n 1) 所以数列an的通项公式为an 3 2n 1n!. 评注：本题解题的关键是把递推关系 an 1 2(n 1)5n an转化为 an 1 an 2（n1）5n，进而求 r an a“ 1a3 a 出 亠 4 L 32 a1，即得数列an的通项公式。 an 1 an 2a2 a1 例6（ 2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列 an满足 a1 1，an a1 2a? 3a3 L (n 1)a

7、n 1(n 2)，求a.的通项公式。 解：因为 ana-i 2a2 3a3 L (n 1)an n 2) 所以 an 1 a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1 nan 用式式得an 1 annan. 则 an 1 (n 1)an(n 2) n 1(n2) 所以an an an 1 an 1 l an 2 a3 a2 a2 n n(n 1) L 4 3a2a2. 2 由 an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1(n 2),取 n 2得a? a1 2a2,则 a2 a1 ,又知 a11，则a21，代入得an n! 2 所以，an的通项公式为an n! a. 1 评注：本题解题的关

8、键是把递推关系式 an 1(n 1)an(n 2)转化为 n 1(n 2)， an 进而求出 电 旦l 色a2，从而可得当n 2时，a.的表达式，最后再求出数列务的 an 1 an 2a2 通项公式。 四、待定系数法 例7已知数列an满足an 12an35n，a16，求数列an的通项公式。 解：设 an 1 x 5n 12(an x 5n) 将an 12an3 5n代入式，得2a“3 5n x5n1 2a“ 2x5n，等式两边消去 2an，得3 5n x 5n 1 2x 5n，两边除以5n，得3 5x 2x,则x1,代入式得 an 1 5n 1 2(an 5n) 由a1516 510及式得an

9、 5n 5“ 1 0,则an1 5n2，则数列an 5n是以 an 5 1n a151为首项，以2为公比的等比数列，则an 5 2n1，故 an 2n 1 5n 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 -n1只 /_n、 an 12an3 5 转化为a. 1525 )， 从而可知数列an 5n是等比数列，进而求出数列 an 5n的通项公式，最后再求出数列 an的通项公式。 1,求数列an的通项公式。 解：设an 1 x 2n1 y 3(an x 2n y) 将 an 1 3a n 5 2n 4代入式，得 3an 5 2n 1 4 x 2n1 y 3(an x 2n 整理得(5 2x) 2n 4

10、 y 3x 2n 3y。 人5 2x 3x x 5- 口 令 则 ，代入式得 4 y 3y y 2 例8已知数列an满足an 1 3an 5 2n 4, ai y) an 15 2n 123(an 5 2n 2) 由 a152121 12130 及式， 得 an52n20，则an15 2：- an 5 2n 2 故数列an 5 2n 2是以a1 5 21 2 因此 an 5 2n 2 13 3n 1，则 an 13 3， 1213为首项，以3为公比的等比数列, 11 5 2n 2 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 an 1 3an 5 2n 4转化为 an 1 5 2n 1 2 3(an

11、 5 2n 2)，从而可知数列佝5 2n 2是等比数列，进而求 出数列an 5 2n 2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。 2 例9已知数列an满足an 1 2an 3n 4n 5,印1，求数列务的通项公式。 解：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z) 2 将an 12 an 3n 4n 5代入式，得 2 2 2an 3n 4n 5 x(n 1) 2 y(n 1) z 2( an xn yn z)，则 2 2 2an (3 x)n (2x y 4)n (x y z 5) 2an 2xn2yn 2z 等式两边消去 2an，得(3 x)n 2 an 3n

12、 10n 18是等比数列，进而求出数列an 3n 10n 18的通项公式，最后再 求出数列an的通项公式。 五、对数变换法 n5 例10已知数列an满足an 1 2 3 an，印 7，求数列a.的通项公式。 解：因为an 1 2 3n a；, & 7，所以务 0,务1 0。在an 1 2 3n a；式两边取 常用对数得lg an 1 5lg an n lg3 Ig 2 (2x y 4)n (x y z 5) 2xn2 2yn 2z, 3 x 2xx 3 解方程组 2x y 4 2y ，则y 10，代入式，得 x y z 5 2z z 18 2 2 an 13(n1)10( n 1)182(an

13、3n 10n 18) 2 2 由 a13 110 1 18131320及式，得 an3n10n 180 2 则 4 13(n1)12(22，故数列an 3n210n18为以 an 3n2 10n 18 2 a13 110 1 1813132为首项，以2为公比的等比数列，因此 2n 1n 42 an 3n 10n 1832 2 ，则 an 2 3n 10n 18。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an1 2an 3n2 4n 5转化为 2 2 an 13(n 1)10(n 1) 182(a. 3n 10n 18)，从而可知数列 将式代入 (11式，得5lg an n Ig3 Ig 2 x(n

14、1) y 5(lg anxn y)，两边消去 5lg an并整理，得（Ig3 x)n x y Ig 2 5xn 5y，则 Ig3 x 5x ，故 x y Ig2 5y 4 Ig3 Ig2 164 代入式，得Ig an 1 Ig3 4 (n 1) Ig3 16 Ig2 4 5(Ig an 4164 ) 由 igai Ig3 1 4 Ig3 16 Ig2 4 Ig7 Ig3 4 Ig3 Ig2 16 0及式, 得 Ig an Ig3 76 Ig2 4 gan 则 - Ig3 16 Ig2 4 Igan也必 16 所以数列Ig an 里n 里弩是以Ig 7 里 里 巫为首项，以5为公比的等 4164

15、4164 比数列，则Igan里n空2 （Ig 7也空也）5“ 1，因此 n 41644164 Ig an(Ig 7 Ig3 Ig3 Ig2)5n1 Ig 3 n Ig3 Ig2 4 16 4 4 64 1 1 1 n 1 (Ig7 Ig 34 Ig36 Ig24)5r 11 Ig34 Ig 316 Ig 2 1 1 1 n11 Ig(7 34 316 24)5 n1 Ig(3 4 316 24 ) 1 1 1 n 1 1 Ig(7 34 316 24)5n 1 Ig(34 316 24) 5n1 n5n 1 15n 1 1 Ig(75 n1 3 4 3 16 5 2 4 n 1“ ) 5n 4

16、n 15n 1 1 Ig(75n 1 3 2丁) 5n 4n 15n 1 1 则 an75n13 162丁 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an 12 3n a；转化为 lg an 1 lg an 里(n 4 lg3 n 4 1) lg3 76 lg3 lg 2 5(lg an n 里 )，从而可知数列 4164 lg3lg3 lg2 进而求出数列lg ann的通项 4164 164 晋是等比数列, 公式，最后再求出数列 an的通项公式。 六、迭代法 例11已知数列an满足an 1 an 3(n 1)2 a15，求数列an的通项公式。 解：因为 an 1a；(n 1)2，所以

17、anaj； 畀：1)2 3n2 1) n 2(n 2)(n 1) 32(n an 2 a翟 33(n an 3 L 3n 1 2 3L L (n 2) (n 1)n 21 2 L L (n 3) (n 2) (n ai 2) 2 2)(n 332(n 1) n 2(n 2) (n 1 1) n 2(n 3) (n 2) (n 1) n(n 1) 3n 1 n! 2 2 ai 又a15，所以数列an的通项公式为an n( 53- n 1) 。 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式an1 an(n1)2n 两边取常用对数得lg an 1 3(n 1) 2n lga

18、n，即 lg an 1 lg an 3(n 1)2n，再由累乘法可推知 lgan 譽 lg an 1 lg an 1 L lg an 2 lg a3 lg a2 lg a 3n 1 n! 2 lg5 n(n 1) 2 ，从而an 5宀呼。 七、数学归纳法 例12已知数列 an满足 an 1 an 8(n (2n 1) 2 2 ? 1) (2 n 3) a1 8 ，求数列an的通项公式。 8(n1) 解：由 an 1 an22 (2n 1)2(2 n 3)2 及a1 8，得 a2 a1 8(1 1) 8 8 2 24 (2 1 1)2(2 1 3)2 9 9 25 25 as a2 8(2 1)

19、 24 8 3 48 (2 2 2 1) (2 2 3)2 25 25 49 49 a4 aa 8(3 1) 48 8 4 80 (2 3 2 1) (2 3 3)2 49 49 81 81 往下用数学归纳法证明这个结论。 2 (2n 1)21 2 (2n 1) 由此可猜测an (1 )当n 1时，印 (2 1 1)2 1 2 (2 1 1) 8 ，所以等式成立。 9 (2)假设当n k时等式成立，即ak (2k 1)21 (2k 1)2 ，则当n k 1时, ak 1ak 8(k 1) (2 k 1)2(2k 3)2 (2 k 1)2 18(k 1) 2 2 2 (2k 1)2(2k 1)2

20、(2k 3)2 (2 k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1) (2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 3)2 (2k 3)2 8(k 1) (2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2 (2k 1)2(2k 3)2 (2 k 3)2 1 (2 k 3)2 2( k 1) 12 1 2( k 1) 12 由此可知，当n k 1时等式也成立。 根据(1)，( 2)可知，等式对任何 n N*都成立。 n项，进而猜出数列的通项 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 例13已知数列an满足a

21、n 1 1 (1 4an 、1 24an)，a 1，求数列务的通项公式。 彳a 1 bn 1 - 2 解：令 bn I1 24an，则 an(b； 1) 故an 1 刃昭， 代入an 1 1 (1 4an 16 、124an )得 丄(b?1 1) 1 1 2 1 4 (b； 1) bn 24 16 24 即 4b： 1 (bn 3)2 因为0 1 0，故 bn 1 124an 1 0 则 2bn 1 bn 3，即 bn 1 1 可化为 bnl 3 -(bn 3), 所以bn 3是以b 324ai 3、厂24一1 3 2为首项，以为公比的等比数 列，因此 bn 3 2(|)n 1 ()n 2，

22、则 bn (1)n 2 3，即 1 24ang)n 2 3，得 an 2(4)n( 评注：本题解题的关键是通过将.1 24an的换元为bn ,使得所给递推关系式转化 13 bn 1 -bn ?形式，从而可知数列bn 3为等比数列，进而求出数列bn 3的通项公式, 最后再求出数列an的通项公式。 九、不动点法 例14已知数列an满足an 1 21a 24 n，a1 4，求数列an的通项公式。 4an 1 21x 242r 21x 24 , 解:令 x，得 4x 20 x 24 0,则 x1 2，x2 3 是函数 f (x)的 4x 14x 1 两个不动点。因为 an 1 2 21an 24 2

23、21an 24 2(4an 1) 13an 26 13 an 2 4a n 1 an 1 3 21an 24 3 21an 24 3(4an 1) 9 an 27 9 an 3 4a n 1 所以数列 an 2 3 213 2为首项，以13为公比的等比数列，故 9 an an 2(日 1， 9 3。 an 评注: 本题解题的关键是先求出函数 f(x) 21X 24 2的不动点，即方程x 4x 1 21x 24的两 4x 1 个根X-I 2, x2 3，进而可推出 an 12 an 13 13 an -，从而可知数列an 3 9 an an 2 2为等比数 3 列，再求出数列 an2 an 的通项公式，最后求出数列 3 an的通项公式。 例15已知数列 an满足 an 1 7% 2 2an 3 求数列an的通项公式。 解：令x 君，得2x2 3x 1