相似三角形培优训练含答案

1、相似三角形培优训练(含答案) 相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1如图，在 RtAABC中，/ ACB=90, AC=3, BC=4,过点 B作射线 BB1/ AC.动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点 D作DH丄AB于H,过点E作 EF丄AC交射线BB1于F, G是EF中点，连接 DG.设点D运动的时间为t秒. (1) 当t为何值时，AD=AB,并求出此时 DE的长度； (2) 当 DEG与厶ACB相似时，求t的值. 2如图，在 ABC中，/ ABC= 90 AB=6m, BC=8m,动点P以

2、2m/s的速度从 A点出发，沿 AC向点C 移动.同时，动点 Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时，它们 都停止移动设移动的时间为t秒. (1) 当t=2.5s时，求 CPQ的面积； 求厶CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数解析式； (2) 在P, Q移动的过程中，当 CPQ为等腰三角形时，求出t的值. 3 / 25 3如图1,在 RtA ABC中，三ACB= 90 AC= 6, BC= 8，点D在边 AB上运动，DE平分三CDB交边BC 于点E, EM丄BD,垂足为 M , EN丄CD,垂足为 N. (1) 当 AD= CD时，求证：DE /

3、AC; (2) 探究：AD为何值时， BME与厶CNE相似？ 4如图所示，在 ABC中，BA= BC= 20cm , AC= 30cm，点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点 Q从C点出发，沿 CA以每秒3cm的 速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动.设运动的时间为x. (1)当x为何值时，PQ/ BC? (2) APQ与厶CQB能否相似？若能，求出 AP的长；若不能说明理由. 5如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm, BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点 Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果 P、Q同时

4、出发，用t (s)表示移动的时间(0 v t v 6) o (1) 当t为何值时， QAP为等腰直角三角形？ (2) 当t为何值时，以点 Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似？ 二、构造相似辅助线一一双垂直模型 6. 在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为(2, 1),正比例函数y=kx的图象与线 段OA的夹角是45求这个正比例函数的表达式. 7. 在厶ABC中，AB=，AC=4, BC=2,以AB为边在C点的异侧作 ABD,使厶ABD为等腰直角三角形, 求线段CD的长. 8. 在 ABC中，AC=BC / ACB=90,点 M是AC上的一点，点 N是BC上的一点，沿 着直线MN折叠，使得

5、点 C恰好落在边 AB上的P点.求证：MC: NC=AP: PB. 相似三角形培优训练（含答案） 9. 如图，在直角坐标系中，矩形 ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点 B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线 AC翻折B点落在D点的位置，且 AD交 y轴于点E.那么D点的坐标为（） (4 (1 (1 13 (3 A. B. C. D. 1 丁门 Q L 2 1亍$丿 10. 已知，如图，直线 y=-2x+ 2与坐标轴交于 A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD, 使得矩形的两边之比为 1 : 2。求C、D两点的坐标。 求证： AC DF 三、构造相似辅助线一一A、X字型 1

6、1.如图： ABC中，D是AB上一点，AD=AC, BC边上的中线 AE交CD于F。 12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且 AC平分/ DAB。 十、工购 BC2 求证：_ DE CD2 13.在梯形ABCD中，AB/ CD, AB= b, CD= a, E为AD边上的任意一点, EF交BC于点F, DE 1 (1)当-时, 当 上时, 某同学在研究这一问题时，发现如下事实： a + hDEa + 2b EF；当一时，EF= _;； a + 3bDE t EF=.当时，参照上述研究结论，请你猜想用 表示EF的一般结论，并给出证明. # / 25 相似三角形培优训练(含答案)

7、14. 已知：如图，在 ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且 BE= EF= FG 求 BN： NQ: QM. 15. 证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的.（注：重心是三角形 三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边 对应成比例. 7 / 25 17已知：如图，梯形 分别交AD BC于E、 四、相似类定值问题 16. 如图，在等边 ABC中，M、N分别是边AB, AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分 113 别交AC AB于点E、F.求证：- CE EF AB ABCD中，AB/

8、DC，对角线 AC、BD 交于 0,过 O 作 EF/AB 亠 11. F。求证：_ ABC 19已知，在 ABC中作内接菱形 CDEF设菱形的边长为 a.求证: 18.如图，在厶ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在 上。 求证： 1 1 _ 1 * CD 商 圈1 立， 理由 仅以 例进 或说 屋2 五、相似之共线线段的比例问题 20. (1)如图1,点产在平行四边形 ABCD的对角线BD上，一直线过点 P分别交BA, BC的延长线于点 Q, S,交于点.求证：-: (2)如图2，图3,当点F在平行四边形 ABCD的对角线汇或二三的延长线上时，1飞 鳥是否 成立？

9、若成立，试给出证明；若不成 试说明 (要求 图2为 行证明 明)； 21.已知：如图， ABC中，AB = AC, AD是中线，P是AD上一点，过 2 BP 交 AC于 E,交 CF于 F.求证：BP = PE- PF . .如图，已知 ABC中，AD，BF分别为BC, AC边上的高，过 D作AB的垂线交 AB于E，交BF于G， 交AC延长线于H。求证：DE=EG?EH 23. 已知如图，P为平行四边形 ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC CD的延长线、AB的 延长线分别相交于点 E、F、G、H. PE PH 求证： PF PG 24. 已知，如图，锐角 ABC中，AD丄BC于

10、D, H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P， 且/ BPC为直角. 求证：PD= AD- DH。 相似三角形培优训练(含答案) ED的延长线交CA ED的延长线与 CB的延长 六、相似之等积式类型综合 25. 已知如图，CD是RtA ABC斜边AB上的高，E为BC的中点, 于F。 求证：: 26如图，在RtA ABC中，CD是斜边AB上的高，点 M在CD上, DH丄BM且 与AC的延长线交于点 E.求证：(AEA CBM;( 2) 27. 如图， ABC是直角三角形，/ ACB=90, CD丄AB于D, E是AC的中点, 线交于点F. (1) 求证：匸二二. (2) 若G是BC的

11、中点，连接 GD, GD与EF垂直吗？并说明理由. 28. 如图，四边形ABCD DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点 M , CG与AD相交于点N .求 证： 29. 如图，BD CE分别是 ABC的两边上的高，过 D作 DG丄BC于G,分别交CE及BA的延长线于 2 七、相似基本模型应用 30. ABC和厶DEF是两个等腰直角三角形，/ A=Z D=90 DEF的顶点E位于 边BC的中点上. (1) 如图1 ,设DE与AB交于点 M , EF与AC交于点N,求证： BEMsCNE; (2) 如图2，将 DEF绕点E旋转，使得 DE与BA的延长线交于点 M , EF与AC

12、交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形 并证明你的结论. F、H。求证：(1) DG= BG- CG (2) BG- CG= GF- GH 31. 如图，四边形 ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点 R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、 Q. (1) 请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)； (2) 求 BP: PQ: QR. 11 / 25 32.如图，在 ABC中，AD丄BC于D, DE丄AB于E, DF丄AC于F。求证: AE AF AC 答案：1答案：解：(1) / Z ACB=90 , AC=3, BC=4 / AB=5 又 AD=A

13、B, AD=5t t=1，此时 CE=3 DE=3+3-5=1 (2) /7 f /) :D 2 3 如图当点 D在点E左侧，即：0 W t W 时，DE=3t+3-5t=3-2t . 2 若厶DEG与厶ACB相似，有两种情况： DE _ EG 即：-,求得: 34 3 t= DE EG 77， DE3A BCA,此时 如图，当点D在点E右侧，即: 1 ：； 3 t _ 时，DE=5t-(3t+3)=2t-3. 若厶DEG与厶ACB相似，有两种情况： DE EG DE3A ACB,此时. 相似三角形培优训练（含答案） 2-329 即：一，求得：匸一； 3 44 -DEEG 日n戲一?2十/曰

14、17 即：，求得：t= . 4 36 3 1917 综上，t的值为或或或 . 4 646 3答案：解：(1)证明：/ AD=CD / A=Z ACD DE平分一 CDB交边BC于点E / CDE=Z BDE / CDB CDB的一个外角 / CDB=Z A+Z ACD=2/ ACD / Z CDB=Z CDE+Z BDE=2Z CDE Z ACD=Z CDE DE/ AC (2) Z NCE=Z MBE / EM 丄 BD, EN丄 CD, BMEscne,如图 A D M B / Z NCE=Z MBE BD=CD 又/ Z NCE+Z ACD=Z MBE+Z A=90 Z ACD=Z A

15、AD=CD 1 AD=BD= AB 2 在 RtA ABC中，二 ACB= 90； AC= 6, BC= 8 AB=10 AD=5 Z NCE=/ MEB / EM 丄 BD, EN丄 CD, BMEs enc,如图 / Z NCE=Z MEB EM / CD CD 丄 AB 在 RtA ABC中，二 ACB= 90 , AC= 6, BC= 8 AB=10 / A=Z A, / ADC=/ ACB ACM ABC AD _ AC -厶 孑厂 AC26318 AB W 5 18 综上：AD=5或一时， BME与厶CNE相似. 5 4答案：解(1)由题意：AP=4x, CQ=3x AQ=30-3

16、x, AP _ AQ4皐_和一弘 当 PQ/ BC时，-1-，即：二 - 10 X 解得： 40 （2）能,AP=cm 或 AP=20cm 丿尸AQ 鯨 30-3a APQsACBQ 贝U ： 二，即一、 二 解得：或（舍） 此时：AP=- cm AP AQ 4 不 30-3a APQsACQB,贝U J，即- 10 解得：（符合题意） 40 此时：AP= - cm 40 故AP= ： cm或20cm时， APQ与厶CQB能相似. 5答案：解：设运动时间为 t，贝U DQ=t, AQ=6-t, AP=2t, BP=12-2t. （1）若厶QAP为等腰直角三角形，则 AQ=AP,即：6-t=2t

17、 , t=2 （符合题意） t=2时， QAP为等腰直角三角形. (2) / B=Z QAP=90 亿 AP 6-i 当厶QAQA ABC时， L ：，即： 12 飞 6 i = 一 解得：（符合题意） ; AP AQ 21 6-t 当厶PAQ ABC时， AB -?，即： H = 6 解得：（符合题意） 当 -或 时，以点Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似. 6答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限 31 / 25 过点A作AB丄0A,交待求直线于点 B,过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BD丄AC 则由上可知：=90 由双垂直模型知： OCQ ADB 0C

18、_ AC _ 0A .亠丄二 / A （2, 1）,山OB = 45 0C= 2, AC= 1, A0= AB AD= 0C= 2, BD= AC= 1 D点坐标为（2, 3） B点坐标为（1, 3） 此时正比例函数表达式为：y = 3x 过点A作AB丄0A,交待求直线于点 B,过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BD丄AC 则由上可知：=90 由双垂直模型知： 0CW ADB PC _ AC _ 0A 亠 / A （2, 1） , = 45 0C= 1, AC= 2, A0= AB AD= 0C= 1 , BD= AC= 2 D点坐标为（3, 1） B点坐标为（3,- 1） 1 此

19、时正比例函数表达式为：y = - x 11 严 7答案：解：情形一:翅国如当上= 时: 连援CDr过点D作AC边上的高线DEr交CA的延| 线于点E* T AB=li AC=t BC=2 二 AC+BCAB- 又丁 DE ICE f 冲购为等靈直角三角形宅 二 AD=.4B ti ED.i_E：iD= 907 .加（?-丄9=90- - S3 空乂B* :.AE=BC=2 DHd 二 在珂厶DEC中匚。=JB Y：己Ji3 情形二: !Hi a 4-it 连接CD.遗点Q作号(?边上的高线QP交U3対 延怅线于I 过点卫临宜裟PD边上的髙芸AO, 交円？于点6 丁 AB=24i* MO4* 3

20、02 /. AC2+BC2-ABF ZCff-90D 屮 又丁 DE-CEt心妙为蒔星直角三甬形- :、AD=BD ZR p= 9(T ， + 商+丄3 90: 二QDAyEDPTQ /.an=_HDP QAD :、AQ=DP DQ=BP- 8答案：证明：方法 连接PC,过点P作PD丄AC于D,贝U PD/BC 根据折叠可知MN丄CP / / 2+ / PCN=90 , / PCN+Z CNM=90 / 2= / CNM / / CDP=Z NCM=90 PD3 MCN MC: CN=PD DC / PD=DA MC: CN=DA DC / PD/BC DA: DC=PA PB MC: CN=

21、PA PB 方法二：如图, 过M作MD丄AB于D,过N作NE丄AB于E 根据等比性质可知 PD _ PM 旋_而 MD 由双垂直模型，可以推知 PMDs NPE, U - PR 二空，而 MD=DA, NE=EB PM=CM, PN=CN, MC: CN=PA PB 丹十测 PIT 9答案：A 由于折叠，可以得到 ABGA ADC, 又由B（ 1，3） M，交x轴于点N, 贝U / M= / DNA=90 , / CDA=/ B=90 BC=DC=1 AB=AD=MN=3 / 1+Z 2=90 / / DNA=90 / 3+/ 2=90 / 仁/ 3 DMCs AND, CM DM CD 1

22、Z.V 丄二: 设 CM=x,则 DN=3x, AN=1 + x, DM =? * 3x+= 3 - 4 x= x轴于F,交GC的延长线于E。 过点C作x轴的平行线交y轴于G,过点D作y轴的平行线交 /直线y= - 2x+ 2与坐标轴交于 A、B两点 A (1,0), B (0,2) OA=1, OB=2, AB=.A / AB: BC=1:2 BC=AD= / / ABO+/ CBG=90 , / ABO+/ BAO=90 / CBG=/ BAO 又/ / CGB=/ BOA=90 OABs GBC QA GS 1 二匚二 L GB=2, GC=4 GO=4 二 C (4,4) 同理可得 A

23、DFs BAO,得 OA DF 1 - DF=2, AF=4. 0F=5. D (5,2) OB AF 2 11.答案：证明：(方法一)如图 延长AE到M使得EM=AE，连接CM / BE=CE / AEB=Z MEC BEA CEM CM=AB, / 仁/ B AB / CM / M= / MAD, / MCF=Z ADF MCFs ADF CF CM 一 / CM=AB, AD=AC OF CM _AB DF ADAC (方法二) ”E 过D作DG/ BC交AE于G 则厶 ABEA ADG, CEFS DGF AB _ BE CF _ CE / AD=AC, BE=CE CF BE AB

24、12.答案: 证明: AB 过点D作DF/ AB交AC的延长线于点 F,则/ 2=Z 3 / AC 平分 / DAB / 1 = / 2 / 1 = / 3 AD=DF / DEF=Z BEA / 2=Z 3 BEA DEF BE _A8 丄三 F / AD=DF BE _ AB 二 亠 / AC为AB、AD的比例中项 丄一 AD _ AC 即 又/ /仁/2 ACM ABC AD _ AC _ CD .丄-K BC2 _AS-AC_ AB .37-_ 7? BCf2 _ BE 37-三 13.答案：解：=- 严厂? 证明: A 4-1 D 0 过点E作PQ/ BC分别交BA延长线和DC于点P

25、和点Q / AB / CD, PQ/ BC 四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形 PB= EF= CQ, DQ_DE_ IF 又 AB= b, CD= a AP= PB-AB= EF-b, DQ= DC-QC= a-EF EF = i-rl 14.答案：解: 连接MF M是AC的中点，EF= FC 1 MF / AE 且 MF =BEINA BFM. BN: BM = BE: BF= NE: MFv BE= EF. BN: BM= NE: MF 2 =1:2 BN: NM = 1:1 设 NE= x,贝MF = 2x, AE= 4x. AN= 3x： MF / AEa NAQs MFQ

26、NQ： QM =AN : MF= 3:2 / BN: NM = 1:1 , NQ: QM = 3:2. BN: NQ: QM = 5:3:2 15答案：证明：（1）遢1 如图1, AD、BEABC的中线，且 AD BE交于点 O 过点C作CF/ BE,交AD的延长线于点 F CF/ BE且E为AC中点 / AEO= / ACF, / OBD= / FCD, AC= 2AE / / EAO= / CAF AEOs ACF SO _AE .了 1 / D 为 BC的中点，/ ODB= / FDC BODA CFD BO= CF EQ A .二 L BQ _2 口 1 同理，可证另外两条中线 2 三

27、角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 如图2, AD为厶ABC的角平分线 过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E 则 / BAD=Z E ADABC的角平分线 / BAD=Z CAD / E=Z CAD AC= CE / CE/ AB BA CED AB _ BD .二二 AB _ BD 匚二二 B p O C 16. 答案：证明：1 如图，作 DP/ AB, DQ/ AC 则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且 DPQ是等边三角形 BP+CQ= MN , DP= DQ= PQ / M、N分别是边AB, AC的中点 MN =二 BC= PQ / DP/ AB, DQ /

28、AC CDP CFB BDQ BEC DP _ CP DQ_ BQ .二 A , :.S 二 DP DQ_CP BQ _BC-PQ _3 .汀- 丄 DP= DQ= PQ=BC= _ AB 1113 _+ 二 AB ( _ _-)=- 11 _ 3 17. 答案：证明：/ EF/AB, AB/DC EF/DC AOE ACD, DOEA DBA EQ CD AE ad EQ AB DE AD FQ EQ AE DE += + I CD AB AD AD 1 1 +二 1 AB CD RO 18. 答案：证明：/ EF/ CD, EH/ AB .4FE二乙ADC , CEH=ZA 二厶4= AB

29、C A ? AFEA ADC, CEHA CAB AE _ EF GE _ EH 匚二二 , / EF= EH EH _EF_GE AE 1 1 1 += 匚匚二二7 19. 答案：证明：/ EF/ AC, DE/ BC . _1 ? BFEA BCA, AEDA ABC BE _ EF DE _AE .匸丄二，二 站 EF 严 BE 严 _ Aff + BE _ / EF= DE= a 1 1 _ 1 .AClCa 20. 答案：（1）证明：在平行四边形 ABCD中，AD/ BC, / DRP=Z S, / RDB=/ DBS DRP BSP PR DP 二 .FE BP 同理由AB/ CD

30、可证 PTAPQB PT _ DP .PQP PR PT 态二瓦 PQ PR = PS PT (2)证明：成立，理由如下:在平行四边形 ABCD中，AD/ BC, / PRD=Z S, / RDP=/ DBS DRP BSP PR _ DP 同理由AB/ CD可证 PTAPQB PT_DP PR_PT_ 21. 答案：证明： / AB= AC, AD 是中线, AD丄 BC,BP=CP / 1 = / 2 又/ / ABC=/ ACB / 3= / 4 / CF/ AB / 3= / F/ 4=/ F 又/ / EPC玄 CPF EP3A CPF bP=PE PF即证所求 22. 答案：证明：

31、/ DE丄AB =90 .二三辽+二上=go 二三 二V三二=匚二三 ADEs DBE AB _ DE 匸匸二 DE2= AE-BE / BF丄 AC =90 .= go 且BGE=ZHGF .ABED=/1DEA BE3A HEA BE _ EG 三二亠匸 V三=三口 二工. dE2=EGEH B 23. 答案：证明: 四边形ABCD为平行四边形 AB/ CD, AD/ BC / 1 = / 2, / G=Z H, / 5=/ 6 PAIHA PCG PH PA ra =2 又 / 3=/ 4 APEA CPF PE PA .讣=讥 .厂卩 rc 24.答案：证明：如图，连接 BH交AC于点

32、E, PE PH T H为垂心 BEX AC / EBC+Z BCA=90 / AD丄 BC于 D / DAC+/ BCA=90 / EBC=Z DAC 又 / BDH=/ ADC=90 BDHs ADC BD 丄丄丄丄-，即 二一 一心一亠八丄二/ / BPC为直角，ADX BC. PD2= BDDC PD2= ADDH 25. 答案：证明：/ CD是RtA ABC斜边AB上的高，E为BC的中点 ce=eb=de / B=Z BDE=/ FDA / / B+Z CAB=90 , / ACD+Z CAB=90 Z B=Z ACD Z FDA=Z ACD / Z F=Z F FDAs FCD F

33、D _AD 工-二 / Z ADC=Z CDB=90 , Z B=Z ACD ACM CBD AD _ AC 二-二 FD _ AC 二-A 即占匚：F=：C D7 26. 答案：证明：（1） / Z ACB= Z ADC= 90 Z A+ Z ACD= 90 Z BCM+ Z ACD= 90 Z A= Z BCM 同理可得： Z MDH = Z MBD / Z CMB= Z CDB+ Z MBD = 90 Z MBD Z ADE= Z ADC+ Z MDH = 90 + Z MDH Z ADE= Z CMB AEA CBM AE AD （2）由上问可知：CM ,即 AS CM二 AD CE 故只需证明-二一 二 二即可 / Z