向量组的线性相关性线性代数习题集

1、线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 专业 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 1 n 维向量 D 选择题 1 设1 (1,1,0)T , 2 (0,1,1) T , 3 (3,4,0)T 12 (1,0, 1)T 31 (0,1,2)T 2 设 3( 1 ) 2( 2 ) 5( 3 ) ，其中 (2,5,1,3)T， (10,1,5,10)T 3 (4,1, 1,1)T ，则 (1,2,3,4)T 已知 1 (1,1,2,1)T , 2 (1,0,0,2)T , 3 ( 1, 4, 8,k)T 线性相关，则 k A) 对于任何一组不全为零的数组都有 k1

2、 1 k2 2ks s 0 B) 1, 2 , , s 中任何 j ( j s) 个向量线性相关 C) 设 A ( 1, 2, , s) ，非齐次线性方程组 AX B有唯一解 D) 设 A ( 1, 2, , s) ，A的行秩 s. 若向量组 , , 线性无关，向量组 , , 线性相关，则 A) 必可由 , , 线性表示 ( B) 必不可由 , , 线性表示 C) 必可由 , 线性表示 ( D) 比不可由 , , 线性表示 填空题： 2 1, 2, , s ( 1 0) 线性相关的充分必要条件是 4 设 向 量 组 1 (a,0,c), 2 (b,c,0), 3 (0,a,b) 线 性 无 关

3、 ， 则 a,b,c 满 足 关 系 式 abc 0 三计算题： 1 设向量 1 1,1,1T ， 2 (1, 1,1)T ， 3 (1,1, 1)T ，(1, , 2)T ，试问当 为 何值时 （1） 可由 1 , 2, 3 线性表示，且表示式是唯一？ （2） 可由 1 , 2, 3 线性表示，且表示式不唯一？ （3） 不能由 1, 2 , 3 线性表示？ 解 因为 1 1 10 1 1 1 2 ( 1, 2, 3, )1 1 1 r1 r3 1 1 1 1 1 12 1 1 1 0 11 1 2 r L 0 2 00 ( 3) (1 2 2) 11 1 2 0 2 00 ( 3) (1 2

4、 2) (1) 0且 3时,R( 1, 2, 3, ) R( 1, 2 , 3) 3, 可由 1, 2, 3线性表示 , 且表达式唯一 ; (2) 0时,R( 1, 2, 3, ) R( 1, 2, 3) 1 3, 可由 1, 2, 3线性表示 ,但表达式不唯一 (3)当 3时,R( 1, 2, 3, ) 3 R( 1, 2, 3) 2, 不能由 1, 2, 3线性表示 . 线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第三节 向量 组的秩 一选择题： 1已知向量组 1, 2, 3, 4 线性无关， 则下列向量组中线性无关的是 C ( A ) 1 2 , 2 3, 3

5、4 , 4 1 (B) 12 , 2 3, 3 4 , 4 1 （ C） 1 2 , 2 3, 3 4, 4 1 (D) 1 2 , 2 3, 3 4 , 4 1 2设向量 可由向量组 1, 2 , , m 线性表示， 但不能由向量组（ ) ： 1, 2 , , m 1 线性表 示，记向量组 () ： 1, 2 , m1 ，则 B A） m 不能由（）线性表示，也不能由（）线性表示 B）m 不能由（）线性表示，但可由（）线性表示 C）m 可由（）线性表示，也可由（）线性表示 D）m 可由（）线性表示，但不可由（）线性表示 3设 n 维向量组 1, 2, , s 的秩为 3，则 C (A) 1,

6、 2 , , s 中任意 3 个向量线性无关 （B） 1, 2, , s 中无零向量 (C) 1, 2 , , s中任意 4 个向量线性相关 （D） 1, 2, , s 中任意两个向量线性无关 4设 n 维向量组 1, 2, , s 的秩为 r ，则 C A ）若 r s，则任何 n 维向量都可用 1, 2, , s 线性表示 B ）若 s n ，则任何 n 维向量都可用 1, 2 , , s 线性表示 C）若 r n ，则任何 n维向量都可用 1, 2 , , s 线性表示 （D）若 s n ，则 r n 填空题： 1已知向量组 1 (1,2, 1,1), 2 (2,0, t,0) , 3

7、(0, 4,5, 2)的秩为 2，则 t =3 2已知向量组 1 (1,2,3,4)， 2 (2,3,4,5)， 3 (3,4,5,6) ， 4 (4,5,6,7) ，则该向量组 的秩为2 2向量组 1 (a,3,1)T， 2 (2,b,3)T， 3 (1,2,1)T ， 4 (2,3,1)T的秩为 2， 则 a =2b =5 三计算题： 1设 1 (3,1,1,5)T ， 2 (2,1,1,4)T ， 3 (1,2,1,3)T ， 4 (5,2,2,9)T ， (2,6,2,d)T 1)试求 1, 2, 3 , 4 的极大无关组 2)d 为何值时， 可由 4的极大无关组线性表示， 并写出表达

8、式 解：(1) ( 23 4) r1 r3 r2 r3 r5 3r1 5r1 r4 r3 r3 ( 1) r2 r3 因为 R( 故 3) 3,则 23 3线性无关， 4的一个极大无关组 1 (2) 1 只有d 6时 R( 可由 所以 =2 r1 r2 r3 10 r3 r4 r2 r3 d6 3, ) 4的极大无关组 23 12 3表示 . 3 已知 3 阶矩阵 A，3维向量 x 满足 A3x 3Ax A2 x ，且向量组 x, Ax, A 2 x线性无关。 2 (1) 记P (x,Ax,A2x),求 3阶矩阵 B,使 AP PB; (2)求 |A| 00 2 2 2 解：Q Ax (x,A

9、x,A2x) 1 ,A2x (x,Ax,A2x) 0 01 0 3 2 2 且 A3x 3Ax A2x (x,Ax, A2x) 3 1 2 (x,Ax,A x)B 0 0 0 2 2 3 2 AP A( x, Ax, A2x) (Ax,A2x,A3x) (x,Ax,A2x) 1 0 3 0 1 1 又因向量组 x, Ax, A2 x线性无关 ,故P (x, Ax, A2x)可逆. 线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 专业 姓名 学号 第五节 向 量 空 间 综合练 0 0 0 0 0 0 得B P 1P 1 0 3 1 0 3. 0 1 1 0 1 1 (2) A PBP 1 ,| A

10、| | 1 PBP 1 | |P|B 1 |P 1 | |B| 0 选择题： 1设向量组 12 3 线性无关，则下列向量组中， 线性无关的是 B, C 22 B ) 1 2, 23, C) 1 2 2 ,2 2 3 3 ,3 3 1 D ) 1 2 3 ,2 1 3 2 22 3,3 53 2设矩阵 A m n 的秩 R(A) m n ， Em为 m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 A)A 的任意 m 个列向量必线性无关 C)A 的任意 m 阶子式不等于零 B ) A 通过初等行变换，必可以化为( Em0)的形式 D)非齐次线性方程组 Ax b 一定有无穷多组解 填空题： 1 1 1 1 23

11、 2从 R2 的基 1 ，2 到基 1 ， 2 的过渡矩阵为 02 1 1 1 2 2 12 三计算题： T T T 1 设 1 1 1 1 1 T， 2 3 3 1 1 T ， 3 2 0 6 8 T试用施密特正交化方 法将向量组标准正交化。 解： 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1设 A2 1 2 ，三维列向量 3 0 4 (a,1,1)T ，已知 A 与 线性相关，则 a = 1 1 2 2 | 2 1 2 2 2 4 T 2 2 | 3 1 T 3 1 1 1 1 3 | 3 | 2 1 1 2已知 R3 的两个基为 a1 1 ， a2 0 1 1 | 11|21 1 1 1 1 1 1 2 3 ， a3 0 及 b1 2 ， b2 3 ， b3 4