2020年高考文科数学一轮总复习：数列求和

1、2020年高考文科数学一轮总复习：数列求和第4讲数列求和(1)等差数列求和公式：snn（a1an）na1d11qn11q(2)等比数列求和公式：snaaqa（1qn）(1)1234n.1基本数列求和方法n（n1）22na1，q1，q1.2一些常见数列的前n项和公式n（n1）2(2)1357(2n1)n2(3)24682nn2n常用知识拓展1倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的2错位相减法那如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，么这个数列的

2、前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和4分组转化法则一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减5并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解判断正误(正确的打“”，错误的打“”)1111n1(1)当n2时，n2n1.()2020年高考文科数学一轮总复习第1页共15页(2)利用倒序相加法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()(3

3、)若sna2a23a3nan，当a0，且a1时，求sn的值可用错位相减法求得()答案：(1)(2)(3)数列an的前n项和为sn，已知sn1234(1)n1n，则s17()a9c17b8d16解析：选a.s171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.12017(教材习题改编)数列an中，ann（n1），若an的前n项和为2018，则项数n为()a2016c2018b2017d2019解析：选b.an1n（n1）nn1已知数列：1，2，3，n2n，则其前n项和关于n的表达式为_得sn222232nn2n11211，111111n2017n1n1201

4、8sn1223n1n1，所以n2017.1111248解析：设所求的前n项和为sn，则111n（n1）1n1sn(123n)24222n.n（n1）121答案：2n已知数列an的前n项和为sn且ann2n，则sn_解析：sn12222323n2n，所以2sn122223324n2n1，2（12n）n2n1，所以sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12分组转化法求和(师生共研)2020年高考文科数学一轮总复习第2页共15页已知数列an的前n项和sn，nn*.当n2时，ansnsn1n.则a22n12，cn，n为偶数2an，n是偶数，n2n2(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)

5、nan，求数列bn的前2n项和【解】(1)当n1时，a1s11；n2n（n1）2（n1）22a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为t2n，则t2n(212222n)(12342n)记a212222n，b12342n，2（122n）12b(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和t2nab22n1n2.分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和bn，n为奇数，(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组转

6、化法求和an2，n是奇数，1(2019资阳诊断)已知数列an中，a1a21，an2则数列an的前20项和为()a1121c1123b1122d1124项为1，公差为2的等差数列，故数列an的前20项和为1012解析：选c.由题意可知，数列a2n是首项为1，公比为2的等比数列，数列a2n1是首1（1210）1091221123.选c.2已知an是等差数列，a1a56，a2a810，数列bn满足b14，2an2log2bn1.2020年高考文科数学一轮总复习第3页共15页a12d5，a1，所以an2n1(nn*)当n2时，bnsnsn122n122n2n1，44)n(n1).3n(1)求an和bn

7、的通项公式；(2)求数列2anbn的前n项和sn.解：(1)因为an是等差数列，a1a56，a2a810，所以a33，a55，所以公差d1，所以a11，所以ann.因为2an2log2bn1，所以bn122an2，bn22an12(n2)，所以bn4n(n2)又b14也满足上式，所以bn4n.(2)由(1)知，ann，bn4n，所以2anbn2n4n，所以sn2141224223432n4n2(123n)(41424n143错位相减法求和(师生共研)(2019江西临川一中质检)已知等差数列an满足a35，其前6项和为36，等比1数列bn的前n项和sn22n1(nn*)(1)求数列an，bn的通

8、项公式；(2)求数列anbn的前n项和tn.【解】(1)设等差数列an的公差为d，由已知得6a115d36，解得1d2，1对于数列bn，因为sn22n1，所以当n1时，b1s1211，11121综上所述，bn2n1(nn*)2n1(2)由(1)得anbn2n1，352n32n1所以tn121222n22n1，2020年高考文科数学一轮总复习第4页共15页tn23n1n2得，tn112n23，222212(2n1)2n11352n32n1，211112n12n322222n2n4n62n3所以tn62n62n1.错位相减法求和的策略(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前

9、n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写“sn”与“qsn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“snqsn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解(2019福建市第一学期高三期末考试)已知数列an的前n项和为sn，且sn2an1.(1)证明数列an是等比数列；(2)设bn(2n1)an，求数列bn的前n项和tn.解：(1)证明：当n1时，a1s12a11，所以a11；当n2时，ansnsn1(2an1)(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2

10、为公比的等比数列(2)由(1)知，an2n1，所以bn(2n1)2n1，所以tn132522(2n3)2n2(2n1)2n1，2tn12322(2n3)2n1(2n1)2n，由得tn12(21222n1)(2n1)2n22n1212(32n)2n3，所以tn(2n3)2n3.裂项相消法求和(多维探究)1角度一形如ann（nk）型2020年高考文科数学一轮总复习第5页共15页(2)求数列2n1的前n项和(2017高考全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；an【解】(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an2n112(n1)两

11、式相减得(2n1)an2，所以an2(n2)从而an的通项公式为an2n1又由题设可得a12，2.的前n项和为sn.(2)记an2n1an2112n1（2n1）（2n1）2n12n1由(1)知.1111112n则sn13352n12n12n1.角度二形如an1nkn型f（n1）f（n）2)(2019福州质检)已知函数f(x)x的图象过点(4，令annn*.记数列an的前n项和为sn，则s2018()1，a.20171c.20191b.20181d.20191【解析】由f(4)2可得42，解得.121则f(x)x2.11n1n所以anf（n1）f（n）n1n，所以s2018a1a2a3a2018

12、(21)(32)(43)(20182017)(20192018)20191.【答案】c利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项2020年高考文科数学一轮总复习第6页共15页相等如：若an是等差数列，则aa11111112danan2anan1dnaan1nn2，.数列s的前10项和为()11(2019湖北八校联考)已知等差数列an的前n项和为sn，且a92a126，a24，则1n1211109a.c.11910b.8d.所以

13、snn2n，所以，所以122310111.s1s2s10s55a35a110d55，a15，(2)由anbn，得bn3n13n2，23n13n2111111155823n269n62（3n2）1解析：选b.设等差数列an的公差为d，由a92a126及等差数列的通项公式得a15d12，又a24，所以a12，d2，1111snn（n1）nn11111111111011112(2019郑州市第一次质量测试)已知等差数列an的前n项和为sn，且a2a525，s555.(1)求数列an的通项公式；13n1(2)设anbn，求数列bn的前n项和tn.a2a52a15d25，解：(1)设等差数列an的公差为

14、d，由题意解得d3，所以数列an的通项公式为an3n2.1111113n1an（3n1）（3n1）（3n2）3tnb1b2bn3111311n.2020年高考文科数学一轮总复习第7页共15页则tnb1b2bn(232522n1)nn(4n1)n4n1n.3241数学运算数列的基本运算已知公差不为0的等差数列an的前n项和为sn，s3a46，且a1，a4，a13成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an1，求数列bn的前n项和【解】(1)设等差数列an的公差为d(d0)因为s3a46，所以3a13da13d6，解得a13.又因为a1，a4，a13成等比数列，所以a1(a112d)(

15、a13d)2，即3(312d)(33d)2，解得d2或d0(舍去)所以an32(n1)2n1.(2)由题意，得bn22n11.设数列bn的前n项和为tn，8（14n）82143383数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则、公式解决数学问题的过程它是高中生必须具备的最基础又应用最广的一种核心素养3已知等比数列an的前n项和sn，公比为2.65(1)若s424，求a1；1(2)若a12，cn2annb，且c2，c4，c5成等差数列，求b.365解：(1)因为公比q2，s424，3a11（2）465所以，281651所以(116)a148，解得a13.32781(2)因为a12，公比为2，

16、所以a23，a44，a58.2020年高考文科数学一轮总复习第8页共15页所以2(4b)2b5b，解得b.1已知数列an的通项公式是an2n35，则其前20项和为()1又因为cn2annb，13127181所以c22a22b22b，c42a44b84b，c52a55b165b.因为c2，c4，c5成等差数列，273813821616基础题组练1na3801519b4001520c42015204d44015205531315214111201120（201）1131解析：选c.令数列an的前n项和为sn，则s20a1a2a202(1220)1553420355252022141520.52n1

17、2(2019辽宁本溪三校联考)已知数列an的通项公式是ann2sin2a3a2018()，则a1a2222220172018a.20172017c.20192018b.20182018d.23420172018，故选b.3(2019江西师大附中调研)定义np1p2pn若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又bnn，则()5n5解析：选b.由题意得a1a2a3a201812223243201722018212018（12018）2018201922pp为n个正数p1，2，n的“均倒数”，1a111b1b2b2b3b10b11171921238a.10c.b.d.911解析：选c.由定义可知a1a

18、2an5n2，a1a2anan15(n1)2，可求得bb11111n1bnbn12nb1b2b2b3an110n5，所以an10n5，则bn2n1.又2020年高考文科数学一轮总复习，所以第9页共15页111111()bb.b10b112b1b2b2b10b10b1121211111110114(2019河北“五个一名校联盟”(二)已知数列an满足：an1anan1(n2，nn*)，a11，a22，sn为数列an的前n项和，则s2018()a3c1b2d027131.9解析：选a.因为an1anan1，a11，a22，所以a31，a41，a52，a61，a71，a82，故数列an是周期为6的周

19、期数列，且每连续6项的和为0，故s20183360a2017a2018a1a23.故选a.15等比数列an中，若a127，a9243，q0，sn是其前n项和，则s6_16111解析：由a127，a9243知，24327q8，又由q0，解得q3，所以s6133649364答案：6(2017高考全国卷)等差数列an的前n项和为sn，a33，s410，则n1k1sk解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，依题意，1a2d3，a2d3，解得所以sn2_即14a16d10，2a13d5，a11，n（n1），d1，因此1111112nn1n1.223nk11sk2n7已知数列an满足a1，且an1.2

20、2aan解：(1)因为an1，所以，所以，答案：2nn112ann1(1)求证：数列是等差数列；(2)若bnanan1，求数列bn的前n项和sn.2an2an11112anan12anan1an22020年高考文科数学一轮总复习第10页共15页an(2)由(1)知(n1)，所以an，(2)设数列a的前n项和为tn，求满足不等式tn的最小正整数n.102所以数列an的通项公式为an2(2)由(1)知2nn1，1所以数列是等差数列111n32ana122n3411n4所以bn（n3）（n4）4(n3)，11111111nn4n4sn4(45)(56)(n3)4(4n4).8(2019四川广安毕业班

21、诊断)已知数列an的前n项和为sn，a11，且sn1snann1(nn*)(1)求数列an的通项公式；119n解：(1)由sn1snann1(nn*)，得an1ann1，又a11，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)21（1n）n.（1n）n.1211an（1n）n所以tn21223nn121n1n11111112n.令2n19，解得n19，1(2019湖南湘潭模拟)已知tn为数列2n的前n项和，若mt1013恒成立，n11019所以满足不等式tn10的最小正整数n为19.综合题组练2n110则整数m的最小值为()a1026c1024b1025d10231n12，解

22、析：选c.因为2n12n1所以tnn12n，11所以t1010131121010131024210，2020年高考文科数学一轮总复习第11页共15页log2an，则的值是()又mt101013，所以整数m的最小值为1024.故选c.2(2019益阳、湘潭调研)已知sn为数列an的前n项和，若a12且sn12sn，设bn111b1b2b2b3b2017b201820182017201820174035a.2017c.4033b.2016d.以sn2n.当n2时，ansnsn12n2n12n1.bnlog2an当n2时，bnbn1（n1）nn1nb1b2b2b3b2017b201822320161

23、2.故选b.解析：选b.由sn12sn可知，数列sn是首项为s1a12，公比为2的等比数列，所1，n1，n1，n2，11111111111，所以111403320172017201713设数列an的前n项和为sn，且a11，anan12n(n1，2，3，)，则s2n1_1解析：因为a11，anan12n(n1，2，3，)，所以s2n1a1(a2a3)(a2na2n1)1242n214.2222311141n答案：14故数列的前2018项的和等于s2018100912130272241n311n4已知数列an满足an12ana2，且a12，则该数列的前2018项的和等于_11n解析：因为a12，

24、又an12ana2，1所以a21，从而a32，a41，1，n2k1（kn*），即得an21，n2k（kn*），.3027答案：5(2019潍坊市统一考试)若数列an的前n项和sn满足sn2an(0，nn*)(1)证明数列an为等比数列，并求an；2020年高考文科数学一轮总复习第12页共15页log2an，n为偶数所以bn214所以t2nn22n.n(1)证明：数列2n是等差数列；n，n所以数列2n是等差数列n(n2)，即an1ann所以数列2n是首项为，公差为的等差数列，22an，n为奇数，(2)若4，bn(nn*)，求数列bn的前2n项和t2n.解：(1)因为sn2an，当n1时，得a1，

25、当n2时，sn12an1，所以snsn12an2an1，即an2an2an1，所以an2an1，所以数列an是以为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1.(2)因为4，所以an42n12n1，2n1，n为奇数，n1，n为偶数，所以t2n22324526722n2n1(222422n)(352n1)44n4n（32n1）4n1434n14336(2019内蒙古集宁一中测试)已知数列an满足an12an2n(nn*)，且a11.a(2)求数列an的前n项和sn.aa1解：(1)证明：由an12an2n(nn*)的等式两边同时除以2n1得2n12n2，12n122aa1(2)因为212，a11a11n所以2n2(n1)22，