参数估计和假设检验习题解答

1、 参数估计和假设检验习题 1. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差 已知为 150， 今抽了一个容量为 26 的样本，计算得平均值为 1637。问在 5的显 著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值 为 1600? 解 : H0: 1600, H1: 1600, 标 准 差 已 知 , 拒 绝 域 为 Z z ,取 2 0.05, n 26, zz0.025z0.975 2 1.96,由检验统计量 Z x /n 1637 1600 150/ 26 1.25 1.96 接受 H0 : 1600, 即 ,以 95% 的把握认为这批产品的指标 的期望值 为 1600. 2. 某纺织厂在正常的运转

2、条件下， 平均每台布机每小时经纱断头数为 O.973 根，各台布机断头数 的标准差为 O.162 根，该厂进行工艺改进， 减少经纱上浆率， 在 200 台布机上进行试验， 结果平均每 台每小时经纱断头数为 O.994 根，标准差为 0.16 根。问 , 新工艺上浆率能否推广 ( =0.05)? 解: H0 : 1 2, H1: 1 2, 3. 某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64 ，改变加工工艺后，测得 100 个零件的平均电阻为 2.62 ，如改变工艺前后电阻的标准差保持在O.06，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响 ( =0.05)? 解: H0 : 2.64, H1 : 2.64,已

3、知标准差 =0.16, 拒绝域为 Z z ,取0.05,z z0.025 1.96, 22 n 100, 由检验统计量 2.62 2.64 0.06/ 100 3.33 1.96,接受 H1 :2.64, 即, 以 95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响 . 4. 有一批产品，取 50 个样品，其中含有 4 个次品。在这样情况下，判断假设 H0：p0.05 是否 成立( =0.05)? 解: H0: p 0.05, H1: p 0.05,采用非正态大样本统计检验法 ,拒绝域为 Z z ,0.05,z0.95 1.65, x/ n p 4/50 0.05 n 50,由检验统计量 Z x/

4、 n p 4/50 0.050.9733-1.65, 接受 H0 : p 0.17, n p (1 p) 400 0.17 0.83 即, 以 95%的把握认为此项新工艺没有显著地提高产品的质量 . 6. 从某种试验物中取出 24个样品，测量其发热量，计算得 x =11958，样本标准差 s =323，问以 5 的显著水平是否可认为发热量的期望值是 12100( 假定发热量是服从正态分布的 )? 解: H0:12100, H1: 12100,总体标准差 未知,拒绝域为 t t (n 1),n 24, x =11958, 2 s=323,0.05,t0.025(23) 2.0687, 由检验统计

5、量 x 11958 12100 t2.15372.0687,拒绝 H0 : 12100,接受 H1 : 12100, s/ n 323/ 240 1 即, 以 95% 的把握认为试验物的发热量的期望值不是 12100. 7某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500 克，每隔一定时间需要检查机器工 作情况。现抽得 10罐，测得其重量为 (单位：克):195 ，510，505，498，503，492，ii02 ，612，407， 506. 假定重量服从正态分布，试问以 95的显著性检验机器工作是否正常 ? 解: H0:500 vs H1:500 ,总体标准差 未知 , 拒绝域为 t t

6、(n 1),n 10,经计算得到 2 x =502, s=6.4979, 取 0.05,t0.025(9) 2.2622,由检验统计量 t s/ n 502 500 6.4979/ 10 0.9733-1.65, 接受 H0 :23.8 即, 以 95% 的把握认为新安眠药已达到新的疗效 . 9 测定某种溶液中的水份，它的 l0 个测定值给出 x =0.452%, s =O.037%，设测定值总体服从正态分布 , 为总体均值 , 为总体的标准差 ,试在 5显著水平下 , 分别检验假 (1)H 0: =O.5 ; (2)H 0: =O.04。 解:(1) H01:=O.5, H11:0.5%,

7、总体标准差 未知, 拒绝域为 t t (n 1),n 10, 2 x =0.452%, s =O.037%,取0.05,t0.025(9) 2.2622,由检验统计量 0.00452 0.005 0.00037/ 10 4.1022.2622,拒绝 H0: =O.5, (2) H02: =0.04%, H12: 0.04%, 拒绝域为 2 2 (n 1) 或 2 2(n 1),n 10,取 =0.05, 1 2 2 02.975(9) =2.7 , 202.025(9) 19.023,由检验统计量 (n 1)s2 2 (10 1)0.00037 2 0.00042 7.7006, 即 2.7

8、(n1 1) s12 (n2 1) s22 w n1 n2 2 7.7006 19.023, 接受 H02: =0.04%. 10.有甲、乙两个试验员， 对同样的试样进行分析， 各人试验分析结果见下表 (分析结果服从正态 分布), 试问甲、乙两试验员试验分析结果之间有无显著性的差异 ( =0.05)? 试验号码 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 4.3 3.2 3.8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 乙 3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 解:(1)H01 :1222,H11 :1222, 拒绝域为 F F(n11,n21) 或 F F(n11,n21),

9、n1n28, 1 2 2 1 2 2 取=0.05, F0.975(7,7)0.2004 , F0.025(7,7) 4.99 ,经计算 s12 0.2927,s22 0.2927, 0.975F0.025(7,7)0.025 1 2 接受 H01 : 1222, 由检验统计量 F s12 / s22 0.2927/ 0.2927 1, (2) H02 : 1 2, H12 : 1 2拒绝域为 t t (n1 n2 2),n1 n2 8,0.05,t0.025(14) 2.1448 , 2 并样本得到 =0.2927, sw =0.5410, 由检验统计量 3.7875 3.8875 sw n

10、1 n1 n1 n2 -0.6833 2.1448, 接受 H02 : 1 2, 即, 以 95% 的把握认为甲、乙两试验员试验分析结果之间无显著性的差异 11.为确定肥料的效果， 取1000株植物做试验。在没有施肥的 100株植物中，有 53株长势良好； 在已施肥的 900 株中，则有 783 株长势良好，问施肥的效果是否显著 ( =O.01)? 解:(1) H01:1222, H11:1222,拒绝域为 F F(n11,n21) 或 F F(n11,n21),取=0.01, 2 12 n1 100,n2 900, F0.995(99,899)0.7843 , F0.005(99,899)

11、1.3 ,计算 F0.005(899,99) 2 s1 53(1 53 )0.2491,s22783(1 783)0.1131, 100 100 2900 900 由检验统计量 22 F s12 /s22 0.2491/ 0.1131 2.2025, 拒绝 H01 : 12 22, (2)H02 :1 2,H12 :1 2拒绝域为 t t(n1n22),n1100,n2900,0.01,t0.01() 2.4121 并样本得到 s2w 22 (n11) s1(n21) s2 1 1 2 2 =0.1266,sw =0.3558,由检验统计量 n1 n2 2 t x y 53/100 783/9

12、00 -9.0656-2.5524, 接受 H02 : 12, sw n11 n12 20.7280 110 11002 1 2 即, 以 95% 的把握认为此两品种作物产量有显著差别 ,并且是第一种作物的产量显著高于第 二种作物的产量 . 13. 从甲、乙两店备买同样重量的豆，在甲店买了 10次， 10 算得 y =116.1 颗， (yi y )2 =1442； i1 13 在乙店买了 13次，计算 x =118颗， (xi x)2 =2825。如取 i1 =0.01 ，问是否可以认为甲、乙两店的 豆是同一种类型的 ( 即同类型的豆的平均颗数应该一样 ) ？ 解:(1) H01: 1222

13、,H11:1222 ,拒绝域为 F F(n11,n21) 或 F F(n11,n21),n110, 1 22 n2 12 13,取 =0.01, F0.005(12,9) 5.20,F0.995(12,9)0.1605 , ,有题设 sx2 235.25, F0.005 (9,12) 2 sy2 22 160.2222,由检验统计量 F sx2 /sy2 235.25/160.2222 1.4683, 22 接受 H01 : 1222, (2) H 02 : 1 2, H12 : 12 ,拒绝域为 t t (n1 n2 2),0.01, t0.005 (11) 3.1058,n1 10, 2

14、22 n2 13,并样本得到 sw2 (n1 1) s1 (n2 1) s2 n1 n2 2 2 =(2823+1442)/11=387.7273, sw=19.6908, 由检验统计量 t x y sw n1 n1 n1 n2 118 116.1 0.22943.1058, 接受 H02 : 1 2, 19.6908 1 1 13 10 即, 以 95%的把握认为此甲、乙两店的豆是同一种类型的 14. 有甲、乙两台机床加工同样产品， 从此两台机床加工的产品中随机抽取若干产品， 测得产品直 径(单位： Illm) 为机床甲： 20.5 ，19.8 ，19.7 ，20.4 ，20.1 ，20.0

15、 ，19.0 ，19.9; 机床乙： 19.7， 20.8 ，20.5 ，19.8 ，19.4 ，20.6 ，19.2. 试比较甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异( 解:(1) H01:1222,H11:1222, 拒绝域为 F F(n11,n21) 或 F F(n11,n21),n1 1 2 2 =5)? 8,n2 7, 1 2 2 取 =0.05, F0.975(8,7)0.2041 , F0.025(8,7) 4.53,经计算 s12 0.2164,s22 0.3967, 0.975F0.025(7,8)0.025 1 2 由检验统计量 F s12 /s22 0.2164/ 0.396

16、7 0.5455, 接受 H01 : 1222, n2 2), n1 8,n2 7,0.05,t0.025 (13) 2.1604 , 并样本得到 s2w (n1 1) s1 (n2 1) s2 7 0.2164 6 0.3967 0.2996 sw =0.5474, 由检验统计量 n1 n2 2 13 t -0.2657 y1=2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 mean(y1), 得到点估计 y1 0.1250, n=16 x (1) 已知 =0.Ol, 样本统计量

17、x N (0,1) ,取0.1,z z0.95 1.65 / n 2 包含总体期望值 的 90置信区间为 (x z / n,x z / n) 22 x (2)为未知, 样本统计量 t(n 1),取0.1,t (n 1) t0.05(15) 1.7531 s/ n 2 包含 总体期望值 的 90置信区间为 (x t0.05(15) s/ n,x t0.05 (15) s/ n) 17. 包糖机某日开工包了 12包糖，称得的重量 (单位：两)分别为 10.1 ，10.3 ，10.4 ，10.5 ，10.2 ， 9.7，9.8，10.1，10.0，9.9, 9.8,10.3 ，假设重量服从正态分布，

18、试由此数据对糖包的平均重量作 置信度为 95%的区间估计。 解: x10=10.1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10.1 10.0 9.9 9.8 10.3 mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(x10,0.05) 得到平均重量点估计 mu = 10.0917, 置信区间为 muci =9.9281,10.2553, sigma = 0.2575, 置信区间为 sigmaci =0.1824,0.4371 18. 某电子产品的某一参数服从正态分布，从某天生产的产品中抽取15 只产品，测得该参数为 3.0,2.7,2.9,2.8,3.1,2.6,

19、2.5,2.8,2.4,2.9,2.7,2.6,3.2,3.0,2.8 。试对该参数的期望值和方差作 置信度分别为 95%和 99的区间估计。 解: x12=3.0 2.7 2.9 2.8 3.1 2.6 2.5 2.8 2.4 2.9 2.7 2.6 3.2 3.0 2.8 取定 =0.05, mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(x12,0.05) 得到参数的期望值点估计 mu =2.8000, 95%置信区间为 muci =2.6762, 2.9238; 方差点估计 sigma =0.2236, 95% 置信区间为 sigmaci=0.1637, 0.3527 取定

20、 =0.05, mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(x12,0.01) 得到参数的期望值点估计 mu=2.8000, 99%置信区间为 muci=2.6281,2.9719 方差点估计 sigma =0.2236, 99% 置信区间为 sigmaci=0.1495,0.4145 19. 为了在正常条件下，检验一种杂交作物的两种新处理方案，在同一地区随机挑选8 块地段， 在各个试验地段，按两种方案种植作物，这 8 块地段的单位面积产量是 一号方案产量 86 87 56 93 84 93 75 79 二号方案产量 80 79 58 91 77 82 74 66 假设这两种产

21、量都服从正态分布，试求这两个平均产量之差的置信度为95的置信区间。 解： 得到 y 75.8750 x=86 87 56 93 84 93 75 79, mean(x) 得到 x 81.6250 y=80 79 58 91 77 82 74 66, mean(y) 2 2 (n1 1) s12 (n2 1) n1 n2 8, 计算 sw n1 n2 2 ，得到 sw , 取定 =0.05, 由样本统计量 xy 11 sw n1 n2 t (n1 n2 2) 2 最后，得到 x y 的置信水平为 95%的一个置信区间为 (x y t (n1 n2 2) sw 2 1 1 1 1 ,x y t (n1 n2 2) sw) n1 n22n1 n2 20.设两位化验员 A、B独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10 次测定， 的方差