原子的拉莫尔旋进

1、原子的拉莫尔旋进的若干问题 第 1 页共 10页 原子的拉莫尔旋进的若干问题 吴云（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011） 指导教师：张青林 摘要 ：原子受外磁场的作用做拉莫尔旋进是一个非常重要而且又是很有趣的物理现象。孤立原子的 在 - J 方向的分量 J 是一个定向的恒量，对外发生效果。这个分量我们定义为原子的总磁矩。绕 旋进 与 绕 J 旋进存在着区别。原子的拉莫尔旋进和 Lande 因子也有一定的关系。本文的处理方法是先从原 子磁矩 里分解出有效磁矩 J ，其次再用有效磁矩 J 与外磁场 的作用关系来描述原子的拉莫尔旋进。 最后，澄清和纠正了关于原子拉莫尔旋进的一些

2、含糊的说法和不确切的理解。 关键词 ：拉莫尔旋进，有效磁力矩，朗德因子 1 引言 原子受外磁场作用做拉莫尔旋进是一个非常重要而且又是很有趣的物理现象。 拉莫尔旋进的角频率 还涉及到原子物理学和光谱学的许多领域。本文首先对原子拉莫尔旋进产生的机理做简易描 述，再以 L-S 耦合为例，指出关于拉莫尔旋进的一些不确切的理解。 2 单原子的总磁矩（以氢原子为例） 由于电子的轨道磁矩 L 和固有磁矩（自旋磁矩） S 分别与轨道角动量 L 和自旋角动量 S 成正 比：即 L e L ， S e S 2m m 但 L 同 L 的比值是不同于 S 同 S 的比值。从矢量模型可以看出，L 和 S 合成的总磁矩

3、： SL 不再与总角动量 J L S 反平行了。如图 1 所示。 图 1 ：单原子的总磁矩的示意图 原子的拉莫尔旋进的若干问题 第2 页共 10页 孤立原子的总角动量 J 是守恒量，即大小和方向都保持不变，而合成的总磁矩 并不守恒，它绕 J 旋进，不断改变方向 1 。 在实际物理问题中，比如斯特恩 -盖拉赫实验( Stern-Gerlach Experiment )中，我们通常把这个 没有定向的量分解成两个分量。有意义的是，在 - J 方向的分量 J ，这是个有定向的恒量，即是守 恒的。而另一个垂直于 J 方向的分量则不断绕 J 旋转，对外的平均效果完全抵消了，即为0。因此对 外发生效果的是

4、J ，我们就把 L S 在- J 方向的分量 J 定义为原子的总磁矩或有效磁矩 2,3 。 3 拉莫尔旋进的产生 图 2 ：原子的拉莫尔旋进的示意图 把上述定性描述和外磁场的作用以矢量的关系表示出来 , 由图 3。 原子既有总磁矩 J ，处在磁场中就要受到场的作用， 其效果是磁矩绕磁场的方向作旋进。 这种旋 进就叫做拉莫尔旋进。现对这个旋进的转向和速度作一个简单的说明。如图 2 是旋进的示意图 3 。 原子在外磁场中， 所受的磁力矩为 M 根据图 3，将其写成标量式： M sin 180 ( ) sin (sin cos cos sin ) M1 M 2 其中： M1 sin cos J si

5、n J sin 180 即 M1J z 而 M 2 cos sin 即 M 2 z 原子的拉莫尔旋进的若干问题 第 3 页 共 10页 由式可知， M1 表示对以 z 为轴的旋进起作用的磁力矩，它是引起拉莫尔旋进的根源，我们称它为 有效磁力矩。只有有效磁力矩才是产生拉莫尔旋进的真正的动力。有了力矩，就要产生角动量的改变，角 动量改变的方向就是力矩的方向。如果单位合适，角动量改变的时间率数值上等于力矩，所以M1 d 。 1 dt 从图 2上可以看出， M1和 d 的方向在这个顷刻都是垂直并进入纸面的。 由于力矩 M1 的存在， 角动 量的改变 d 连续发生。但 d 一直是垂直于 J 的，所以 J

6、 只改变方向，而不改变数值。这就是造成 J 在图 2 所示的方向连续的旋进 1的原因。 由图 2 又可以看出： d J sin d 原子的拉莫尔旋进的若干问题 第 4 页共 10页 因此 式中 又 dd J sin = J sin L dt J dt J L d L 是旋进的角速度。 L dt M1 J sin ， M1 ddt J sin L J sin 但 si n si n J LJ LJ 这就是我们熟悉的拉莫尔旋进的角速度公式 3 。 e 又 J g J （ 其中 g 为 Lande 因子 ） 2m ge 式中 为旋磁比 2m 那么拉莫尔旋进的频率就等于： L L 22 下面再对 M

7、2 进行讨论。 由前面式可知 M2 cos sin cos sin（90 ） 即 M 2 z 从式直观地看， M 2表示对 z 轴的旋进起作用的磁力矩。但是， 第一：由图 3可看出， 既要绕 J 作快进动，同时又要绕 z轴（实际上 z轴将绕 z轴以 L转动） 作慢进动是不可能实现的 4,5 ； 第二： 由于原子的磁矩来自于原子中电子的轨道运动和自旋， 磁矩和角动量必然要成对出现， 而 没 有对应的和它方向相反的角动量 。尽管 M 2 0，却根本不可能有相应的角动量的改变，因而对原子体 系能量的增减没有影响； 第三：因 绕 J 作快速转动， 与 的夹角在 90 到90 之间变化， 在观测时间内

8、的平均效果为 0，因此不起作用。 综上所述： M2 对拉莫尔旋进没有贡献，不妨称其为无效磁力矩。 原子的拉莫尔旋进的若干问题 第5 页共 10页 4 讨论 绕 旋进与 绕 J 旋进的区别 由上述可知， 所谓拉莫尔旋进是指 （或 J，J ）绕外磁场 旋进。 这时， 一般有两种情况： 在 e e e 不考虑耦合时， 拉莫尔角频率 L （或 S ）； 在考虑耦合时， 拉莫尔角频率 L g 。 L 2m S m L 2m 应该明确指出的是 （或 L ， S ）绕 J 的旋进，并非是我们这里所讨论的原子的拉莫尔旋进，其角频 eee 率绝不会有 L g （或 L 或 S ）的形式。具体来讲，在 L-S 耦

9、合时， 绕 旋进 2m2mm 和 绕 J 旋进是同时存在的。 绕 作慢旋进， 其旋进频率即拉莫尔频率可用 L L g e 估算。 2 4 m 在量子力学中 L 相当于是态能量或光谱项由于磁场 与磁矩 相互作用所产生的改变。 而 绕 J 作快旋 c 进，是原子在外磁场中同时存在的另一种旋进，其旋进频率可用 2 估算。这里的 则相当于 2 定态能量或光谱项由于电子自旋运动与其轨道运动相互作用所产生的改变。故我们在阅读教材和文献 1-3 时，不应把这两种截然不同的旋进混同起来。 拉莫尔旋进与 Lande 因子 e 众所周知，拉莫尔旋进角频率可写为： L J g L J 2m 在 L-S 耦合情况下

10、, Lande 因子可写为： J（J 1） L（L 1） S（S 1） g 1 2J（J 1） 式和是原子物理学中两个重要关系式。 现以 4D12 态为例，来分析一下拉莫尔旋进和朗德因子的关系。从式和可知，g 0，因而有 e L g 0 的结果，似乎原子在外磁场中的拉莫尔旋进停止了，此时J ， J 0 。但是值得 2m 注意的是 0 ， J 0。因为产生拉莫尔旋进的真正动力在于有效磁力矩。故由于0， 0 ，即 e M 0，则 L 0 ，拉莫尔旋进似乎又没有停止。看来出现了一个矛盾：即L g ，式 2m 或不是普遍成立。然而式和的正确性和普适性已被理论推导和实验结果所证明。 故这里的定性的解释是

11、：当 J 时， 仍绕 J 快速旋进，但它与外磁场相互作用对外产生效果的 J 0，且 M1J0 ，于是有 0 或 L J 0， LJ g 0 （即能级在外磁场中不分裂） ，和式是普遍成立的。 现根据图和上面所提到的表达式对此做更为直观，定量的分析 4,5 成分被平均而抵消，不能形成有效磁力矩，促不成拉莫尔旋进，即 原子的拉莫尔旋进的若干问题 第 6 页 共 10页 i 由式知，因为90 ， cos 0， sin 1 ，即 M1 sin cos 亦即 M1 所以有效磁力矩为零不可能产生拉莫尔旋进。 M2 cos sin sin 90 M2 从表达形式上看，它表示引起 即 z 轴）转动的磁力矩。但是

12、如前面所讲，M 2 是无效磁力矩。 ii 由前面可知： M 1 sin cos cos J J sin J sin J J J sin 当 90 时， cos 0 cos 0 J iii 其实，对于这一点，结合图 4，就会立即看出，当J时，由于 J 0 ，,则 MM2 ， 说明原子在外磁场中所受的总磁力矩为无效力矩，故 L 0， g 0 ，对外不产生效果。 文献 1-3,6中的普遍说法为 “ 绕 J 旋进， 不是一个有确定方向的量， 沿 J的分量 J 才是有一定 第 7 页共 10页 原子的拉莫尔旋进的若干问题 方向的恒量，它对外产生效果，叫做总磁矩或有效磁矩，而垂直 J 的分量绕 J 转动，

13、对外平均效果抵消 了”。同时，把原子的总磁矩 J 和总角动量 J 的关系式 J g e J 当作讨论问题的依据，而且有没 JJ 2m 有指出是否例外。正因为上述两个原因，对MJ 为力矩是肯定的，而对于 M 是不是则往 往产生犹豫。这里有三点值得分析： 第一：文献 1-3,6 中“对外产生效果”一词具体指什么没有阐述。在这里， “对外产生效果”这个“效果” 是指 J始终能与外磁场相互作用形成力矩而保持绕外磁场的旋进。例如，由于 绕 J旋进，只有 J 才 能对外产生效果即存在力矩 M J （即有效磁力矩 M2 ）。 第二：只从电磁学性质来讲， M J 与 M 无实质区别。但是，在这里就要考虑对外是

14、否 产生平均效果。一般情况下， J 只是 的分量，力矩 M 中自然包含着力矩 M J。但是， 在个别情况下， M 就对外不产生效果。例如：J 0， M M1 M 2时，力矩 M 就形 成不了。 第三： J g e J 在 L-S 耦合的多数情况下是对外产生效果的有效磁矩。而在另外一些少数情况 2m 下就由其他因素来代替。例如，有时真正对外产生效果的有效磁矩恰恰是 而非 J 4 。 按照文献 1-3的处理方法是先从原子磁矩 里分解出有效磁矩 J ；其次再用有效磁矩 J 与外磁场 的 作用关系来描述原子的拉莫尔旋进，而不去讨论原子磁矩的另一分量 。但是，当面对诸如 4D 12 态时， 由于 J 0

15、而0， M0 ，用这种处理方法在解释不产生拉莫尔旋进（即L 0， g 0， 在外磁场中不发生能级分裂）的情形往往比较麻烦。而按照本文的处理方法则是先根据矢量关系图直接用 电磁学性质给出总磁力矩 M 的数学表达式，而此式能够巧妙的分解成两部分 M M1 M2 。其次，在确 定出有效磁力矩 M 1 ，利用原子的固有属性排除不可能实现的旋进（即排除无效磁力矩M2 对拉莫尔旋进 起作用的可能性） ，这样做的好处在于既对原子磁矩 的两个分量 J 和 都做了讨论，又能对诸如 4D 12 态的 L 0， g 0 和 E 0等问题做出顺理成章的说明。总之，由于有了较完整的数学表达式及有效 磁力矩和无效磁力矩的

16、概念， 在解释“对外产生效果” 一词的含义时， 比文献 1-3的定性描述更方便了一些。 尤其可以简单的用一个表达式（即式）和一句解释（即指明有效磁力矩和无效磁力矩）把原子拉莫尔旋 进的产生机理描述清楚。 在文献 1-3中， J 0， L 0和“对外产生效果”似乎指的是同一个内容，即有效磁矩 J 0 就会 “对外产生效果” ，于是必然发生拉莫尔旋进，反之亦然。但是，值得指出的是，这种理解对于具有朗德 因子 g 的原子态来讲无疑是正确的。 本文所定义的 “有效磁力矩” 和“无效磁力矩” 也同样属于这种情况， 第 8 页共 10页 原子的拉莫尔旋进的若干问题 而都不是适用于具有不确定的朗德因子 g

17、的原子态。例如： 有一种情况是： 0e 当 L S 0 ， J 0 时， g 1 （不定式） 即 g 为不定式。 但是由于 L S J 0 ， 0 2m L S J 0 L S J0，所受的力矩均为 0，故 L 0 ，而 L J （不定式），即具有不确定 L S J L L J 0 e 的拉莫尔角频率。这样看来， L g 。似乎和又出了问题。 L 2m 有人认为，这时候，由于原子所有矢量全部收缩为一个几何点，在外磁场的作用下不可能再有旋进， 这时候的原子是一个“死原子” 。其实不然： 首先，仅从 M1J得出 M1 0， L 0 的结论是不够全面的，它只是推导拉莫尔角频率的一 部分。其次，这种情

18、况表示支壳层全部填满的原子态。这时的原子并不是“死原子” ，它仍存在某种形式 的旋进。有文献 4 已对上述情况做了详细的论述。 另一种情况是当 L S 0 ， J 0时， g1 0 （不定式） ，由于J0，即LS0，显然 0JLS eeee L S ，则 L S L S L S ， 2mm2mm J g e J 0 2m 0 故 LJ0 （不定式），如图 5所示， LJ0 即这时的拉莫尔角频率 也为不定式。这就说明，即使我们一贯所说的原子的“有效磁矩”J 0 。 这时，拉莫尔旋进是存在的。这时对外产生的效果的不是 J 而是 ，其数值为： L（L 1） B S（S 1） B 。但是，这时候不能发

19、生能级分裂（J 0， M J 0 ， E 0 ）4 。因 此我们可以得到如下结论： i文献 1-3 中的“无效磁矩”以及本文的“有效磁力矩”和“无效磁力矩”等只适用于具有确定朗德 因子 g 的原子态； ii 拉莫尔旋进的存在与否与朗德因子互为条件。 iii 如果把是否“对外产生效果”解释为是否“发生能级分离” ，问题似乎就会少一些；如果把是否 产生拉莫尔旋进作为是否“对外产生效果”的标志，就会麻烦一些，因为，当 J 0， g 0（确定值）， L 0（确定值） 时能发生能级分裂； 当 J 0 ，g 0或 g 1 0 0（不定式）， L 0 或 L 0（不 0 定式）时不能发生能级分裂。 原子的拉

20、莫尔旋进的若干问题 第 9 页 共 10页 参考文献 : 1 褚圣麟，原子物理学 M ，北京：高等教育出版社， 1979。 2 顾建中，原子物理学 M ，北京：高等教育出版社， 1986。 3 杨福家，原子物理学 M ，上海：上海科学技术出版社， 1985。 4 巴音贺希格，原子 Larmor 旋进中的若干问题 J，大学物理， 1998， 17(5)： 22 5 巴音贺希格，原子 Larmor 旋进产生机理的简易描述 J，大学物理 ,2000,19(7):15 6 高顺福，屠船士，吴祖嵋，原子物理学M ，上海：上海科学技术出版社， 1984。 7 方励之，近代物理学讲稿，北京大学物理系，北京物

21、理学会印，1985。 8 K.Krane, Modern Physics, John Wiley & Sons, 1983 。 9 A.Beiser, Concepts of Modern Physics, McGraw-Hill 1987 。 24。 17。 10 R.Gautreau and W.Savin ,Theory and Problems of Modern Physics , McGraw-Hill,1987 第 10 页 共 10 页 原子的拉莫尔旋进的若干问题 Several Problems about Larmor Precession of Atom Wu Yun (School of Physics and Electrical Engineering of Anqing Normal College, Anqing 246011) Abstract : Larmor precession of atom is not only a very important but also a very interesting physical phenomenon