矩阵及其运算课件[向阳教学]

1、第二章 矩阵及其运算 矩阵是线性代数的一个主要研究对象， 也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经 渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学 在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算 起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算 的一些基本规则与技巧。 2.2 逆矩阵 2.1 矩阵的概念及运算 2.3 矩阵的分块 1.定义定义 由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排 成的m行n列的数表 11121 21222 12 . . . . n n mmmn aaa aaa aaa 称m行n列矩阵，简称mn矩阵。记作 11121 21222 12 . . . . n n mmmn aaa aa

2、a aaa A 一、概念： 这 mn 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元， 数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A的 ( i,j )元。以数 aij 为(i,j)元的矩阵可简记作 (aij) 或 (aij)mn，mn 矩阵 A也记作A mn。 元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复 数的矩阵称为复矩阵。 行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵， 记作 An。 2.行矩阵、列矩阵与方阵行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。 3.同型矩阵与矩阵相等同型矩阵与矩阵

3、相等: 如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。 如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称 这两个矩阵相等。记作：A=B 4.零矩阵零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。不同型的零矩阵是不相等的。 5. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零 外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对 角矩阵。记作 A=diag(1,2,n) 如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。 如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零

4、，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。 二、矩阵的运算 1.矩阵的加法矩阵的加法: 设有两个同型的 mn 阶矩阵 A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定 1111121211 2121222222 1122 . . . . nn nn mmmmmnmn ababab ababab ababab AB 注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行； 两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。 矩阵加法的运算律： (1) A+ B = B+ A (2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C ) 设矩阵 A= (aij) ，记A= ( aij)，称

5、A为矩阵 A的负矩阵。 由矩阵加法的定义，显然有 A+ ( A) = O， 由此，矩阵的减法可定义为 B =+ ( B) 2.矩阵的数乘：矩阵的数乘：数与矩阵的乘积记为A或 A，并规定： 11121 21222 12 . . . . n n mmmn aaa aaa aaa A 由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵 同型的矩阵，并且，是用数与矩阵的每一个 元素相乘。 矩阵数乘的运算律： 矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性 运算。 3.矩阵的乘法：矩阵的乘法：设矩阵 A为mn 阶矩阵、矩阵 B为 np 阶矩阵，A= (aij) mn 、B= (bij) np ， 则矩阵 A与 B 的乘积为

6、一 mp 阶矩阵 C = (cij) mp，记 C = AB， 且 (1)()() (2)() (3)() AA AAA ABAB 1 1 . . . . j iinij nj b aac b 1 12 2 1 1,2, () 1,2, ijijijinnj n ikkj k ca ba ba b im a b jp 就是说，矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于 矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的 对应元素的乘积之和。 (1)()() (2) ()()() (3) ()() (4) mm nm nm nnm n AB CA BC ABA BAB A BCABACBC

7、 ABACA E AAAEA 矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列 数与右矩阵的行数相等； 矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序， AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积； AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义， 也不一定相等； AB = O 不一定有A= O或B= O ； A(X Y ) = O 且 A O 也不可能一定有X=Y 1 111 1 111 22 22 . AB ABBA ABABBA O 0 如： 显然有： 矩阵乘法不满足交换律与结:消去律总 只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的 乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有 下面的式子： (1) An Am = A

8、n+m (2) ( An )m= An m (3) ( AB ) k Ak Bk () n n nAAAA为正数 4.矩阵的乘幂：矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义： 5.矩阵的转置：矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列 得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 AT。 如果 A是一个 mn 阶矩阵，那么 AT 就是 一个 nm 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同 序数的列 T 14 123 25 456 36 AA TTTTT TTTTT (1)() (2)() (3)() (4)() AAABAB AAABB A 证明：设矩阵 A为ms 阶矩阵，矩阵 B为sn 阶矩阵，那

9、么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正 好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+bsiajs 而b1i，b2i，bsi 正好是 BT的第 i 行， aj1,aj2,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT 的第 i 行第 j 列的元素。故 ( AB )T = AT BT 6.方阵的行列式方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元 素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记为 | A| 或 det A。 注意：行列式与方阵

10、是两个不同的概念，且它 们的记号也是不同的。 方阵的行列式满足以下运算规律(设 A、B为 n 阶方阵，为实数) T (1)| | (2)| (3)| | (4)| | n AAAA ABA BABBA 2.上上(下下)三角矩阵：三角矩阵： 10.00.0 01.00.0 . . . . . . . 00.100. k k kk k E 1112111 2222122 12 .0.0 0.0 . .00. n n nnnnnn aaaa aaaa aaaa 1.数量矩阵数量矩阵： 矩阵 k E 称为数量矩阵。 三、几类特殊的矩阵 3.行阶梯矩阵与行最简矩阵行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个 mn 阶矩

11、 阵 A= (aij)它的第 i 行的第一个非零元素记为 ,如果当ik时,有 ji jk 时，称 A为行阶梯矩 阵。 若矩阵 B 满足以下条件 (1) B是行阶梯矩阵； (2) B的每一非零行的第一 个非零元素为1； (3) 每一非零行的第一个非零元素所在的列 除它自身外其余元素全为零。称矩阵 B 为行 最简矩阵。 i ij a 2 3 0 0 1 5 0 0 7 8 2 0 0 0 0 1 0 9 0 0 0 0 0 0 A 1 3 0 0 1 5 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 9 0 0 0 0 0 0 B 4.对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵： 设 A为 n 阶方阵

12、， 若AT = A，即 aij = aji (i,j=1,2,n)，称矩阵A 为对称矩阵； 若AT = A，即 aij = aji (i,j = 1,2,n)，称 矩阵 A 为反对称矩阵。 5.正交矩阵正交矩阵： 若 n 阶方阵 A 满足 AAT= ATA=E 称 A为正交矩阵。 6.幂等、幂零、幺幂矩阵幂等、幂零、幺幂矩阵： 若 n 阶方阵A满足： A2 = A，称 A为幂等矩阵 Ak = O，称 A为幂零矩阵 Ak = E，称 A为幺幂矩阵 7.伴随矩阵：伴随矩阵：设 A=(aij)nn，矩阵A中元素aij的代 数余子式Aij构成的如下矩阵 11211 * 12222 12 . . . .

13、 . . n n nnnn AAA AAA A AAA 称矩阵A的伴随矩阵，记为A * (det)AAA AA E 伴随矩阵有如下重要性质： T1 1 1 2 31 2 3 n ABCAB C 设， 求 例例1 1 11 23 11 2 3 3 2 .()().() ().() 1 1 1 1 23 2 3 3 11 1 1 23132 1 2 3 331 n nnn CCC CABABAB A BABA B BA C 而 所以： 解： T T TTTTTTT T ()() n ABA B AB AA B ABB ABB AB B AB 设 、 为阶矩阵，且为对称矩阵， 证明，仍是对称矩阵。

14、因为，所以证 故是对阵 ： 。 明 称矩 例例2.2. T TTTTT TTT () () () n ABAB ABBA ABABAB ABB AAABB ABB ABA ABBAAB 设 、都是 阶对称矩阵，证明是 对称矩阵的充要条件是 是对称矩阵 而，又， 所以有： 故是为对称矩阵 证明： 的充要条件. 例3. TT 12 T T TTTTT T T2T2TT2 TT ( ,.,) 2 (2)(2) 2 (2)44() 44()( 4 n x xx n XX X EHEXXH HHE HEXXEXX EXXH HHHEXXEXXXX EXXXX 设列矩阵满足 =1, 为 阶单位矩阵，,证明

15、是对 称 ： 矩 证 阵，且= 明 例 . T TTT TT ) 44() 44 XX EXXX X X X EXXXXE 设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使 得 A B = B A = E 恒成立，则称矩阵 A 可逆；B 称为 A 的逆矩阵， 记为 A1 = B 。 1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则 B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2 一、可逆矩阵的定义 二、可逆矩阵的判断 2.若| A|0，则 A可逆，且 1* 11211 11121 * 12222 21222 12 12 1

16、. . . . . . . n n n n nnnn nnnn ijij aaa aaa aaa a A A A A A A A A A A A A A A A A其中是矩阵 的元素 的代数余子式。 证明：由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘 法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又 |A| 0 *1* 111 ()() : | AAA AEAA AAA 故 3.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB = E 则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。 证明： AB = E | A| | B | =1 故 | A| 0且| B| 0，A、B均可逆， 且 A1=B 1.若 A 可逆，则 | A| 0 证

17、明： A可逆 A A1 = A1 A = E 故 | A| A1 |=1， 即 | A| 0 同时还有 1 1 | | A A 三、可逆矩阵的性质 奇异矩阵与非奇异矩阵： 若n方阵的行列式 | A| 0，称矩阵 A为 非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。 2.如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (AT)1(A1)T (AB)1B 1A1 证明： A、B均可逆 AA 1=A1AE 故 (AA 1)T=(A1)TATET=E (AT)1=(A1)T 同理 (AB)(B 1 A1) (B 1 A1) (AB) E (A)1=1 A1 1 1 1 1 1 .0 1 . 1 1 n n n n

18、a aa a a a AA BABBAE AB 设且，求： 且 所以 例 有解： 1 * 1* 3 1 . 0 2 21 6 0 3 11 1 3 6 1 0 2. 2 AA AA AA A 例 解： 设，求 ， 1 * 1* 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 12 10 0 12 1 1 0 012 0 001 12 3 10 10 12 1 0 012 01 . 00 AA AA AA A 设，求： ， 例 解： 所以 121 21 21 21 2 (). (). (.() (. 4 . . (. k k k k k k k A EAEAAA EA EAAA

19、EAAAEA EAAA AAA EAE 0如果，那么 （） ） ） 例 证明： ） *1 * * *1 () . 0 1 () 5. AAA AA A AAAA E AA AAEA AA AA A Q 设矩阵 可逆，求证也可逆，并求 可逆，有由公式 有 ， 可逆 且 例 证： 21TT11 1TT11 T1TT111 1 T11 T11 1 ()() () () () () () () () () () () () ()( 6 ) . n ABA ABEEA BEBA EA BEBA EA BAABA EB AAB A EB AA AB EBAA AB ABAB 已知 ， 为阶对称矩阵，且 可

20、逆， ，化简 例 解 ： ： 22 AB *1 1 * (A) (B) (C) (D 7. ) nn nD A AAAA AAAA 设 为 阶可逆矩阵，则 例 111 (A) (B) 8. (C) (D) () nC AB ABABABBA ABA BABBA 设 ， 为 阶矩阵，则例 1 2 31 3 2 1 2 2 1 ,2 0 , 5 3 3 4 33 9. 1 . ABC XAXBC 已知 求矩阵 使满足 例 11 1 2 3 2 1 2 2 120,10, 5 3 3 4 3 132 31 3 23 5 2 , 52 111 AB AB A B 均逆，且 解 可 ： 11 1321

21、3 31 3 23 5 22 0 52 1113 1 1121 31 02104 . 52 02104 XA CB 故： 2 310:041 .AAEOAAE已知，证明和都可 逆，并求出 例 它们的逆矩阵 1 3 (3 )10 10 1 (3 ) 10 AE A AEEAE AAAE所以 可逆且 证： ， 明 11 1 1 1 1 ()() ()() () () ()() ()() 11. n ABEABEBA EBAEB EABA EBA EB EABA EBAEBA B EABA EBABBAB EABA EBAB EAB EABA EBABAE 设 ， 为 阶方阵，且与均可逆， 证 ：

22、明： 例 证 1 (4)()6(4) 6 1 (4)() 6 AE AEAEEAEE AAEAE 又 所以 可逆，且 本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的 方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线 与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩 阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上 的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些 小矩阵当做一个数来处理。 11121314 21222324 31323334 aaaa aaaa aaaa AA例如，设矩阵，将矩阵 分成子块的形式有很多种，下面就是三种不同 11121314 21222324 31323334 1112131411121314 21222

23、32421222324 3132333431323334 1112 2122 1) 2) 3) 1) aaaa aaaa aaaa aaaaaaaa aaaaaaaa aaaaaaaa AA A AA 的分块形式： 在分块形式中，其中 111112121314 23242122 2122 31323334 , aaaa aaaa aaaa AA AA ， 1112111121 2122221222 1212 . . . . . . . . ss ss rrrsrrrs AAABBB AAABBB AB AAABBB 即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和 就是以Aij与Bij为元

24、素的形式矩阵相加。 一、分块矩阵的加法：设矩阵A、B是同型 矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法 1111121211 2121222222 1122 . . . . ss ss rrrrrsrs ABABAB ABABAB A ABABAB 二、分块矩阵的乘法：设矩阵 Amn、Bnp 且矩阵 A 列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。 1112111121 21222 21222 12 12 1 2 1 12 1 2 2 . . . . . . . . . . . s r s s t s t rrrs ssst t m m m p nn n n p n n p AAABBB AAA ABBB

25、B AAA BBB 11121 21222 12 1122 12 1 1 2 . . . . . . . . ( 1,2,.,1,2,., ) t t rrrt s pqpqpqpssqpkkq k t r ppp m rq m p m t CCC CABCCC CCC CA BA BA BA B 于是有，其中 ， 111 12222 12 11121 21222 12 TTT 21 TTT T TTT . . . . . . . . . . . . r r ssrs s s rrrs AAA AAA AA AAA AAA AAA AA AAA 设矩阵 的分块矩阵为 则矩阵 的转置矩阵为 三、

26、分块矩阵的转置 它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵， 而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则 称 A为准对角矩阵准对角矩阵（或分块对角矩阵分块对角矩阵）。 对于准对角矩阵，有以下运算性质： 若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设 1 2 0 . 0 0. 0 . . . . 00 . s A A A A 四、准对角矩阵 若矩阵A的分块矩阵具有以下形式 11 22 0 . 00 . 0 0. 00. 0 . . . . . . . 00 .00 . ss AB AB AB AB 则： 11 22 0.0 0.0 . 00. ss AB AB AB AB 11 22 0.0 0.0 .

27、 00. ss AB A B AB A B T 1 T T 2 T 0 . 0 0. 0 . . . 00 . s A A A A 若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵 均可逆，则矩阵A也可逆，且 1 1 1 1 2 1 0.0 0.0 . . . 00. s A A A A 1 2 12 0 . 0 0. 0 . . . . . 00 . s s A A AA AA A 五、矩阵分块的应用 1 5 0 0 0 3 1 0 2 1 1. AA AA 设求 根据矩阵 的特点，对 进行 例 解：如下分块 1 1 2 11 122 1 1 5 11 1 2 5 0 0 0 0 3 15 0 0 2

28、 1 13 111 2 12 3 5 00 0 011 0 02 3 A AA A AAA A A A ，其中、 、 1 11 1112 2122 11121 21222 12111 22212 1211122212 11 11122122 2 , . , 0 A XABX B 0 XX XXXE XX XXE00 A XXB 00 E X B X AE0 X B X A0 E X BE X A0X B0 X AE X0XBXAX0 X 设且 与 均可逆，求 设 例 解：则有 即 ， 1 1 1 0B A0 1 2 3 123 1 2 0 0 0 3 7 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

29、 0 9 5 0 0 0 7 4 1 2 0 0 0 3 7 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 9 5 0 0 0 7 4 1 2 9 5 |1 3 7 7 3. 4 AA A A AA A AA AA 设，求 对 进行分块如下解： 例 ： 1 11 1112 2122 11121 21222 11121 112112222 . . 4 A 0 XAC B C X XX XX XE XX XXE0A 0 B CXX0 E AXAXE0 BXCXBXCX0 E 设， 且与均是可逆例 解： 矩阵， 求 设即： 1 11 111 12 12 11 1121 21 1 12222 22 1

30、1 111 0 XAAXE XAX BXCXXC BA BXCXE XC A X C BAC 故： 00 0 1 T T TT T1 T1 T1TT1T1 1 T 1 T 1 TT1 T1 T 111 1 1 ()()() ()()() 5 . A B XAC 0 C X A0 X BC A0 X CBAC A0 X CBAC AA BC X 0C Q - 例 解： 设且 与 均是可逆矩阵， 求 （） （） （） （） 故： 1 1 111 1 112312 1 3 3 1111 1 3123 6. 2 1 3 4 0 2 1 3 0 0 2 1 0 0 0 2 5 511 8 1624 11

31、 5 0 24 8 AA AA A AA A A A A AAA A A 例 解： 设，求 ， 0 0 5511 24816 511 1 248 11 24 1 2 0 0 0 0 0 0 A故： 六、矩阵按行、列分块 11121 T 2122212 12 T 1 T 2 T . .(,.,) . . . 1,2,., . n niiiin mmmn m aaa aaaaaa im aaa A A L 记 ， 则： 11121 21222 12 1 2 12 . . . . . . (1,2,. ) (,.,) . n n mmmn j j jn mj aaa aaa aaa a a jn a A A 记则 11 112211 21 122222 1 122 11121111 22212222 . . . . () . . . nn nn mmmnnm ij n n nm a xa xa xb a xa xa xb a xaxa xb a aaabxb xbaaab xb A xbB 对于线性方程组 记 12 . . . . mmmnm aaab Axb则 如果把系数矩阵A按行分成m块，则线性 方程组 可记作bAx