图形的相似(易错题)

1、图形的相似易错题解答题（共25小题） ABC中，/ A=90,点D在线段BC上（端点B除外），/ C, BEX DE 于点 E, DE与 AB相交于点F,过F作FM / AC交BD于M .MX,ACBDCEMDC圉1I2（1）当 AB=AC时（如图 1）,求证： FM=MD;FD=2BE（2）当AB=kAC时（k0,如图2）,用含k的式子表示线段FD与BE之间的数量关系，并说明理由.2.如图，在 ABC中，AB=8cm, BC=16cm动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s;如果P、Q两动点同时运动，那么何时厶QBP与 ABC相似？3.晚

2、饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：你有多高？ ”小军一时语塞.小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站 在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长 BF恰好为2块地砖长已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC为1.6米，MN丄NQ, AC丄NQ，BEL NQ.请你根据以上信息， 求出小军身高BE的长.（结果精确到0.01米）4如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E,连接BP并延长交

3、AD 于点F,交CD延长线于点G.（1）求证：PB=PD（2）若 DF: FA=1: 2请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；5. 已知：如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BFLAE于F.试证明：AB?AD=AE?BFD、E在 AC同侧，/ A=Z C=90, BD丄BE, AD=BC(1) 求证：AC=ADrCE(2) 若AD=3, CE=5点P为线段AB上的动点，连接 DP,作PQ丄DP,交直线BE于点Q 若点P8如图，已知?ABCD的对角线交于 0点，M为0D的中点，过M的直线分别交 AD于CD于P、Q，与BA、BC的延长线于E、F(1) 如图 1,若 EF/ AC

4、,求证：PE+QF=2PQ(2) 如图2,若EF与AC不平行，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不成立，请 说明理由.9.如图，在 ABC中，/ ACB=90, BC的垂直平分线 DE交BC于D,交AB于E, F在射线DE上，并且 EF=AC(1) 求证：AF=CE(2) 当/ B的大小满足什么条件时，四边形 ACEF是菱形？请回答并证明你的结论;(3) 四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？10已知，把RtABC和RtA DEF按图1摆放，(点C与E点重合)，点B、C、E、F始终在同一条直 线上，/ ACB=/ EDF=90，/ DEF=45，AC=8 BC=6 EF=1Q

5、如图 2，A DEF从图 1 出发，以每秒 1 个单位的速度沿CB向厶ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移 动，AC与ADEF的直角边相交于Q,当P到达终点B时， DEF同时停止运动，连接PQ,设移动的 时间为t (s) 解答下列问题：(DEF在平移的过程中，当点 D在RtAABC的边AC上时，求t的值；(2) 在移动过程中，是否存在 APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.(3) 在移动过程中，当0vt 4),点P是AB边上的任意一点(不与点 A、B重 合)，连接PD,过点P作PQ丄PD,交直线BC于点Q.(1) 当m=10时，是否存在点P

6、使得点Q与点C重合？若存在，求出此时 AP的长；若不存在，说 明理由；(2) 连接AC,若PQ/ AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示);(3) 若厶PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式, 并写出m的取值范围.22. 在 ABC中，/ ACB=90, AC=4, BC=3 D是边AC上一动点(不与端点 A、C重合)，过动点D的直线I与射线AB相交于点E,与射线BC相交于点F,(1) 设CD=1,点E在边AB上, ADE与厶ABC相似，求此时BE的长度.(2) 如果点E在边AB上，以点E B、F为顶点的三角形与以点E、A、D为顶点的三角形相似，设C

7、D=x BF=y,求y与x之间的函数解析式并写出函数的定义域.(3) 设CD=1,以点E、B、F为顶点的三角形与以点 E、A、D为顶点的三角形相似，求 Sebf: 5ead23. 如图，在梯形 ABCD中, AD/ BC, AB=CD=BC=6AD=3.点M为边BC的中点，以 M为顶点作/ EMF=Z B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,连接EF.(1) 求证： MEFA BEM;(2) 若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；(3) 若EF丄CD,求BE的长.24. 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设 B2D1C1的面积为$, B3D2C2

8、的面积为S2， Bn+lDnCn的面积为S，通过计算S, 9,，的值，归纳出&的表达式(用含n 的式子表示).屍 5 鸟 為 屯G q Q G G25. 如图，在 ABC中，E为高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点(点F在高AD上，且不与 A、D重合).过点F作BC的平行线与AB交于P,与AC交于Q,连接PE并延长交直线BC于点N， 连接QE并延长交直线BC于点M，连接PM、QN.(1) 试判断四边形PMNQ的形状，并说明理由；(2) 若要使四边形PMNQ是一个矩形，则 ABC还应满足什么条件？请说明理由；(3) 若BC=10, AD=6,则当点E在何处时，四边形PMNQ的面积与厶APQ的

9、面积相等？2017年11月04日数学1的初中数学组卷/ C，BE DE 于点 E, DE与 AB解答题（共25小题）ABC中，/ A=90,点D在线段BC上（端点B除外），/相交于点F,过F作FM / AC交BD于M .EB(1)当AB=AC时（如图J/ D/ MFD=22.5 , 二/ DMF=/ MFD,. MF=MD;如图1:作BG平分/ ABC,交DE于G点，二BG=GD BEG是等腰直角三角形设 EF=x BE=y 贝U: BG=GD= : :y , FD=二y+y x ,得：x= C ： 1） y，二 FD=2BEy zWzy（2）解：过点D作DG/ AC,交BE的延长线于点G,与

10、BA交于点/ befa deb：DG/ AC,./ GDB=/ C,v/ EDB二 / C,./ EDB=Z GDE BE! DE,./ BED=/ DEGZEDG=ZEDBDE=DEZged=ZbedGN,心DEG和厶DEB中, DEGA DEB (ASA,.BE二GB,/ BND=/ GNB=90，/ EBF/ NDF,.GBNA FDN,.又 DG/ AC,.BNDA BAC,二BN.ABac，即亠DN=ACFD ND=k 丄-=k , ,FD 2 BEBNFD2DMBE(2)当AB=kAC时（k0,如图2）,用含k的式子表示线段FD与BE之间的数量关系，并说明理由.【分析】（1）利用等

11、腰直角三角形得出结合平行线的性质得出/ DMF=/ MFD,进而得出答案;根据题意证明厶BEFA DEB,然后利用相似三角形的性质，得到 BE与FD的数量关系;（2）首先证明厶GBNA FDN,禾用三角形相似的性质得到 BE与FD的数量关系.【解答】（1）证明：如图 1,v AB=AC / A=90二/ ABC=/ C=45EDB二 /C/ EDB=22.5 FM/ AC,FMB=45 ,B在 BEF?3 DEB中E=/ E=90 / EBF/ EDB=22.5BEFA DEB【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算.（2）结合图形利用三角函数和

12、相似三角形进行计算求出线段间的关系.2.如图，在 ABC中，AB=8cm, BC=16cm动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s;如果P、Q两动点同时运动，那么何时厶QBP与 ABC相似？【分析】设经过t秒时，以 QBC与厶ABC相似，则AP=2t, BP=8- 2t, BQ=4t,利用两组对应边的比 -L . _ .当相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论:BP一BABC时， BPQ BAC,即達匚16BP.BQfBCBA, BP3A BCA 即8-21 .4t168，然后方程解方程即可.【解答】解：设经过t秒时，以 QBC与

13、ABC相似，则AP=2t,BP=8 2t, BQ=4t,vZ PBQ=Z ABC,一=时， BPBAC 即8-2t -.4t816,解得 t=2 (s);BPBQBCBA时， BPQA BCA 即当8-21 .4t168,解得 t=0.8 (s);即经过2秒或0.8秒时，QBC与 ABC相似.【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.利 用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键.3.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军： 你有多高？ ”小军一时语塞.小聪思考片刻， 提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是，两人在灯

14、下沿直线 NQ移动，如图,当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站 在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长 BF恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为 0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC为1.6米，MN丄NQ, AC丄NQ, BEL NQ.请你根据以上信息,求出小军身高BE的长.（结果精确到0.01 米）【】先证明 CAXA MND,利用相似三角形的性质求得 MN=9.6,再证明 EFLA MFN,即可解答.【解答】解：由题意得：/ CAD=Z MND=9 ,Z CDA=Z MDN, CAi MN .L6 1X0.8I厂却 X0.可；

15、MN=9.6,又/ EBFW MNF=90 ,Z EFB玄 MFN,a EFBA MFN,.EB.BF小军身高约为1.75米. EB 1.75,【点评】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是相似三角形的判定.4.如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接 于点F,交CD延长线于点G.(1)求证：PB=PDD 3(2) 若 DF: FA=1: 2 请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由； 当 DGP是等腰三角形时，求tan / DAB的值.【】(1)根据菱形的性质得出/ DAP=Z PAB AD=AB,再利用全等三角形的判定得出厶 APBA APD;(2)先证

16、明厶DFPA BEP进而得出匹，墮丄，进而得出理型艮送里匕，即可得出答案；AB 2 AB 3PE EB 2 FP由(1)证得 APBA APD，得到/ ABP=/ ADP,根据平行线的性质，得到/ G=Z ABP, ( I )若DG=PG根据厶DGP EBP，得DG二a,由勾股定理得到FH彳简匚电Z，于是得到结论；29(H ) 若 DG=DP 设 DG=DP=3m 贝U PB=3m, PE=BE=PF=2m AB=AD=2DG=6m AF=4m, BF=5m,设 AH=x,求得 FH= t -厂-|，得到 tan/DAb=【解答】(1)证明：四边形 ABCD是菱形，二AB=AD AC平分/ D

17、AB,：/ DAP=/ BAP,Cab=ad心 APB 和 APD 中，山肿=ZDAP,.APBA APD,： PB=PDIap=ap(2)解：四边形 ABCD是菱形，：AD/ BC, AD=BC ： AFFA CBF,:,二二二，：，由(1)知 PB=PD :丄二丄，：PF二PD.BC BF FA 2 BC 3 BF 3PD 33由(1)证得 APBA APD,：/ ABP=/ ADP,v GC/ AB,：/ G=/ ABP, :/ ADP=/ G,:/ GDP/ G,： PDmPG.(I) ,若 DG=PG T DG/ AB, ： DGPEBP, : PB=EB 由(2) 知 ,设 PF=

18、2aPD 3贝U PB=BE=PD=3a PE=PF=2a BF=5a,由厶 DGP EBP,得 DG号a , : AB=AD=2DG=9a : AF=6a, 如图1,作FH丄AB于H ,设AH=x, 则(6a) 2- x2= (5a) 2-( 9a- x) 2 ,解得 x=-a , : FH= |一 ,:tan/DAB=, - ; (U)若 DG=DR 如图 2 ,jklL J设 DG=DP=3m 贝U PB=3m PE=BE=PF=2m AB=AD=2DG=6m AF=4m, BF=5m,设 AH=x,：(4m) 2 - x2= (5m) 2 -( 6m- x) 2 ,_9解得x=m ,m

19、，4=1= I FH=4一 tan / DAB【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.5.已知：如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF丄AE于F.试证明：AB?AD=AE?BJF【分析】根据四边形ABCD是矩形可得出/ BAD=/ D=90，再根据相似三角形的判定 定理可得出 AD3A BFA由相似三角形的对应边成比例即可得出结论.【解答】 证明：四边形 ABCD是矩形，/ BAD=/ D=90. （1 分）/ 1+/ 2=90. ： BF丄AE,ADEA BFA / AFBN 1

20、+/ 3=90. / 2=/ 3 . （2 分）又/ D=/ AFB=90，（3 分）ADEA BFA （4 分）.俎少 BP AB AB?AD=AE?BF （5 分）【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，能根据题意得出 是解答此题的关键.6. 如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，/ A=/ C=90, BD丄BE, AD=BC（1）求证：AC=ABCEDP,作PQ丄DP,交直线BE于点Q.若点P（2）若AD=3, CE=5点P为线段AB上的动点，连接与A、B两点不重合，求丄的值.【分析】（1）根据同角的余角相等求出/仁/E,再利用 角角边”证明 ABD和厶CEB全等，根据全等三

21、角形对应边相等可得 AB=CE然后 根据AC=ABhBC整理即可得证；（2）过点Q作QF丄BC于F,根据 BFQ和厶BCE相似可得丄-亠，然后求出QF丄BF,再根据 ADP和厶FPQ相似可得，然后整理得到（AP- BF） （5 -AP） =0,3rr Ur从而求出AP=BF最后利用相似三角形对应边成比例可得要;異，从而得解.【解答】 解：（1）v BD丄 BE, / 1 + / 2=180 - 90=90, v/ C=90, / 2+/E=180- 90=90, / 1=/ E,v 在厶 ABD和厶 CEB中,rZL=ZEo，厶二ZC二SO , ABDACEB（AAS , - AB=CE -

22、AC=ABC=ADfCE lad=bc(2)如图,过点Q作QF丄BC于F,贝仏BFW BCE 亠，即丄-丄，BF,v DPI PQ,aZ APC+Z FPQ=180 9090,vZ APDfZ ADP=180 - 9090, /-Z ADP=Z FPQ又 vZ A=Z PFQ=90 ,ADP FPQD ,即PE QF整理得,(AP- BF) (AP- 5) =0 ,:点P与A , B两点不重合, AP5 , AP=BF 由厶ADPA FPQ得 , -，/PQ QF3 AP丁5AP- A+AP/BIBF,E3 5【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，(1)求出三角形全

23、等的条件Z仁Z E是解题的关键,(2)根据两次三角形相似求出 AP=BF是解题的关键.1 - - =k ,求 k 的值.且7 已知【分析】【解答】b分a+b+尸0时,禾I用合比性质解答即可,a+b+c=0时,用c表示出a+b ,计算即可得解.解： a+b+c0 时，v I - - 1=k - k-1a-Fb+c=2；ba+b+c=0 时，a+b=- c , a+c=- b , b+c=- a,所以，k=- 1,综上所述，k 的值为 2 或-1.c【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了合比性质，易错点在于要分情况讨论.EC F8如图,已知?ABCD的对角线交于 O点,M为OD的中点,过M的直线

24、分别交 AD于CD于P、Q , 与BA、BC的延长线于E、F(1) 如图 1,若 EF/ AC,求证：PE+QF=2PQ(2) 如图2,若EF与AC不平行，贝U( 1)中 的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不 成立，请说明理由.【分析】(1)先由MP/ OA, DM=MO,得出DP=PA再由平行四边形的性质得出Z EAPZ QDP, ZAEP=/ DQP,然后利用 AAS证明 APEA DPQ 得出 PE=PQ 同理,QF=PQ 贝U PBQF=2PQ(2)过O点作ON/ AD交EF于N ,则ON是梯形CFPA的中位线,由梯形中位线的性质定理得出AP+CF=2ON 再利用 AAS证明 OM

25、NADMP ,得出 ON=PD,贝U AP+CF=2PD 然后由 CF/ PD ,根据平行线分线段成比例定理得出丄,由DQ/ AE,根据平行线分线段成比例定理得出丄手,将两 j y l jj厂如 I： u个式子相加,化简整理后得出 QF+PE=2PQ判断(1)中的结论仍然成立.【解答】 解：(1)如图 1, v MP/ OA, DM=MO , DP=PA 在？ABCD中,v AB/ CD, Z EAP=/ QDP, Z AEP=Z DQP.在厶 APE与厶 DPQ 中,rZEAP=ZqDPZAEP=ZMP、FA=FD(2)若EF与AC不平行，则(1)中的结论仍然成立., APEA DPQ (A

26、AS , PE=PQ同理，QF=PQ 二 PE+QF=2PQ理由如下:如图2,过0点作ON/ AD交EF于N,贝U ON是梯形CFPA勺中位线，贝U AP+CF=2ON易证 OMN 也 DMP ,/ ON=PD,AP+CF=2PD CF/ PD,/EDED=AP5-CiFC F周，圏1IH2，即=2,PDDQ/ AE,/ 1 -QHPE CF+AP 2PDQF + PE_CF+APPQ PQ PDPEPQPD/ QF+PE=2PQ【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，梯形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，有一定难度.(2)中正确地作出辅助线,利用平行线分线段成比例定理

27、得出斗丄和是解题的关键.9.如图，在 ABC中，/ ACB=90, BC的垂直平分线 DE交BC于D,交AB 于E, F在射线DE上，并且EF=AC(1) 求证：AF=CE-(2) 当/ B的大小满足什么条件时，四边形 ACEF是菱形？请回答并证明 你的结论；(3) 四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？【分析】(1)先根据FD丄BC,Z ACB=90得出DF/ AC,再由EF=AC可知四边形EFAC是平行四边形， 故可得出结论；(2) 由点E在BC的垂直平分线上可知 DB=DC=BC, BE=EC由直角三角形的性质可求出/ B=Z ECD=30,再由相似三角形的判定定理可知 BD3A BC

28、A进而可得出AE=CE再求出/ ECA的度数即 可得出 AEC是等边三角形，进而可知 CE=AC故可得出结论；(3) 若四边形EFAC是正方形，贝U E与D重合，A与C重合，故四边形ACEF不可能是正方形.=L，即 BE=-AB,. AE=CE又 vZ ECA=90 - 3060,BA BC 22 AEC是等边三角形二CE=AC：四边形EFAC是菱形；(3) 不可能若四边形EFAC是正方形，贝U E与D重合，A与C重合，不可能有Z B=30.【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线及直角三角形 的性质、正方形的判定与性质，涉及面较广，难度适中.10已知，把R

29、tABC和RtA DEF按图1摆放，(点C与E点重合)，点B、C、E、F始终在同一条直 线上，Z ACBZ EDF=90，Z DEF=45, AC=8 BC=6 EF=1Q 如图 2,A DEF从图 1 出发，以每秒 1 个单位的速度沿CB向厶ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移 动，AC与ADEF的直角边相交于Q,当P到达终点B时， DEF同时停止运动，连接PQ,设移动的 时间为t (s).解答下列问题：(DEF在平移的过程中，当点 D在RtAABC的边AC上时，求t的值；(2) 在移动过程中，是否存在 APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理

30、由.(3) 在移动过程中，当0vt 5时，连接PE,是否存在厶PQE为直角三角形？若存在，求出t的值; 若不存在，说明理由.【分析】(1)根据等腰三角形性质求出即可；(2)AP=AQ求出即可；AP=PQ作PH丄AC于H,根据相似得出比例式，即可求出答案；AQ=PQ 作PH丄AC于H,根据相似得出比例式，当 5t 10时，AQ=PQ作PH丄BC, PG丄AC,禾U用相似 与勾股定理，即可求出答案；AA(3)分为三种情况，/ PQE=90, / PEQ=90,/ EPQ=90,根据勾 股定理得出方程，求出方程的解，看 看是否满足小于10即可.【解答】解：(1)当D在AC上时，v DE=DF 二 E

31、C=CF=EF=5 二 t=5 .2(2)存在.v AP=t,Z EDF=90，/ DEF=45, / CQE=45=Z DEF, / CQ=CE=t圏2 ABCFAQ=8- t，当 OW tv 5 时， AP=AQ t=8 - t，二 t=4;AP=PQ 作PH丄AC于H，AH=HQ丄 AQ=4-1v PH/ BC,AH丄，. t=: AQ=PQ_ u. O1 J2作QI丄AB于I,v/ AIQ=Z ACB=90,Z A=Z A,M. 一t=,A_QAB，Lt 10 AIQsAACB 二A|=P|=AP亍t (等腰三角形的性质三线合一)当 5 t 4),点P是AB边上的任意一点(不与点 A、B 重合)，连接PD,过点P作PQ丄PD,交直线BC于点Q.(1) 当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时 AP的长；若不存在，说门c明理由；V(2) 连接AC,若PQ/ AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示)；丿/(3) 若厶PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函