圆锥曲线秒杀法讲课稿

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除圆锥曲线秒杀法吴磊研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线一、圆锥曲线部分小题用到的方法1、椭圆C: x28+y2/2=1与斜率K=1/2的直线I相切，则切点坐标为注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法法一、隐函数求导直接对C： x2/8+y72=1求关于X导数可得x/4+yy=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为(-2,1)和(2,-1)；法二、缩放坐标将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴压缩为原来的1/2，即x=2x(这里不是导数，只表示一个未知数)；斜

2、率K=2K=1，椭圆 化为圆C: x2 y2=2;很容易求得I与C相切于(-1,1)和(1,-1)，还原, 可知I与C相切于(-2,1)和(2,-1)2、椭圆C： x24+y73=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:法一、直接用柯西不等式椭圆和直线相交，最小距离为0,最大距离为椭圆C与I平行的切线I与I的距离，l= x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x24+y2/3) (4+12 )(x-2y)2;-4 b4;把4和-4代入I;再利用平行线距离公式求I和I距离，最大距 离为5所以0Wdw5法二、缩放坐标系椭圆和直线相交，最小距离为0,最大距离为椭圆C与I平行的切线I与I的距

3、离。l= x-2y+b=0 ;缩放 y= v3/2 y;椭圆 C 缩放后方程 C为:x2+y2=4; I 缩放后表达式为I=x- v3y+b=0, C与I相切，利用点到直线距离为半径，容易求的b=4和-4;再利用平行线距离公式很容易求得范围 为 0Wd (x-my)2可得，m212,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为-v3/6 k 12,注意是反设斜率，故 k= 1/m;很容易解出k的范围为-v3/6 k L, an bnaia2L an 、.、bib：L变形公式3不等式三角公式2 2. 2；aia2Lan2bi2a2 b2L2anbn 柯西变形公式42anbn2ai 比 L

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20、 “teller-/)i tana Im/j1 + lUtU Mfl& ZTJC-少亦3乩用=a , Z.V IB“=卩TCLmiX - 50 - dnZBTTSCsTC也北0D= AB此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除四、参数方程椭圆参数方程 吴磊一、没吃过猪肉，你还没见过猪跑x=acos 0; y=bsin 9是一组我们熟悉而又陌生的方程，可问题是你真懂他们的含义吗？ 9究竟是个什么东东，和圆参数方程和极坐标方程中9是一个意思吗？1、从一道百分之九十以上人都做错的简单题展开例1、P是椭圆C上一点：x= 4 cos 9 y=2 v3sin 9且在第一象限 0(0为原点)P的倾斜角为

21、n /3，贝U P点的坐标为经典错法：因为倾斜角为n /3，x= 4cos 9;y=2 v3sin，所以x= 4cos 冗/3=2;y=2 3sin 冗/3 =3求得 P 坐标(2、3)正解：椭圆参数方程9是旋转而成的圆心角而不是倾斜角因为OP的倾斜角为冗/3，故OP的斜率K= tan冗/3= V3;v3=y/x2v3sin /9cos =v3 (1)sin dcosa 92=1(2)联立二式，P在第一象限，可解cos 9=v5/5 sin =2 vS/5P 点坐标为(4vS/5、4 VI5/5 )2、椭圆参数方程的推导和含义解释4列J *3 H经I - icA心、刃 心F丄川.u 加 T1i

22、 f 1 iWi G【ml 人出 人涉Hv 八 iml 口勺 亦曲 ill zxfl /X m 丄 cXzt nfli rfcM 丄 八 z jlv im .,十 彳沪 d* 幻i -tH J IV1 FrJ 并九 j：ZbFFj F 纯 ZiJ #V .用气：吐存o l Aox Vj xii * a.jZlrrj ihyrj 収d刈聊1& ” iWg3、椭圆参数方程的设法可能有的同学会按照焦点在X轴:x=acos ； y=bsin 0焦点在丫轴:x=b cos 0; y=asin 0 去记忆，老师告诉你别这么理解，你只要记住 cos 0对应的系数是a和b中大的，cos和扩 大谐音，参数方程还

23、原主要看cos 0前的系数，它一定是大的，焦点在哪个轴，他在哪个下面。二、椭圆参数方程妙用1、椭圆内内接面积问题例1:可设 A( 10 cos 9; 8sin 9 )，利用对称性可知 B( 10 cos- 8sin 9 )C( -10 cos 0 ; - 8sin 9 ); D( -10 cos 9 ; 8sin 9 )AB长度为16 sin 9 ; AD长度为20 cos 9 ,矩形面积S=160 sin2 9,由三角函数知识可知，面积最大为160例2:设椭圆二+匚=1和X的正半轴的交点为儿 a b解：要使SOAPB最大，由图可知SOAB为定值，需求出P到直线AB距离，距离最大 时Sbpa最

24、大，从而Soap最大，用椭圆参数方程设 P为 x=acos 9 ; y=bsin 9直线AB的方程为:x/a+y/b=1用P到AB的距离公式可以求得距离最大为ab( v2-1)2, S 0APB=ab v2/22、椭圆相关距离问题例1：v- + V2 = 1上运劝* 点Q 4/|二圆尹一g =云力*解：用椭圆参数方程设P为 x=2cos Q y=sin ； A(0,3/2)由点到距离公式可知AP最大为5/2,所以PQ最大值为3例2:椭圆约束下二次型最值问题X2若动点P(xzy)在曲线 + yv= 1 (b 0) 运动, 4 b则x2+2y的最大值为解：用椭圆参数方程解，转化成三角函数最值问题。

25、由于b2和4大小未知，显然需要分类讨论0 b2P( x=b cos 0; y=2sin (),转化成求 b2sos 20+4sin 0最大值可求得最大值为2b只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除3、椭圆与向量求范围、求值问题已知椭圆E:,A在E 上( 1,1/2 )，若点P在E上满足(1) 求t的范围(2) 过原点0的直线交E于BC求SA BCA的最大值解：(1)尸2 cos G. sin.= (V3- 2 cos sinFFh = (J5 2 cos 巳一sinDO土 = cos 2 一 2 2m. = 1, mi n = 2cos or, sinC( 2 cos 住亍

26、sin u)耳虫=f 1 2 cos 丄一slaCZz4 = 1 + 2 cos + sin a(a巧%严|冃 ad-bc冷d)1- 2cos a - sin aI 1 .1 + 2 cos 理4-sin. aSmax = v2只供学习与交流图2五、极点极线圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数 学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计 算多方面能力。掌握有关极点与极线的基本性质，才能“识破”试题中蕴含的有 关极点与极线的知识背景，做题事半功倍。1. 从几何角度看极点与极线定义1如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过 P点引 两条割线依

27、次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H，连接EH,FG 交于N，连接EG,FH交于M，则直线MN为点P对应的极线. 若P为圆锥曲线上的点，则过 P点的切线即为极线.由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所 对应的极线因而将MNP称为自极三点形设直线MN交圆锥曲线 于点A,B两点，贝【J PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线定理1 （1）当P在圆锥曲线 上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线;当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为A, B，则点P的极线是直线AB （即切点弦所在的直线）;（3）当P在 内时，过点P任作一割线交 于代B,设 在A, B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q

28、的轨迹定理2如图2,设点P关于圆锥曲线的极线为I，过点P任作一割线交 于PA pbA,B，交I于Q，则PA PB；反之，若有成立，则称点 P,Q调和分割线段 AQ BQAB，或称点P与Q关于 调和共轭，或称点 P（或点Q）关于圆锥曲线的调和共轭点为点 Q（或点P）.点P关于圆锥曲线的调B和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线推论1如图2,设点P关于圆锥曲线的调和共轭2 1 1点为点Q，则有PQ PA PB反之，若有成立,则点P与Q关于调和共轭.可以证明与是等价的事实上，由有AQ BQ PQ PA PB PQ PQ 1 1 PQpQ （丄丄）2PA PB PAPB PAPB（PA PB）2

29、1 1 PQ PA PB.特别地，我们还有推论2如图3，设点P关于有心圆锥曲线（设其中心为O）的调和共轭点为点 Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有 OR2 OP OQ ，反之若有此式成立，则点 P与 Q关于调和共轭.证明：设直线PQ与 的另一交点为R，则PR PROP OR OP ORRQ RQ OR OQ OR OQPRRQ，即点RQP与Q关于调和共轭.即可得OR2 OP OQ .反之由此式可推出推论3如图4，代B圆锥曲线的一条对称轴I上的两点（不在 上），若A,B关于 调和共轭，过B任作 的一条割线，交于P,Q 两点，贝V PAB QAB .证明：因关于直线I对称，故在上存在P,Q的对称

30、点P ,Q 若P与Q重合，则Q与P 也重合，此时 P,Q关于I对称，有 PAB QAB ; 若P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于A, B此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除关于 调和共轭，故 代B为 上完全四点形PQQP的对边交点，即Q在PA上，故AP, AQ关于直线I对称，也有 PAB QAB .定理3 (配极原则)点P关于圆锥曲线的极线p经过点Q 点Q关于 的极线q经过点P ;直线p关于 的极点P在直线 q上 直线q关于 的极点Q在直线p上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2

31、. 从代数角度看极点与极线定义2已知圆锥曲线 :Ax2 Cy2线 I:Axx Cyy D(x x) E(y y)2Dx 2Ey F 0，则称点 P(x0, y0)和直F 0是圆锥曲线的一对极点和极线事实上，在圆锥曲线方程中，以xx替换x2，以x x替换x，以yy替换y2 ，2以也y替换y即可得到点P(xo,yo)的极线方程2特别地:2 2(1)对于椭圆 笃 笃 1，与点P(x,y)对应的极线方程为 弩马 1;a ba b2 2对于双曲线芸占1，与点P(x,y)对应的极线方程为X0X yyb2对于抛物线y2 2 px，与点P(x0, y0)对应的极线方程为 y0yp(x0 x).2 2(4)如果

32、圆锥曲线是椭圆 耸 占 1，当P(x0, y0)为其焦点F(c,0)时，极线恰为 a b2 2椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线仔1F 1，当P(x,y。)为其焦点F(c,0)时，极a b线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线y2 2px，当P(x,y)为其焦点F(,0)时，极线恰为抛物线的准线.3. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆2 21的左右顶点为 A, B，右焦点为F 设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆95分别交于点M (冷yj,，其中m 0 , % 0, y 0 .(1)设动点P满足PF2 PB24，求点

33、P的轨迹;12 X23 求点T的坐标;设t9，求证：直线 MN必过x轴上的一定点(其坐标与 m无关).分析与解:前面两问比较简单，这里从略对于(3)，当t 9时，T点坐标为(9,m)，连MN，设直线AB与MN的交点为K ,根据极点与极线的定义可知，点 T对应的极线经过K，又点T对应的极线方程为x1，此直线恒过x轴上的定点5(1,0)，从而直线MN也恒过定点K (1,0).【例2】(2008安徽卷理22)设椭圆2 X c r a1(a b0)过点M ( /2,1)，且左焦点为R(. 2,0).(1)求椭圆C的方程;此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除圆锥曲线C调和共轭.根据定理2,点Q的

34、轨迹就是点P对应的极线，即4上丄1，化简得2x y 20.42故点Q总在定直线2x y 20上.2 2xyx y【例3】（1995全国卷理26）已知椭圆C :1，直线I :1，P是I24 1612 82上一点，射线 OP交椭圆于点R，又点Q在0P上且满足 OQ OP OR，当点P在I上移动时，求点Q的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线2分析与解：由条件知 OR OP 0Q可知点P,Q关于圆锥曲线C调和共轭，而点Q可看作是点P的极线与直线OP的交点.设P（12t,88t），则与P对应的极线方程为12t x （8 8t） y1,化简得tx (1 t)y 2 又直线OP的方程为y 口 x，化简得12t24162 2tx3t解由联立方程组得6t25t 4t 2，消去 t 得 2x2 3y2 4 4t25t 4t 24x6y，可化为(x 1)2(y 1)25只供学习与交流（x,y不同时为0），故点Q的轨迹是以（1,1）为中心，长短轴分别为 轴平行于x轴的椭圆，但需去掉坐标原点.2【例4】（2006年全国卷II理21）已知抛物线x 4yUJUUJU的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且 AF FB（0），过代B两点分别作抛物线的切线，并设其交点图8为P.uu