定态微扰论和变分法

1、第四章定态微扰论量子力学体系的哈密顿算符 H不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态 波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解，这样近似方法在量子力学中就显 得十分重要。主要介绍两种应用最广的近似方法：微扰论和变分法。微扰论是各种近似方法中最基本的一种，它的许多结果几乎成为量子力学理论的组成部 分，是本章学习的重点；变分法特别适用于研究体系的基态。两种方法配合使用可以得出精确 度较高的结果。1定态微扰论求解定态薛定谔方程H * = E（1） 时，若可以把不显函时间的 H分为大、小两部分AA-0)A(2)H =H H | H(0) L | H |其中（1）h（o）的本征值

2、Eno）和本征函数* n0）是可以精确求解的，或已有确定的结果H(0).：(O) = E(o)t(0)n 一 E n n(3)（2） H很小，称为加在H上的微扰，有时为了表达这种微扰的程度，常引入一个很小参数X（ 0 H （0） H ，所以En0） En，: n0）-n，即微扰的出现是能级和波函数发生变化。（2）微扰的基本思想就是以逐步近似的精神求解薛定谔方程。当时,受微扰后的能级和波函数以rEn屮I nH = H (0) H-的幕级数展开二 En0)占 j2En2) (0)Wy .(2). nnn(4)(5)14Eno）与n0）称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时h（0）的本征能量

3、和本征函数,=0也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按的幕次称为一级修正、二级修正、 把（4）、（5）式代入薛定谔方程（1）中，得到以的幕次区分的一系列方程(6)Q）：（H（o）-Eno）ro）A“(HQ-Enw一（H -En（1）V0）2：（H（o）Eno）v（HEnw En*no） （8）求解以上方程便可得能量和波函数的一级修正、二级修正、（3）各级修正公式零级近似：由（6）式可得零级近似即为Eno）、n0）.一级修正：首先将 - ni）用t no）展开S八aW（9）l、代表求和项中不包含I二n项，这是因为tn0）附加在ni）上仍是（6）式的解。代入（7）式lEi(0)aWI(0)

4、 g () ai _ i 二 En nA.-H(0)n将上式两边同乘以-no）*并对空间积分，注意i=n及n0）的正交归一性，得能量的一级修正为E*）= .X0）*H n0）d.二 Hnn 二 H（ 10）能量的一级修正等于h 在n0）态（零级近似）下的平均值。将上式两边同乘以mfgu n），并对空间积分，可得 Em0）amiEn0）ami.-m0）*-n（0）d.定义Hmn = .-m0）*-n0）（ 11）（ii）式微扰矩阵元，它是微扰计算的核心，也是微扰计算的难点，这样便有（(13)(1)H mnam E(0)_ E(0)E n _ Em代回(9)式，得波函数的一级修正为(. =7H m

5、n(0)n (0) (0) mm En - Em二级修正：设- n2 air（0），代入（8）式，用同样的代算方法得能量的二级修正i=11H nm = -HmnHnmE（0）_卩匚n Em=11mIHnmfE(0)_ e (0)匚nEm(14)最后写成En 二 En0)Hnn+zm2IHnmlE()_ e()E n _ E mH mn 屮(0)E (0) _ E (0) mE n _ E m(15)(4)说明: 用微扰矩阵元求Hmn时，要“对号入座”，如E E30)- H335 =3)m尹 E3_ Em 要充分利用H 对称性，以减少计算量 在有些问题中，E = H nn =0，这时有必要计算能

6、量的二级修正值；若 Hnn = 0, 一级修正已够用。至于-般求和项不可能全为零，故=ni) =o，级修正即可(5)关于微扰论的适用范围微扰公式成立的条件为|Hmn/(En0) -Em0)Z：1或 |Hmn 2：)在律)|( 16)两点说明：一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间隔iEn0) -Em0) i较大，二者是相对的例题1设氢原子中价电子所受有效作用势为2esU(r)-2es a0丸2r其中,2es2e， 0 ： 1。试用微扰论公式计算基态能量。4二；0解：因为A.H2 2 2pe$e$a0s 宁二 H (0) HrA所以H2es a 0=扎叫2r由 H(0)决定的基态能量和波函数为2

7、2es 1 es =22a0 12a0: (0)1= 100 (r )=0基态能量的一级修正为E1 =H；1 =啓1(0)*叫0)屮=晶042a3fVdr4 旦一2扎e：/a00ao2s 0基态能量的一级近似为匚：-ea。-2 e；/a =(1 “囘0)例题2假设氢原子核不是点电荷，而是半径为5的带电球壳，这时-ef/r -ef/r0(r0)(r : r。)计算这种效应对氢原子基态能量的一级修正解：因为 H()= p2/2)_e；/r，所以ElH114 二 e；r0二 a； ；0r0入兀2血H -T)d.二 es21*000 0 0/ _2r/a()e1 r0dr ：0 er00_2r /a,

8、e为了减少积分运算中的麻烦，首先估计一下(rro)(r : r)J r0 丿_2r/a()r2drr2dre/a。的数量级,r r01O4m,a010 J0m故 e/a。13a01。2,4e；” 21 2、2eS/ 、r0 r dr_3_ r-r0r 0a23丿3 aa0丿EV ：警；rdr -2esr2 f -U(rLei 3_1I r ,22 r0假设氢原子核不是点电荷，而是半径为 r0的电荷均匀分布球，则(rr0)/X这时H 应为多少？(r : 5)例题3 一维线性谐振子受到微扰H =，1 ； 2x2 ， 0 ： 1 ，2 试用微扰论方法求能级与波函数的修正值。解：能量的一级修正A1eJ

9、= ： n | H | n2 ： n | x2 | n由关系式 x21 n 2 n(n-1) | n-2(2n 1) |n. (n 1)(n 2) | n 2 得2口 2nn.n(n匚1) ： n | n 一 2(2n 1) ： n | n - (n_1)(n_2) ： n | n 2 二12(2n 1) L (n 丄)二14丄.2221 .H mn n(n 1) ： m I n 2 . (2n 1) ： m | n . (n 1)(n2) ： m | n 2 4当m = n时，只有m = n _2时矩阵元才不为零，所以En2)|Hn,n/|2|Hn,n2|2E(0)E(0En _En_2En

10、 _En2丄216n(n -1)(0)(0T_En - En_2(_4n -2)21 Hn4(n +1) (n +2)1-(0)E(0)En2 En丄，2 -2. 21612 匸(0)8匕少(0)(0)(0T 2-En - En_2H n，n42出(0)770)ZT0T 涉En - En*pn(n 1):()n _2J(n + 1)( n + 2)(0)7 1 nd2 2屉1 J n(n -1)唱8-.(n 1)(n 2)- n02 1此问题可通过对H的变换精确求解AP 1 i 2 2x2台匕卓I-冃匕量En二 En（0）例题4二维空间哈密顿算符H在能量表象中的矩阵表示为E10) +a b 、 bE20)+a,其中a,b为实数。（1）用微扰公式求能量至二级修正;解：（1）首先看H的矩阵元H mn = m I H I n m|(H (0) | n ： m | H128（2）求能量精确解。二Ef) m|n - 0)作为波函数，以人为参量，用变分法求氢原子基态能量。解：首先将归一化，利用:2nx2e& dxn -1n2 a3/23/44 .A：er2dr丿A2 =12