大一上学期(第一学期)高数期末考试题(同名11374)

1、大一上学期高数期末考试、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，1 设 f ( x)cos x(xsin x ),则在x0处有(共16分)(B) f (0) 1 (C) f (0) 0(D)f (x)不可导.(A) f(0)2设(x) -x, (x) 3 3Vx，则当 x1时(2.1 x(A)(X)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(X)与(X)是等价无穷小；(C)(X)是比(X)高阶的无穷小；高阶的无穷小.Xo(2t x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且).3.若 F(x)f (x)0，则(函数F(x)必在x 0处取得极大值;函数F(x)必在x 0处取得极小值;0

2、处没有极值，(A)(B)(C) 函数F(x)在x 拐点；(D) 函数F(x)在x 0处没有极值, 的拐点。A 设f (X)是连续4.(A) 2函数，且f ( X)X222(C)(B)(B)(D)(x)是比(x)但点(0，F(O)为曲线y点(0,F(0)也不是曲线12 o f (t)dt ,贝y f (x)F(x)的y F(x)二、填空题(本大题有2lim (13x)sin xx 04小题，每小题(D) x 2.4分，共16分)5.已知cosx是f(x)的一个原函数x则 f(x) cosxdxx2 2 2lim (cos cos L n n nncos2)n6.7.12 2x arcs in x

3、 1 dx 1V1 x28.2三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 设函数y y(x)由方程y (0).7x7 dx.x7)xxe ,x 2 x x 2,09.10.设 f (x)y sin (xy) 1确定，求y(X)以及11.12.g(x)设函数f(x)连续，数.求g(x)并讨论g(x)在xx1f (xt)dt0，且0处的连续性.13 f (x)dx.limX0宁A , A为常13.y(1)求微分方程xy 2y xlnx满足19的解.四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线y y(x) (x 0)，过点(叩)，且曲线上任 一点Ma。,)处切线斜率数值上等于此曲线

4、与 x轴、y轴、直线 X X。所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A; (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转 体的体积V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(x)在上连续且单调递减，证明对任意的q 0,1,q1f (x) d x q f (x)dx00f(x) d x 017.设函数f(x)在0，上连续，且of ( x) cos x dx 0 o.证明：在0，内至少存在两个不同的点xF (x) f(x)dx1,2，使

5、 f( l) f( 2)0. (提示：设0解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D 2、A3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 COSX 26() C5. e . 6. 2 x.7.2.8.3三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.解：方程两边求导ex y(1 y ) cos(xy)(xy y) 010.解：y(x)exy ycos(xy)ex y x cos(xy)x 0, y 0 y (0)1u x7 7x6dx du原式1(1 u)112du()du7u(1 u)7 u u 111.解：1尹 |u| 2ln |u 1|)

6、 c12In | x71 In |1 x71 C771 0 x 1 2 f (x)dxxe dx、2x x dx330:Xd( e x)0、1 (x 1)2dx0 0 2xe x e xcos2 d (令x 1 sin )3212.解：2e314由 f(0) 0，知 g(0) 0。xt uf(u)dug(x) f (xt)dt0x(x 0)xf(x) f (u)du g (x)Axx(x 0)f (u)dug (0) lim -2 limx 0 x2x 0 2xxxf(x)00 g (x)00f (u)du02xg (x)在 x0处连续。dy 2 y In x13.解：dx xdxdx1 ,1

7、Cx 2x I n xx39111-,C 0yx I n xx939C)y(i)y e x ( e x In xdx四、解答题（本大题10分）x14.解：由已知且y 20ydx y将此方程关于x求导得y 2y y特征方程：20解出特征根：r11, r2 2.x2 x其通解为y %C2eC1-, C2-代入初始条件y（）y（）1，得332x故所求曲线方程为:五、解答题（本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为（xcUnx。），切线方程：1y In X。（x X。）X。1 y - x由于切线过原点，解出x0 e,从而切线方程为：eA则平面图形面积y(e ey)dyoVi(2)三角形绕直线

8、x = e 一周所得圆锥体体积记为 Vi,贝S曲线y lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V21V2 (e ey )2dy0D 绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积V V1 V2六、证明题16.证明：q(1 q) f(x)d x01 0, q 2 q,1q(1(5e26(本大题有2小题，每小题4分，共12分)q1f (x) d x q f (x)dx012e 3)qf(x) d x0qq( f(x)dx01f(x)dx)q1q f(x)dxqq) f ( 1)q(1q)f (f (2)故有：qf (x) d x0f(x)dx证毕。17,证：构造辅助函数: 连续，在(,)上可导。F(x)F (x)f (x)，且 F(0)F(其满足在0，上00由题设，有f (x)cosxdx cosxdF (x)0 0F (x)cosx|0sin x F (x)dx0F (