稳态导热习题

1、稳态导习题1固体内的一维导热问题例1具有均匀内热源强度G的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2心导热系数久 为常数，两侧壁温各自均布，分別为和民，试求该平壁内的温度分布表达式。解：根据题意，x坐标的原点取平壁的中心线，描述该平壁内稳态导热现象的微分方程 式为：竺+生=0dA- A边界条件：6 : tn*x= 6 : t 二 ty(1)移项后积分该微分方程式两次可得其通解 = -A+C, dx au-+22 1 2 代入边界条件 fw,=(_J)2+c,(_J)+c2(2)(3)(4)务灰+CQ+C2式(4) + 式(5)式(4)式(5)t tC = 2 wl12J-(5)(6)(7)C和G代入微

2、分方程式的通解式(3)后得到壁内的温度表达式X +心+wl2(8)例2具有均匀内热源6的无限大平壁处于稳态导热，英厚度为2导热系数久为常 数，两侧壁温各自均布且相同，均为弘 试求该平壁内的温度分布表达式。解：根据题意，导热微分方程式同上题。由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只 需求解一半的求解域即可，X坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分 方程式为：(1)边界条件：x=0: = 0(2)dx: t=tw该微分方程式的通解为/ = 一仏疋+ Cx + Cj（3）22 1 2代入边界条件0 = -乞0 + 6；（4）2t 二一邑-亍 + CQ + G（5）” 22 1 2由式

3、（4）C,=0（6）常数G代入式（5）尸（7） 22常数G和G代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式例3 锥台如附图所示,顶而和底而温度各为均匀的坨和I 侧面覆有保温材料。锥台的导热系数久为常数该锥台横截而的 直径随坐标X的变化规律为d=exc为常数）。设锥台内的导热为 沿x方向的一维稳态导热。试求：a.通过锥台的热流量b.任意x处的热流密度解：锥台顶而和底而的温度已知，锥台内无内热源，侧而绝 热，因此锥台内沿x方向的热流量为常数，导热系数人为 常数，可用傅里叶泄律直接积分求得。(1)根据傅里叶定律=几人竺dx式（1）两侧分离变戢并积分P；dr= P-dv（2）九1 几 A A%由

4、于热流量。和导热系数人均为常数W，勺 dx“、dr = - （3）%2 Jxi 7T（CX）4(4)竺(丄-丄)71L X2 X,(5)因此任意处的热流密度(6)(7)例4 一无限大平壁处于稳态导热，其厚度为C导热系数A可用线性函数关系式 A=A0(let)近似，其中 儿和c均为常数，两侧壁温各自均布，分别为灯和饪，试求通过 该平壁的热流密度G解:无限大平壁两侧的温度已知，平壁内无内热源，因此沿与平壁垂直的x方向的热流 量。或热流密度q为常数，可用傅里叶定律直接积分求得。根据傅里叶定律q = (1)dx式(1)两侧分离变量并积分C入山=C入(1 + c)du f-沁(2)/ + 尹)1；：；

5、= cc因此q =寸(Gl +_Zwl)(rw2 + rw2)(4)o12例5导热系数为九二昨(mK),厚2 cm的无限大平壁，外覆盖一层导热系数儿二 W/(mK)的保温材料以减少热损失。当组合壁的内、外表而温度分别为1300 C与30 C时, 欲使稳态导热时热损失不超过1830 W/m保温材料的厚度应为多少解：根据题意，各层壁内无内热源，因此沿壁厚方向的热流密度为常数。1830 =(1300-30) 002_5 TT + 035因此,6 =0.35（-） = 0.2375m-18301.3例6已知一半径为/。的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数入为常数，内热源 强度6为常数。圆柱体表而温

6、度均布为匕，试求圆柱体内的温度分布。解：由于这是一种对于圆柱体中心线的对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，r 坐标的原点取圆柱体的中心线。当导热系数久为常数时，描述该圆柱体内稳态温度场的微 分方程式为l （r） + = 0（1）r dr dr 2边界条件：r=0: drr=rQ：(2)移项式（1）A(r)=_dr dr2r(3)式（3）两侧积分次dr r =-r2 + C.(4)dr22式（4）两侧除以r后再积分一次，可得该微分方程式的通解r = 4-CJnr + C,(5)42代入边界条件当r-0时，lnr-8,而圆柱体内的实际温度是有限的，因此取G二0时，该方程的 解才符合实际情况。(

7、6)常数G和G代入微分方程式的通解式（5）得到圆柱体内的温度表达式 气（Z”例7已知一直径为h的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数人为常数，内热源 强度G为常数。圆柱体表面浸在流体中。流体的温度为&，液体和圆柱体间的对流换热系 数为凡试求圆柱体内温度分布的表达式。解:根据题意，几何条件，物理条件都同上题，可以从上题的公式（5）开始。(5)和上题，取G=0并代入圆柱体表而的边界条件。门一X+ Gr 42 2（6）上题中式(2)可写成为)=w -八)因此G-久心+办斥+（8）222/? 0 42 0 f常数G和G代入微分方程式的通解式(5)得到圆柱体内的温度表达式（1）讨论：例题和的几何条件和

8、物理条件相同，但因边界条件不同，因此解的形式完全不同.例8直径为3mm的金属丝的单位长度电阻为Q/m,导热系数4=19 W/(m-K),浸在温 度为30 C的液体中，液体和金属丝间的对流换热系数h= kW./ (mc - K)。当100 A的电流通 过该金属丝时，试求金属丝的中心温度。解：根据能量守恒，电流通过金属丝产生的热量应等于金属丝表面和液体之间的对流换 热量，因此可列出能量守恒方程fR=hA (t. - tz)(1)式(1)中代入具体数值100:X=5500X 刀 XXIX (&-30)(2)因此可算得金属丝表面温度为Z9.3 C(3)内热源强度I2R _1002x0.1nrL /rx

9、O.OO152xl= 141.5 Wm3（4）由解析习题中式(8)计算出金属丝中心(卢0)温度为=4x19 El53.5 P（5）例9蒸汽管道的外直径为6 cm,管外覆盖两层保温材料：第一层的厚度为1 cm,导热系 数 化二W/(m K)：第二层的厚度为2 cm,导热系数4;= W/(mK)。蒸汽管道的外表而温 度如二300 C，保温层外表而温度为b二40 C。试求稳态导热时两层保温材料交界而的温度 tyo解:多层壁的问题，采用热阻计算。根据题意，各层壁内无内热源，因此沿半径方向的 热流量为常数。In（斤/巧）In/与）2砒/2兀g式(1)中消去2刀厶并代入具体数值,(2)(3)300-心_心

10、-4ln（3/4） 一 ln（4/6）0.140.042因此可求得两层保温材料交界而的温度trz =240. 3 C例10已知一内外径分別为n和匕的圆球壁，它的密度Q和比热容c均为常数，无 内热源。两侧壁温各自均布，分别为e和沧。试求圆球壁稳态导热时壁内温度分布的 表达式。解：根据题意，这是一种对于圆心的对称情况，坐标的原点取圆心。当导热系数A 为常数时，描述该圆球壁内稳态温度场的微分方程式为r=rc. t-tin歆存。边界条件:r=rz t=t式（1）两侧积分一次式（3）两侧再积分一次,cr(3)可得该微分方程式的通解(4)(8)代入边界条件式（5）式（6）4人(7)式（7）代入式（5）r2

11、斤常数G和G代入微分方程式的通解式（4）得到壁内的温度表达式=(1_仝)+心斤_2 厂因此100x4.71x10-240x4.4x10*= 51.73 m1加c=X+4)二 査得 q = %ch(mlc)ch加丿Ph二(5)ch (/?/.)r1ch(w/J-r0ch(c)-1200x3&05 8038.05-1=203.2 C(9)例11玻璃液柱式温度计插入一焊在气体管道的钢制细长套管内测定管道内的气体温 度。为了增强温度计和套管间的传热，减少测温误差，套管内灌入机汕。温度il的指示温度 为200 C,气体管道壁温为80 C。钢制套管长8 cm,直径为1.5 cm,壁厚为1 mm,导热系 数

12、约为40W/(m:K) o气体与套管外表而间的对流换热系数为100 27 (m：K)。试求气体的实 际温度。解：若忽略温度计和套管底而间的热阻，温度计的指示温度可视为为套管底而的温度。 忽略温度计玻璃柱和机汕的导热，套管可视为空心等截面直肋。求解时按绝热肋端边界条件 加上长度修正，可简化汁算过程。A = -(6/.2-6/；) = -(152 -132)xlO=4.4xlO-5 m24-4(/=兀山=3.14x15x10“ =4.71x10-2 m(2)讨论：由肋片的传热分析可知，套管底而的温度和流体之间会有温差，即由于套管的导 热而引起的温度测量误差，增加套管的长度和适当改变也中的几个参数可

13、以降低这一误差。例12某空气压缩机的气缸套有环状的铸铝肋片以加强散热。该肋片厚6mm,内外径分 别为2-0 =50 mm和n二90 mm.肋片根部的温度为70 C,铸铝的导热系数久二150 W/(mK), 周羽空气温度为20 C。由于风扇的冷却，空气和肋片间的对流换热系数A=60 W/ (m=K)。 试求每片肋片的散热量。解：根据该肋片的几何形状.需要通过査图讣算出肋片效率 心后才能计算出散热量。 按照相应的图上的公式讣算如下：厶二”/2 二0.023 mric- a + /2= n+h =0. 048 mMe/2*o =A=2c X1(T m3= O-O483/2(15Oxl.38xlO-= 0.1879查图可得肋片效率X二由于每片肋片有上下两个表而叭=处2龙(斥-才)(：-人)二 60X2 X () X (70-20) = W(7)(8)因此 /?f0o=x= W例13两根很长的直径为5 mm的铝条焊在一起。焊接时周国空气温度为10 C,铝条与 空气之间的对流换热系数辰15 W/(m2-K)o若焊点处的温度为250 C,确怎焊点处的加热 量。解：铝条的导热系数取人二W/(mK)每根铝条可视为一无限长的圆柱肋。等截面直