基于小波分析的金融时间序列预测

1、基于小波分析的金融时间序列预测北京邮电大学 陶淼冰、唐子林、白杨目录摘要11 问题的提出22 传统方法及改进的方法23模型构造前的准备33.1数据的来源33.2 对数据的处理33.2.1 标准化处理43.2.2 收益率的定义44 模型的建立（WBPAR模型）44.1 建模思路44.2 对原始数据进行小波分解64.2.1 小波分析的基本理论64.2.2 小波分解94.3 时间子序列的预测134.3.1 小波空间变换序列的预测134.3.2 尺度空间变换序列的预测144.4 预测数据的重构及检验165 模型评价及改进方向195.1 优点：205.2 缺点及改进方向：20参考文献211摘要本文以金融

2、时间序列为研究对象，将小波分析应用于时间序列预测，并以美国S&P500指数进行实证分析。首先，利用小波分析的时频分解特性，将时间序列分解到不同频率空间，得到具有不同稳定特性的空间映射。再分别利用神经网络自适应能力对时间序列的非线性分量进行模拟预测，与适用于平稳序列的自回归模型处理平稳分量的分析预测。具体来说，由Haar小波对序列进行分解得到了序列在各级小波空间与各级尺度空间的分量。其中，对于高频段的小波空间利用神经网络进行训练并对训练的系统进行预测；而在低频平稳的尺度空间先利用单位跟检验对数据的平稳性进行检验，由相关分析可以得到序列在尺度空间的分量具有很显著的平稳性，对回归分析的可行性提供了保

3、证，然后利用Arma自回归模型对序列的尺度空间分量进行回归分析并利用已有数据对收益率进行预测。再将二者加以结合来对时间序列进行重构得到了收益率整体的发展趋势。最后将这种混合策略的预测结果与单个方法的预测结果与实际数据进行对比，从作出的曲线图可以看到混合策略较之单个预测方法有明显改善，即与实际数据更加符合。但从最终结果的分析，得到了该方法的缺陷，如小波空间中神经网络分析对于可能出现的突发事件无法做出及时反应以致可能产生预测误差的扩散。该缺陷可以通过神经网络与遗传算法的结合加以改善，而且该方法对数据量的大小具有一定的要求。关键字：小波变换 神经网络 Arma模型1 问题的提出当今世界的经济格局复杂

4、多变，经济的全球化紧密将各国的经济发展紧密地联系起来，成为一个经济网络，互相影响，任何一个微小的波动都有可能发展成全局的震荡。金融市场是一个国家经济运行的核心，更是世界经济的核心，探求金融市场的变化规律，从而进行有效的金融管理以提高金融投资效率，这些都是各国政府与投资机构孜孜以求的目标，也是每个单体投资人的目标。而金融时间序列代表的是经济与金融领域中最重要的数据，因为其代表的是资产价值随时间的演变。故，对这类数据的研究能够很好的反应本国的经济状态和发展趋势，全面考虑未来有可能发生的情况，从而制定更适合未来发展的政策。从宏观的角度来看，金融时间序列包括股票，股票，利率以及期权期货市场等等。作为数

5、理统计学的一个分支，时间序列分析自1960年代起就已经得到了广泛的研究。传统的金融时间序列分析方法主要包括基本分析、技术分析以及各种数理统计学方法等。而以我国来看，证券市场一直在我国金融市场中占有不可动摇的主导地位，它是我国经济发展的“晴雨表”，其发展依靠实体经济的支撑并且能够真实的反应公众对实体经济发展的预期。随着中国经济市场的逐渐完善，证券市场不断成为中国社会经济生活中的一个重要元素。因此，为了更好的保证我国的经济政策的健康，稳定，持续的发展，我们必须有效地分析中国以至世界的证券市场的波动性及发展趋势，进而对国内的经济发展趋势做一个大体的预测。而要对证券市场进行分析，就必须综合大量的历史数

6、据，并从这些历史数据中总结出潜在的规律，从而根据这些规律对将来的证券走势进行预测。因此，金融时间序列分析理论也正式诞生。由于股票的所有历史价格可以看成是一个高频的金融时间序列，因此，深入的研究金融时间序列对证券市场的发展和完善有着重大的指导意义。（王文利，2004）本文以研究美国纽约指数(S&P指数)为例，提出了一种预测股票收益率的方法。由于股票市场基本上具有一致性，故此研究对中国股票收益率的研究也有着借鉴意义。2 传统方法及改进的方法普通的时间序列分析方法是数理统计的一个重要的应用，然而，传统的时间序列的分析方法大都集中于对整个时间域的数据进行整合，并且假设时间序列是一个平稳的序列，自相关性

7、随着时间间隔的增大而不断衰减。传统时间序列所采用的定常参数数学模型和真实系统的实变性之间的差异，导致无法有效地处理具有较大规模的数据集。此外也不适合用于从大量的数据中主动地发现各种潜在的规则。 但是，金融时间序列包含了强烈的不确定因素，它通常都表现出强非平稳性及较长的记忆性。例如，资产波动率有着各种不同的定义，对一个股票收益率序列，波动率是不能直接观察到的。因此，如果对金融时间序列用传统的方法，如自回归模型（AR模型），随机滑动模型（MA模型）等等，得出来的结论可能会存在很大的偏差。然而如果我们考虑利用时频联合分析方法分析金融时间序列，就可以极大地解决上述的问题。现阶段，时频联合分析方法主要包

8、括Wigner分布和小波变换两种。相比之下，小波分析能够通过伸缩和平移运算，改变时间频率的分析窗的大小，从而对时间序列进行多分辨分析。更进一步，小波分析能把全空间分解成若干个子空间，而每个子空间拥有较小的频率带，即波动率更小。因此，在每个子空间上对时间序列进行预测能够得到更好的效果。本文就是利用小波分析的减噪能力处理分解原时间序列，在若干个子空间内分别得到一个子序列；然后对每个子序列运用数据挖掘的技术进行预测；最终再将预测得到的新序列通过小波重建技术重新整合3模型构造前的准备3.1数据的来源根据google/finance上面公布的数据可以查到S&P500指数的所有历史数据，本文截取1999.

9、4.4-2011-6.19的3084个数据点，每个数据点包括股指在当期的开盘价，收盘价，最高价及最低价，本文采用每日的收盘价进行研究。数据如下图股价图为了能够检验模型的可行性，我们截取1999.4.4-2011.6.1的3072个数据点作为模型的原始数据，以此来预测后12个时间序列点。再将预测的序列和2011.5.30-2011.6.19的12个时间数据点进行比较，求出相对误差。3.2 对数据的处理3.2.1 标准化处理1. 当进行小波分解时，由于本文中处理的数据小数点后的位数过多，在编程时可能造成数据丢失，故将原始数据都乘以1000。xi=1000xi2. 在进行神经网络算法时，需要对数据进

10、行标准化处理xi=xi-xs3.2.2 收益率的定义对数收益率rt=lnPt-ln(Pt-1)简单收益率rt=PtPt-1-1考虑到对数收益率拥有更好的统计性质（统计与金融），本文采用对数收益率分析原始序列。如下图：收益率图4 模型的建立（WBPAR模型）4.1 建模思路传统的线性计量模型都只能提取时间序列的整体及整个时间域的信息从而对未来进行预测，这就要求时间序列有很好的平稳性，因而无法处理序列中那些由于短时间突发事件而产生的“奇异点”对未来的影响。针对这种情况，神经网络算法通过模拟大脑神经元的学习过程，记忆信息的方式很擅长描述变量之间的非线性关系，能够很好的把握序列局部的性质及短时间内的影

11、响。然而，在实际运用中，如果直接运用神经网络模型学习训练以逼近复杂的高频金融时间序列，寻找序列的内在的关系和趋势时，往往需要大量的输入数据，这样要消耗大量的时间；而且这些金融时间序列往往拥有很强的记忆性，也就是说序列的自相关系数衰减程度不大。因此，要成功的预测此序列，也需要在一定程度上对序列的整个时间域进行分析，而这对于侧重局部数据分析的神经网络理论来说是灾难性的。因此我们考虑用小波分析的理论对原高频金融时间序列进行减噪处理（即降低序列的波动性），然后结合线性回归模型（AR模型）和神经网络算法（BP算法）对处理后的序列进行预测。进一步说，小波分析能够把原始序列分解成低频部分（尺度序列）及高频部

12、分（小波序列）。一方面，低频部分代表了原始序列的概貌（即序列大体的走势方向）。由于去掉了序列中的噪声，这一部分的自相关性很强，而且基本上可以看成是平稳的，线性的，因此，用AR模型预测这一部分的效果比神经网络更好；另一方面，高频部分代表了原始序列中的短时间内的“奇异点”（即噪声），这些序列通常具有非平稳性，非线性，非正态，要求快速响应等特点，而且这些短时间内的噪声与其他短时间内的噪声的相关性很低，因此，运用侧重局部数据分析的非线性模型神经网络对这部分数据进行预测是很合适的。利用小波分解将两种方法加以结合则能够发挥二者数据处理的优势。为了检验模型的预测效果，我们将在网上找到的S&P股票的历史价格（

13、1999.4.15-2011-6.28）分为两部分，前3072个序列点（1999.5.23-2011.5.23）作为模型中的历史数据，以这些数据为原始时间序列来预测后11个时间序列。再用这需测出来的12个序列点与真实数据比较（S&P在2011.6.3-2011.6.28之间的历史价格），求出误差。并将这个误差与直接用BP神经网络算法预测出来误差相比较，从而评价模型的优劣性。总而言之，本文的数据处理过程分为以下四步：1. 用小波分析理论对原始金融时间序列进行分解，得到时间序列在各个小波变换域的变化序列和最后的尺度变换序列。2. 运用神经网络算法对各个小波变换域里的变化序列进行预测，并用AR模型对

14、尺度变换序列进行预测。3. 将第二步中预测出来的各个新序列用小波重建技术合并产生原始序列的短期预测。4. 将得到的预测序列和原始序列进行比较，检验该模型的预测效果。具体的流程图为流程图由于该模型结合了小波理论，BP神经网络，AR模型，故成为WBPAR模型。4.2 对原始数据进行小波分解4.2.1 小波分析的基本理论定义：VjjZ是空间L2（R）的一个闭子空间列，VjjZ被称为L2（R）的一个多分辨分析，如果VjjZ满足下面的四个条件：一致单调性 Vj+1 Vj, jZ;渐进完全性 Vj=0,Vj=L2（R）;伸缩规则性 f(2x)Vjf(x)Vj+1;正交基存在性 存在jxV0, 使jx-kk

15、Z是V0的标准正交基.其中j则称为尺度函数，Vj称为逼近空间。定理 设VjjZ是由尺度函数j生成的多分辨分析，则对任意的jZ，函数集jjkx=2j/2j2j/2x-kkZ是Vj的标准正交基。定理 设VjjZ是由尺度函数j生成的一个多分辨分析，则下述两尺度方程成立。jx=2kZhkj2x-k （1式）则 hk=-+jxj2x-kdx 定理 定义fx=2kZgkj2x-k, gk=(-1)kh1-k （2式） 令 WjjZ是由fjkx=2j/2f2j/2x-kkZ则Wj+1是Vj+1在Vj中的正交补空间，即 Vj=Wj+1Vj+1分解算法假设f是我们要处理的时间序列（先假设是一个连续函数），可看作

16、fL2（R），但我们测得的信号只是实际信号fj的一个近似，设fjVj，由于jjkx是Vj空间的标准正交基，故有fj=kZcjkjjkx显然 cjk= 然而又有Vj=Wj+1Vj+1因此fj=kZcj+1,kjj+1.kx+kZdj+1,kfj+1,kx 3式其中cj+1,k=, dj+1,k=结合(1),(2),(3)式可以得到cj+1,k=n=2k2k+M-1h n-2kcjndj+1,k=n=2k+2-M2k+1g n-2kcjn 4式类似的不断这样分解下去，可以将fj+1分解为Vj+2空间上的函数fj+2与Wj+2空间上的函数wj+2，并得到相应的尺度系数cj+2,kkZ及相应的小波系数

17、dj+2,kkZ最终可以得到fj的分解式(分解到M层)fj=fM+wj+1+wj+2+wj+3+wM进一步来看，我们将fj在其子空间上分解，求出它在各空间上的子函数（即根据(4)式迭代求出尺度函数系数cj,kj,kZ与小波函数系数dj,kj,kZ）我们必须将系数初始化，即给cjk赋值。当fj为连续函数时，cjk=-+fj(x)jjkxdx因为在本文中，fj为离散序列时，故需要对fj进行抽样取值近似上面积分，cjk=2-j/2fj(k2-j)重构算法对于给定的信号f，按照前面的分解算法可以将其分解为VM与Wl(jlM)中的成分，然后根据需要对分解后的序列进行数据处理，当处理后，小波系数dj,kj

18、,kZ会发生变化，这就需要一个重构算法，使处理后的信号f能用Vj里的基底表示，即使f=kZcjkjjkx设fj=fM+wj+1+wj+2+wj+3+wM令fM-1=fM+wM即kZcM-1,kjM-1,kx=kZcM,kjM.kx+kZdM,kfM,kx则cM-1,n=k=(n-M+1)/2n/2h n-2kcM,k+k=n/2(n-M+1)/2g n-2kdM,k 类似的，可以重构出fl(jlM)，并得到其的小波系数cj,kj,kZ，最终得到fj。4.2.2 小波分解需要解决的问题：(1) 选用什么样的小波基函数对原序列进行分解；(2) 需要将序列进行多少次分解：(3) Mallat算法每循

19、环一次都要进行二抽样，因此，随着分解的增加，分辨率的降低，子序列的数据点变少，需要找一种改进算法来克服这一缺点。问题的解决：(1) 对于问题一由于本文处理的时间序列的波动性较大，而且序列中有“奇异点”存在，故所采用的小波最好具有对称性，否则在分解重构后会造成失真（(2) 对于问题二由于股票波动频繁，分解层数越多越好；但随着分解阶数的增加，尺度空间和小波空间的变化越来越小，而工作量却成倍的增加，故分解层数也不宜过多。经过比较，选用6层分解。(3) 对于问题三为了得到一个稳定的时间序列预测，我们需要分解出来的子序列的数据点相较于原始序列不减少，因此我们考虑在原始序列抽样取值时，在偶数点上加上0，这

20、样一来，原始序列的抽样点变多一倍，则子序列的抽样点便与原始序列抽样点数量一样了。对时间序列进行分解根据上面所阐述的算法，由matlab2010 编程可得到分解后的各个小波空间的子时间序列及各尺度空间的序列，具体如下图（注意，由于证券收益率太小，有太多位小数，我们在处理数据时可能会造成数据丢失，故我们将所有数据均乘以1000.）小波空间的序列图表 1(第一级小波空间Wj+1 )图表 2(第二级小波空间Wj+2 )图表 3(第三级小波空间Wj+3)图表 4(第四级小波空间Wj+4)图表 5(第五级小波空间Wj+5)图表 6(第六级小波空间Wj+6)尺度空间的序列图表 7(第一级尺度空间Vj+1)图

21、表 8(第二级尺度空间Vj+2)图表 9(第三级尺度空间Vj+3)图表 10(第四级尺度空间Vj+4)图表 11(第五级尺度空间Vj+5)图表 12(第六级尺度空间Vj+6)由上图可以看出随着分解的深入，尺度序列与小波序列都呈现出了越来越低的分辨率，曲线变的越来越平滑。特别的，由于小波序列属于原始序列的高频部分，表示了原序列的细节变化部分，所以图像呈现出强烈的非线性性，故需要高响应度的算法来处理，而且序列曲线呈现出了一定的周期性，即表示序列的自相关度较小，因此进一步说明，用神经网络算法预测是可取的。但是可以发现，低层次的小波序列很不平滑，变化频率很高，用神经网络算法来预测这一部分的子序列还是会

22、有较大的误差。另一方面，随着分解层数的增加，尺度序列变得越来越简单（即越来越逼近原序列的概貌），第六级尺度空间的序列拥有较好的平稳性及线性性，故采取线性自回归模型来预测效果更好。4.3 时间子序列的预测4.3.1 小波空间变换序列的预测BP神经网络模型对于具有小波分解后产生的高度非线性的小波空间，借助前馈神经网络（BP）算法处理非线性问题的自适应特性分别对各级小波空间的序列进行模拟进而预测股市的变化趋势。通过对已有数据的训练来调节系统的权值与阈值以及偏移量，进而利用得到的网络模型作用于后期的输入量以得到输出的预测值。神经网络基本模型具体来说，神经网络模型的建立通过以下几步得以实现：l 随时间变

23、化的收益率作为待训练系统的目标量，而标志其变化的时序作为网络的输入量l 对目标量与输入量进行归一化处理得到网络模型输入端的有效数据l 网络初始化时将隐层神经元的个数设置为20，初始化网络的转移函数与训练函数分别是tan-sigmoid、traingdl 利用各级小波空间已有的3072个数据对该网络系统进行自适应训练，迭代500次后即可得到训练的系统，由训练结果可以得到该系统对已有数据预测输出的有效性进行评估。检验后即可对后期的输入（时序）进行模拟预测，最终得到各级今后10个时隙的预测值作为总体预测值在该级小波空间的投影模型结果根据上述模型，用matlab2010编程实现神经网络算法得未来1级小

24、波空间2级小波空间3级小空间4级小波空间5级小波空间6级小波空间时刻13.0984-0.22041.20383.40551.080.6042时刻2-3.5036-2.8978-0.86433.29351.19440.6097时刻3-2.4421-3.6489-2.81681.7218-1.33410.6072时刻4-1.1449-3.3695-3.01990.9137-2.91730.6046时刻5-0.56270.3103-1.19370.8009-1.69090.5945时刻6-0.4228-0.4317-1.5608-0.2601-1.37980.5834时刻70.23220.2826-

25、0.05122.64021.2410.5711时刻8-0.4279-0.1764-1.4128-1.2562-1.12820.5612时刻90.35340.046-0.4929-1.59031.05960.5485时刻101.86390.78160.31081.7931.98670.6315时刻11-1.8560.47480.206-1.84230.86780.5068时刻120.30360.37540.5544-1.48630.75660.4791拟合度(R)0.90430.96130.98540.99490.99860.9959由上表可知，神经网络对于各个小波空间序列的拟合程度很高。4.3

26、.2 尺度空间变换序列的预测根据小波分析理论，随着尺度空间阶数增大，原序列在此尺度空间中投影得到的序列具有越来越好的线性性及平稳性。为了科学起见，我们用单位根检验判断序列的平稳性。单位根检验此处我们通过利用软件EViews6.0得出序列的自相关分析图判断序列的平稳性通过观察图像，由于图像不具有长期明显的上涨或者下降，而且图像的均值接近0，因此我们使用软件进行单位根检验的时候选择既不含常数项也不含趋势项形式的方程yt=a-1yt-1+i=1p-1riyt-i+ut作为检验方程，其中检验类型选择ADF检验，对原序列进行单位根检验，Eviews6.0有自动计算最佳的滞后期P从而进行检验计算的功能，得

27、出结果如下图：由上图可知，软件取定P的最佳取值为12，且此时检验t统计量值为-13.29253，远小于显著性水平为1%的临界值，因此可以拒绝原假设，即序列不存在单位根，是平稳的。故我们采用AR(p)模型进行预测。AR模型首先确定阶数P根据文献（金融时间序列分析）应选择合适的p值，使得AICp=lnsP2+2p/T最小，其中sP2是sa2的最大似然估计，sa2是残差的方差，T是样本容量。通过统计软件的计算，p取12可以使得AIC最小。故可以建立AR(12)模型rt=at-1rt-1+at-2rt-2+at-3rt-3+at-4rt-4+at-5rt-5+at-6rt-6+at-7rt-7+at-

28、8rt-8+at-9rt-9+at-10rt-10+at-11rt-11+at-12rt-12上式中，rt表示当期的尺度变化值，rt-i表示i时刻前的尺度变化值。用马可威软件进行求解，并对得到的方程进行系数显著性检验，剔除那些系数不显著的，并重新建立AR模型，最后可得rt=at-1rt-1+at-2rt-2+at-3rt-3+at-4rt-4+at-5rt-5+at-8rt-8+at-9rt-9运用马可威软件可得各变量的系数如下表由上表可知，各变量的显著性都很好。由以上残差表可知，模型的拟合度很好。再根据自回归AR模型预测出尺度序列的点列可得下图：4.4 预测数据的重构及检验预测结果根据上述的

29、模型，我们对S&P 在2011.5.30-2011.6.18这中间的12个时间序列点进行预测，可以得到下表1级小波序列2级小波序列3级小波序列4级小波序列5级小波序列6级小波序列6级尺度序列重构序列3.0984-0.22041.20383.40551.080.60420.6851939.856693-3.5036-2.8978-0.86433.29351.19440.60970.697416-1.470684-2.4421-3.6489-2.81681.7218-1.33410.60720.708741-7.204159-1.1449-3.3695-3.01990.9137-2.91730.6

30、0460.719114-8.214186-0.56270.3103-1.19370.8009-1.69090.59450.728856-1.012744-0.4228-0.4317-1.5608-0.2601-1.37980.58340.737933-2.7338670.23220.2826-0.05122.64021.2410.57110.7463975.662297-0.4279-0.1764-1.4128-1.2562-1.12820.56120.754388-3.0859120.35340.046-0.4929-1.59031.05960.54850.7618890.6861891.8

31、6390.78160.31081.7931.98670.63150.7688798.136379-1.8560.47480.206-1.84230.86780.50680.775364-0.8675360.30360.37540.5544-1.48630.75660.47910.7813381.764138与真实数据比较可得（预测数据要除以1000）结果分析1. 由上图可知，预测序列在A点，B点，C点的预测效果比较差，特别是A点，股票的走势都预测错了，但其他点的预测效果还可以。经过分析我们得出结论，WBPAR模型不能很好的对证券市场中的未知的突发事件作出及时响应。例如我们对位于A时刻（2011

32、.6.1）的预测点与实际序列进行分析，首先，我们列出A时刻前五个时刻的证券收益率的变化图，收益率的变化图从图中可以看出，在2011.6.2 S&P500指数发生了突变，经过查询资料（）我们得知，这是因为在当天美国政府发布了美国前几个月的经济报表，公布了美国金融危机后期经济复苏速度迟缓的事实，导致投资者的信心受挫，对市场产生担忧，这一信息迅速反应到证券市场中，使得股指由6.1日的大涨（涨幅1.5%）变成6.2日的大跌（跌幅2.3%）。而这一个突发事件是从历史数据中不可能预测的到，即WBPAR无法及时从历史数据中获得这个突发事件的信息，故在A点预测失败。对于B点与C点，6月10号及6月15日，股指

33、的大幅波动，则是由于，6月以来原油价格的进一步走低；穆迪警告下调意大利银行的信用评价，加剧了欧洲的债务危机；对于这些事件，（主要是原油下跌的事件）历史数据中有一定的体现，所以WBPAR模型有一定的反应，但响应不够精确，故预测数据的误差较大。而对于其他点，WBPAR模型的预测结果的误差还是很小的。这是因为，WBPAR模型对突发事件的响应有滞后性，例如，WBPAR模型在对6.3日进行预测时，考虑了6.2日的突发事件的影响，因此预测数据比较成功。总之，WBPAR模型只能从历史数据中获得信息，并运用这些信息对未来进行预测，而对那些未知的突发事件的响应具有滞后性。2. 最后将WBPAR模型，直接用BP神

34、经网络算法，直接用AR模型得到的预测序列比较得若直接运用AR模型得到下表即如果直接用AR模型预测，拟合度R特别低。因为原始序列是高度非线性的，故直接用AR模型的预测效果极差。我们再比较WBPAR模型及BP模型,预测结果如下表WBPAR模型BP模型原始数据0.00985670.0120968-0.0230483-0.0014707-0.0030955-0.0012255-0.00720420.0030769-0.0097816-0.0082142-0.0023671-0.0108185-0.0010127-0.0075879-0.0009568-0.0027339-0.001828-0.0041

35、9580.00566230.00758790.0073505-0.00308590.001828-0.01407850.00068620.0027480.00066860.0081364-0.00053180.0125329-0.0008675-0.00004894-0.01758560.00176410.00160.0017528由上图可以得到，WBPAR模型的预测效果明显优于BP模型，再对求相对误差得，相对误差WBPAR模型0.127(剔除A,B,C点)BP模型1.101由以上可知，使用普通BP神经网络预测时会出现较大幅度的相对误差，而且有很多数据甚至连正负都预测错了。而另一方面，混合策略

36、WBPAR模型则有明显的改善，进而能够对数据进行相对有效的预测，虽然相对误差较大，但是由于数据本身的绝对值较小，所以预测序列绝对误差很小。5 模型评价及改进方向5.1 优点： 该模型以小波理论为基础将待分析序列分别投射到不同频段的小波空间与尺度空间，以对序列进行时频窗分析，实现序列概貌与细节的分解，再对两个领域分别运用适用的方法进行有效的预测。利用这种分解策略能实现较之传统方法更为有效的预测 对序列在具有高度非平稳性的小波空间的投影序列建立具有自适应与非线性的神经网络模型，构造前向反馈神经系统进而实现对网络进行多次训练可以有效处理因高频变化的非线性序列，最终进行有效的预测。而对序列在尺度空间的投影则充分利用其平稳性进行自回归模型进行预测，这样就将两种使用与不同对象的预测方法实现有机结合5.2 缺点及改进方向： 对序列在高频空间映射的处