附梁的弯曲与圆柱的扭曲

1、附梁的弯曲与圆柱的扭曲附：梁的弯曲与圆柱的扭曲除了拉伸压缩和剪切形变之外，连续弹性介质体内还会发生两种形变，一种 是弯曲，另一种是扭曲。 为了讨论方便，我们以方 形的梁为弯曲的例子，以10柱来讨论扭曲。G图6.7,梁的中间层没有被压缩，梁中间层之上的各层面，将发生 不同程度的挤压：而梁中间层之下的各层面，将发生不同程度的拉伸e1梁的弯曲 如图67,考虑一两端有支撑的方形梁。如果梁 的中部有负载时，梁将发 生弯曲。将横梁分成不同 的层面，则梁弯曲后，梁的中间 层CC，将没有被拉伸和压缩；梁中 间层之上的各层面，将发生不同 程度的挤压；而梁中间层之下的 各层面，将发生不同程度的拉伸O 由此可见，梁

2、的弯曲，是由不同 程度的拉伸和挤压组成的。如果梁的长为/、宽为为b,梁弯曲后形成弧角为伏半径为人的圆弧，则考虑距中间层III为z厚为址的一层（如图6.8）,其长图68,考虑距中间层为Z厚为dz的一层度将变为z(R_z)0 =(R_z) = /_ 亍RR相应地，该层的形变量就为力6这正应力沿该层弧的切向。由胡克定律，应有CT =Y(6.3.2)而该层的横截面宽为“，厚为dz, z面积就为逊，作用在该横截面上W相应的总内力就O叫 而该梁层上的内力对中间层的力矩就为图6.9,内力对中间层的力矩 評注意到中间层之上各层的内力是挤压性的，中间层之下 各层的内力是拉伸性的。它们对中间层的力矩由于对称 性，

3、大小相同，方向也相同。故将(2)式代入并对各层求 和积分，就得到总的内力对中间层的力矩Yab312(6.3.3)横梁弯曲平衡时，外力矩与内力矩大小相等，方向相反。 故r Yab3J =12/?(6.3.4)所以，横梁弯曲平衡时，横梁弯曲的曲率就为1 _ 12 丿R Yab3(6.3.5)显然，由于中间层无拉伸与压缩。因此，中间层无yQ水泥，以利用混凝土的抗 压能力。下面我们考虑如图图6.10,梁的中间层没有被压缩，梁中间层之上的各层面，将发 生不同程度的挤压；而梁中间层之下的各层面，将发生不同程度的拉伸。6.10横梁中部压有重物G 时，如何计算梁中部的扰 度。(6.3.6)建立坐标系如图，曲梁

4、中性层曲线汗加在X点处 的曲率为1 _ F r(q n+(y)23/2在横梁弯曲微小的情况下，y=o,从而1(6.3.7)在梁平衡时，考虑从兀到右端支点一段横梁的受力，左端面受如图6.9内力偶()的作用，右端受支撑力Q的作用。内外力矩平衡,0(”)=Yab312R(6.3.8)丄二哄(“)-R(x) Yab3 2(6.3.9)注意到横梁弯曲微小的情况下，支点处横梁所受的支撑反力Q可看成是竖直向上的。由于对称性，应有Q二 G/2。现对兀积分，并由边界条件y(o)= o,玖o)= o定出积分常数,就得到yW =竺(丄乍Yab3 23(63J0)将“右代入，就得到右端点的y值，也就是横梁中点的挠度，

5、即G/34Yab3(6.3.11)这样，只要测到横梁的挠度，就能得到横梁材料的杨氏 模量。2、柱的扭曲对于半径为r的圆柱，如果一端固定，另一端在外力作用 下转动时，则外力对中心轴线就有一个扭力矩的作用。此时,圆柱会发生扭曲形变。若把柱分为一层层横截层面，则每一层都作了切变。假设在受力一端的横截面上，任意一条矢 径都会被扭转一个角度（P （如图6.11） o而在这横截面上，取半径为宽为的环。在微小形变的情况下，环上某点处将由于扭曲而偏移了 w的距离。若【柱的长度为则环上该点处的切应变就为(6.3.12)若假设该点处的切应力设为G由胡克定律可有而整个环上的内力对中心轴线图6.11,在放大的截面上，

6、任意一条矢径都会被扭 转一个角度而半径为宽dr的圆环，则整体扭转 了 的力矩就为dJf =12兀 rdr- r对柱的整个横截面积分，就得到整个横截面的内力矩R八 J2/Z1V0扭曲到达平衡时，内力矩与外力矩大小相等，即有(6.3.13)如果圆柱为一细长的金属丝（杆），下悬一转动惯量为/的水平金属棒，这就可以构成卡文 迪许扭秤，也可以是扭摆。作为扭摆， 其运动微分方程为(6.3.14),tiNR4 少=211（6.3.15）(6.3.16)则扭摆的周期为图6.12,长为1的金属丝，下 悬一水平的金属棒，可作扭摆.又若金属丝（杆）下悬转动惯量为71的水平金属棒时，扭摆的周期为Ti,再在金属棒上叠加一