随机过程习题解析

1、习题一1.某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5,若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？2.设随机变量X的概率密度为Af (x)= x21【0求：(1)常数A;分布函数F(x); (3)随机变量Y = lnX的分布函数及概率分布。3.设随机变量(X, Y )的概率密度为jif (x , y) = Asi n (x + y ),0_x ,y2方差DX , DY ; (4)协方差及相关系求： 常数A ; (2)数学期望EX, EY ;(3)数。4. 设随机变量X服从指数分布kx_ kex _ 00x c 0求特征函数 (x),并求数学期望和方

2、差。5. 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为 1和 2的泊松分布，试用特征函数求Z = X + Y随机变量的概率分布。6. 名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全 区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走 五个小时后，仍会使他回到这矿井中。 假定矿井中漆黑一团， 这矿工总是等可能地在三扇门 中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X的矩母函数。7 .设（X , Y）的分布密度为4xy,0 X c1.(1)(x, y)=0,其他&y,0 X c1.(2)枣(x,y)=*0,其他问X , Y是否相互独立?8.设（

3、X, Y）的联合分布密度为问：(1)1,-取何值时X , Y不相关;(2) : ,1取何值时相互独立。习题二1. 设有两个随机变量 X、Y相互独立，它们的概率度分别为fX(x)和fY(y)，定义如下随机过程：Z(t) =X Yt，t R试求Z(t)的均值函数 m(t)和相关函数R(t1 ,t2)。一 12 .从t=0开始每隔一秒丢掷一次硬币(均匀的)，对每一个丢掷的时刻 t，规定随机变量2S_ cost,当时刻t掷出正面x(t)= 丿、2t, 当时刻t掷出反面试求：1 1（1）F （ 2 ； X1）, F （t1;X1） （2） F （2，1 ； X，X2）。3 袋中有一个白球，两个红球，每隔

4、单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定 的t对应随机变量v心、 -,如果t时取得红球X (t)二 3et ,如果t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族。4 .设在时间区间 0,t 1内来到某商店的顾客数X(t)是参数入的泊松过程。Yn为第n个顾客来到的时刻，求 Yn的分布函数。5.设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1分钟内没有车子通过的概率为0.2,求2分钟内有多于一辆车通过的概率。6令N(t)表示0,t时间内(单位：分)顾客到达某商店的人数，设NJ是泊松过程。根据30人。求两个顾客相继到达的时间间历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时 隔短于4分钟的概率。7.

5、质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动， 每隔1秒以概率p向右移动一格（1单位 长），或以概率q=1 p向左移动一格，以X （n）表示质点在第n秒至n+1秒之间的位置（坐 标），则随机过程牧（n）, n =0,，,2,?由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。 求X （ n）的概率分布及增量 X（t+ ）X （ t）的概率分布。8.求随机过程 X（t） = X sin t的一维概率密度，其中-为常数，X N（0,1）。n9.设复随机过程z（t）=、 A孑二，0 -1，其中 Ak（ 1乞k乞n）是相互独立且服kF2从N （0 ,二k）的随机变量，二k（1乞k三n）是常数，试求复随机过程 Z

6、（ t）的均值函数与自 相关函数。10.设 汶，t -0 ?为一个独立增量过程，且X（ 0） =0，证明X（t）是个马氏过程。11.设随机过程X(t) = X。Vt , t T，其中Xo, V是相互独立的标准正态分布变量，试证 X(t) 是- -个正态过程。212.设X(tS Vt At ，t - 0 ,其中SV、A为相互独立的正态分布变量，试证X(t)是一个正态过程。习题二1. 一质点在区间0,4中的0,1,2,3,4上作随机游动，移动的规则是：在0点以概率1向右移动一个单位，在1,2,3点上各以概率1/3向左，向右移动一个单位或留在原处，试求转移概率矩阵2. 一个圆周上共有 N格(按顺时针

7、排列)，一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则 是：质点总是以概率 p顺时针游动一格，以概率 q=1-p逆时针游动一格。试求移动概率 矩阵。3. 一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是：以概率p从i移动到i-1,以概率q从i移到i+1，以概率r停留在i，且r+p+q=1，试求转移概率矩阵。4.波利亚（polya）罐子模型波利亚（polya）罐子模型可描述如下：一个罐子装有r格红球，I个黑球，现随机地从罐中取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进a个同颜色的球。持续地进行这一实验过程，设Xn表示第n次试验结束时罐中实有红球的数目：Xn=i,日,I=0 , 1, 2,

8、不论在时刻n时如何转移到i的，系统在时刻n+1时，必转移到状态i+a或i，因此， X n ,n -0是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。5.设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同 颜色的球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态 k，试用马尔可夫链描述这个模型 （称 为爱伦菲斯特模型），并求转移概率矩阵。1 , 2, 3。在不同季6 设水库的蓄水情况分为三个状态：空库、半库、蓄满。并分别记为节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为0.4 0.50.1R = 0.3 0.3 0.4.0.10.70.2一初始分布行矩阵为

9、P(0) = 0.10.10.8，试求P(2)并指出经过两个季节水库蓄满的概率。7. 一个开关有两个状态：开、关，分别记为1 , 2。设Xn = *1, 在时刻n开关处于状态12, 在时刻n开关处于状态2又设开关现在开着时，经过单位时间后为开或闭的概率都是单位时间后，他仍然关着的概率是1/3,开着的概率为 2/3。(1) 试写出马氏链：Xn，n- 的一步转移矩阵；1/2 ;而现在关着时，经过(2) 设开始时开关处于状态 1,求经过二步转移开关仍处于状态1的概率。& 设马氏链的状态空间为1二1,2,3,其进一步转移矩阵为试研究各状态间的关系。13239 设马氏链，Xn,n-O.的状态空间,9,1

10、2，其一步转移矩阵为11。12 2 111R = 一|244L 120 _ _ -33 一试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。10.设马氏链Xn,n-0 的状态空间I二9,1,2,3其一步转移矩阵为12121400 00 01 18 80 1试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。211 设马氏链Xn, n _0的状态空间I二0,1,2,其一步转移矩阵为12I120122120试问此链是否具有遍历性，若有，则求其平稳分布。12 天气预报问题若明天是否有雨仅与今天天气有关，与过去无关。并设今日有雨、明日也有雨的概率为:，今日无雨、明日也有雨的概率为。试求：（1 ）一步转移矩阵；（2）今日有雨

11、且第4日仍有雨的概率（设=.7, - =04）.。13 考虑一个通信系统，它通过几个阶段传送数字0和1，设在每一阶段被下一阶段接受的数字仍与者阶段相同的转移概率为0.75.且记第n阶段接受的数Xn，试求进入第1阶段的数字是0，而且第5阶段被接受到的也是 0的概率。按损害的程度分为 5种状态：无损害称为3，严重损害称为状态 4，全部倒塌称为状14.设建筑物受到地震的损害程度为齐次马氏链， 状态1,轻微损害称为状态 2，中等损害称为状态 态5。设一步转移概率为-0.80.2000100.50.40.10R =000.40.50.10000.20.800001 一又设初始分布为Po(1) = 1,

12、po(2) = O,po(3) =0, po=0, Po(5) = 0 试求接连发生二次地震时，该建筑物出现各种状态的概率是多少?15 设某河流每日的 BOD (生物耗氧量)浓度为齐次马氏链Xn,n1，状态空间1 =1,2,求河流再次到达污染的平均时间J4。,4是按BOD浓度极低、低、中、高分别表示为1, 2, 3, 4,其转移矩阵为(以天为单位)-0.50.40.10 1D 一0.20.50.20.1p -0.050.250.60.100.20.40.4 一如果BOD浓度高，则称河流处于污染状态。(1) 说明此马氏链为不可约非周期正常返链;(2) 求此链的平稳分布；16.设马氏链的状态空间I

13、二123,4，其一步转移矩阵为111301201 =1,2,3,4,5，其一步转移矩阵为试对其状态分类。00.50.500 10000.20.8R=0000.40.61000010000 一试研究各状态的类及周期性。17.设马氏链的状态空间18.设马氏链的状态空间为I 珂1,2,3，其一步转移矩阵为0.5 0.5 0、 R = 0.5 0.5 000b试研究各状态的类，并讨论各状态的遍历性。19.设马氏链的状态空间为1二1,2,3,4，其一步转移矩阵为00101000P1 =0.30.7000.60.20.20试对各状态进行分类。20.设X （t）,t _0为一个时间连续的马氏链，其状态空间1

14、二0,1。假定X（t）在时间段t 内改变一次状态（从一个值跳到另一个值）的概率为：t 。（人t），未曾改变状态的概率为。（八t）。试求时间t时的转移概率1 - A oC ：t），而在这段时间内改变多于一次的概率为Rj(t)(i,j=0, 1 )。习题四试判断其连续性和可微21.已知随机过程 X(t)的自相关函数为 RX( - )=- exp - ?性。tp2.随机初相信号 X(t)=Acos(t+ ),试中A和均为常数，已知 mX(t)=O,T2 RX( - )=A co t/2, =t s。信号 X(t)在时间 T 内的积分值为 Y(T)= 0 X(t)dt,试求 Y(T) 的均值和方差。2

15、r 23.讨论随机过程 X(t)=At +Bt+C,(其中A , B, C独立同分布且服从N(0,、)的均方连续1 tX(s)ds的均值函数和相关函数。性、均方可微性和均方可积性。并求X / (t),Y(t)= t2 24.讨论随机过程X(t),(其中X(t)的均值为0，相关函数R(s,t)=1/a +(s t)的均方连续性、均方可微性1 t和均方可积性。并求 X / (t),Y(t)= t 0 X(s)ds的均值函数和相关函数。习题五1.设Z(t)=Xsint+Ycost,其中X,Y是相互独立同分布的随机变量，其分布列为爻、Y.、-12p2/31/3证明Z(t)是宽平稳过程。2设X(t) =

16、Acost - Bsint，其中是常数，A,B是相互独立，且都服从正态分布N(0f2)的随机变量，试证明 Z(t)是平稳过程。3设随机过程 X(t) =cos t，其中是在0,2二上均匀分布的随机变量，试证(1) Xn =X(n) =cos, n =0, 一1,_2， 是一个平稳序列。(2) X(t),，不是一个平稳过程。4 设随机过程 X(t)=f(t ；)其中f(t)是周期为T的波形，；在区间内为均匀分布的随 机变量，证明 X(t)是平稳过程。5设随机过程X(t)由下列三个样本函数组成，且等概率发生，X(t,e-i) =1， X (t, e2si nt， X (t, e3cost问：(1

17、)计算均值mx(t)和自相关函数Rx(t1,t2)；(2)该随机过程 X(t)是否平稳。6设随机过程 X(t)=Asin(2兀t+ 62)其中A为常数，91和62为相互独立的随机变量。01的概率密度为偶函数，62在L.二二1内均匀分布。证明：(1) X(t)为平稳过程；(2) X(t)是均值遍历的习题六1.设Yn (n = 0,12)为独立随机序列，且Yo =0,EYn二令nXn时，Xn 关于Yn 是下鞅；当 ： 0时，Xn，关于；Yn 是上鞅。2.设Yn (n =，1,2，)为独立随机序列，且丫0 二 0, EYn，令Xn八Yk:Xn;关于丫;是鞅。2.设Yn (n =，1,2，)表示生灭过

18、程各代的个体数，且丫0，任意一个个体生育后代的分布为均值”，证明Xn =Yn是一个关于 % 的鞅。1X X P(Xi =1) = P(Xi =1)= 4.(公平博弈的问题)设X1，X2，独立同分布，分布函数为2，于是，可以将 Xi看作一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢1元，出现反面则输1元：假设我们按以下的规则来赌博， 每次投硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌 博即停，令Wn表示第n次赌博后所输(或赢)的总钱数，Wo = 0，则Wn是关于Xl，X2，Xn 的鞅。5.设B(t)是布朗运动，则2(1) B (t) -t 是鞅；2expuB(t) -中(2) 对任何的实数u ,2 是鞅

19、。习题七1. 通常假设股票价格服从马尔科夫过程，是什么含义?2. 假设某股票的价格变化遵循维那过程，其初始价值为20元，估算的时间为一年。在一年结束时，若资产价值按正态分布， 其期望值为10,标准差为1,那么在两年期结束时, 资产价值的期望值和标准差是多少？3.假定有一支股票价格 S遵循一般维那过程，即dS= dr -dW ,在第一年中，=2，二=3，若股票价格的初始值为 30，则在第二年末股票价格的分布概率为多少?4.考虑一种无红利支付的股票，假定价格S遵循过程：S 二 .：t其中每年预期收益率为 - 0.1 （以连续复利计），漂移率为-0.3，若初始值为S=20元,试分别解释当时间间隔为一

20、周、一月和一季度时，股票的价格变化规律？习题八1.求随机微分d（eB）.2.利用伊托公式证明0B2(S)dB(s)8B3(t)-.0B(s)ds,k_23.设B（ t）是标准布朗运动，证明(s)ds,k -2并求出E B4（t）,，E B6（t的值。4.设B(t)是标准布朗运动，It =1 (B(u),0岂U乞t)，利用伊托公式证明下列随机过程是关于It的连续鞅。t(1) X (t) = e2 cos B(t)；t(2) X(t)二 esin B(t)习题九1. 若某种股票的初始价格为 30美元，年预期收益为15%，年波动性为25%，问在六个月后，该股票价格的概率分布是什么？并判断在置信度为95%时股票价格的变化范围。2. 假设某种股