随机过程复习提纲(20210223025346)

1、第一章:1. 填空,n)则若Xi,X2,Xn是相互独立的随机变量，且gi(t)是X的特征函数,i=1,2,X=X+X+Xn 的特征函数 g(t)= gi(t) g 2(t)gn(t)2. 设P(S)是X的母函数，试证：(1) 若 E(X)存在，则 EX=P(1) 若 D(X)存在，则 DX = P(1)+ P (1)- P (1) 2证明:(1)因为p( s)=k 0p kSk，则P (s)= kpkSk 1,令sT h得EX=k 1kkPk4.设XN(0,1),求特征函数g(t)1 解g(t)矿2itx xe 2dx由于2itx Xixe 22x1e2，且ttg(t)1TT2itx 些iix

2、e 2dx 頁2 2DX EX EX npqP (1) o(2) 同理可证 DX=p (1)+ p (1) p (1) 23. 设X服从B(n,p),求X的特征函数g(t)及EX,EX,DX.解：X的分布列为 P(X=k)=c 兽 pkqn 1 , q=1-p,k=0,1,2,.n,g tn eitk C k p k qnk n C k pe it qnk pe itk 0k 0由性质得，c - ditnEX ig 0 滋 pe q t0 np22 2d；+ n22EX i g 0 i牛 Pe q npq n pdtt 02itx Xe 2 dx，故由积分号下求导公式有2ixtXe de222

3、itx X.2 e 2titxe.xNdxtg(t)于是得微分方程g (t)+tg(t)=02t C解得方程的通解为g(t) C由于g(0)=1,所以c=o,于是得X的特征函数为g (t) ec 2),5.设随机变量YN,解：设XN(0,1),则由例令 丫= x ,则 YN,i xi te gX t e2t_求Y的特征函数是gY(t).21.3知X的特征函数g(t) (T 2)，由前面的命题知Y的特征函数是2 2_L2设X1,X2X是相互独立的随机变量且 Xb(ni,p),i=1,2,n,则nXib nPi 1因为Xb(ni,p),所以其特征函数为i1,2, .n,it n Xit Pe q

4、,i由特征函数的性质知,nxi的特征函数为i 1Peit qmitPe qngYt再有唯一性定理知Xib1nni,pii ,i 1,2,. n,则1证因为X i所以其特征函数为iit i e gXi e,i 1,2,.n有特征函数的性质知,X j的特征函数为gYtni 1 gX再由唯一性定理知iti eniti e 1 ei 18.设X1,X2Xnni1Xi因为Xit i / Xi ei:2t,i有特征函数的性质知,gYtni 1 gXi再由唯一性定理知nXii 1是相互独立的随机变量，且XiN r 2,i 1,2,.n，则2,所以其特征函数为1,2,nXi的特征函数为iiei 1Y i1Xi

5、=1000的泊松分布，又设每位顾客所花9.设商店在一天的顾客数N服从参数入的钱数X服从N(100,502)，求商店日销售Z的平均值。解：由条件知znXii 1而 EN=1000 EX1=100，故 EZ=EN EXi=1000X 100=100000（元）10.设随机变量X的特征函数为gx（t）,Y=aX+b,其中a,b为任意实数，证明丫的 特征函数gY（t）为g 丫 t f g x at.it aX bi at X ibtibti at Xibt证gYt E e E e e e E e e gX at11.求以下各分布的随机变量 X的特征函数g(t).(1)两点分布b(1,p)正态分布N(卩

6、，6 2)(2)二项分布b( n,p)指数分布Exp(入)(3)泊松分布p(入)(7)均匀分布U(a,b)(4)几何分布Ge(p)(8)伽马分布r ( a,入)解：(1)令 Xb(1,p),则 P(X=0)=1-p=q,p(x)=p.则根据特征函数的定义，得：1,2. .n.g teitX kp, kk 1it?0it ?1e q e pitqPe令Xb(n,p),则k k nCnP qk,q 1p,k1,2. n.有特征函数定义，可知k 0it eitk ke CnP qk 0k itk n kCn eitp qnp q令Xp(入),则p(Xk)k! e ,0,k 0,1.nek 01k 0

7、 k!iteeite 1有特征函数定义可知:kitkk! e it k ee 设 XGe(p),则 p(X=k)=pqk-1 ,q=1-p,k=1,2 n有特征函数定义知:itk k 1g(t) e pqk 1itp?性_iq 1 qeit设XN0,C 2),因为当卩=0, (T =1时得出特征函数为g (t) g卩,则X的特征函数为itxe ,x 00,x 0g(t) e g t设XExp(入),则可知密度函数f(x)则有特征函数定义，可得：itxg(t) e f x dxitxx0 e e dxxdxx011it0 eit厂eit 设XU(a,b),贝冋知密度函数为f(x)1 ,a b a

8、0,其它itxg(t) e f xdxb itx 1dxa b a1 b itxe dxb a aD1itx bb a it e a1itb itab a it e e(8)设xr ( a ,入),则密度函数f x,1 xx e ，x 00,x0itxg(t) e f x dxitxo e1xx e dx1 ito x exdx 令 Uit xdUitUititit第二章:1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为离散参数链，连续参数链，随机 序列，随机过程四类.2、 若X(t) , t T是零均值的二阶矩过程，若对任意的t1t2 t30,其中丫，Z是相互独立的N (0, 1)随机变量， 求

9、X(t) , t0的一维和二维概率密度族.解：由于X与Z是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态随机变量， 要计算X(t) , t0的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征m(t)，DX(t)，p(S，t)即可 m x(t)=E(Y+Zt)=EY+tEZ=0，B(t)=D(Y+Zt)=DY+t 2DZ=1+,B(s,t)=EX(s)X(t)- mx(s) m x(t)=E(Y+Zs)(Y+Zt)=1+st,P (s t)二 Bx(S，t)P( , )=vDX(SyvDX(tT V(1+s2)(1+t 2)故随机过程X(t) ，t0的一、二维概率密度分别为X2厂exp- ，t0，1+stf

10、t(x)=V 2 n (1+2)2(1+t 2)J1-1x2fs,t(X1,X2)= 2nV(1+g)(1+t 2)R .exp 2T75 時X1X22PV (1+s2)(1+t 2) +,s,t0,4、设X(t)，其中 P = Px(s, t)t = 0是实正交增量过程，X(0)=0，V是标准正态随机变量，若对任意的t三0,X(t)与V相互独立，令丫(t)=X(t)+V，求随机过程Y(t) , t三0的协方差函数.解：依题意知EX(t)=0，EV=0,DV=1 所以EY(t)=EX(t)+V=EX(t)+EV=O ，Bt 1，12)=E(X(t 1)+V)(X(t 2)+V) =EX(t 1

11、)X(t 2)+EV 2= t 2X(min(t 1,t 2)+1.5、试证明维纳过程是正态过程。证明：设B(t),t 0是参数为T 2的维纳过程，对于任意的n,任取0W t 1t 2 0是正态过程.X(a)=0，定义 F(t)表示 E X(t)6 设X(t) ，t a,b是正交增量过程，且2=RX(t,t)，t T,则有:(1) Rs,t)=F(mi n(s,t)(2) F(t)是a,b上的非负单调不减函数证明：(1)假设astvb,Rx(s,t)=EX(s)X(t)=EX(s) X(t) -X(s) X(s)=EX(s) 2=F(s)同理若 sstb,则 FX(s,t)=F(t)所以 R(

12、s,t)=F(min(s,t) 对任意的 astb，求证 F(s) 0F(t)-F(s)=E X(t) 2-E X(s) 2=EX(t) X(t) -R X(s,t)=EX(t) X(t) - EX(s) 丽=EX(t)-X(s)=EX(t)-X(s) =EX(t)-X(s) EX(t)-X(s)X(t) X(t) -X(s) X(s) X(t) -X(s) +X(s) X(a) =EX(t) -X(s) 20所以F(t)是a,b上的非负单调不减函数,证毕.7、设A B是两个随机变量.试求随机过程X(t)=At+B,t (-,)的均值 函数和自相关函数。如果 A, B相互独立，且AN(0,1)

13、,BU(0,2),问X (t )的均值函数和自相关函数又是什么？8、求随机相位正弦波X (t) =acos ( t ), t (-,)的均值函数，方差函数和自相关函数，其中a和 是正常数，U(0,2 ) o9、设X(t)=Acos t+Bsin t，t T (-,)，其中A,B相互独立，且都服从2正态分布N(0,)的随机变量，是实常数。证明X(t)是正态过程，并求它的均值函数和自相关函数。10、设有两个随机过程X(t)= gi (t+ )和丫(t)= g(t+),其中gi和g都是周期为L的周期方波， 是(0, L)上服从均匀分布的随机变量。求相互函数Rxy (t ， t+ )的表达式。第三章1

14、、 泊松过程的定义：称计数过程X(t), t 0,为具有参数入0的泊松过程，若 它满足下列条件：(1) X(0)=0;(2) X(t)是独立增量过程； 在任一长度为t的区间(s,s+t中，事件A发生的次数X(t+s)-X(s)服从参数入t的泊松分布，即对任意s, t 0,有nt tP X(s t) X(s) n e L,n 0,1,.n!2、 泊松过程的定义：称计数过程X(t), t 0为具有参数入0的泊松过程，若 它满足下列条件：(1)X(0)=0;X(t)是独立、平稳增量过程；(3) X(t)满足下列两式：PX(t+h)-X(t)=1=入 t+o(h),PX(t+h)-X(t)2=o(h)

15、3、设X (t) ,t 0是参数为入0的泊松过程，则(1) 均值函数：mX(t)=EX(t)=EX(t)-X(0)=;2(2) 方差函数：X t DX (t) DX(t) X(0) t(3) 自相关函数： R0是具有跳跃强度(t) (1 cos t)/2的非齐次泊松过程(0) 求 EX(t)和 DX(t)。解：EX(t) m)x(t)= 1/2(1 cos(ws)ds=1/2(t1/ sin( t)0DX(t)mx(t) 1/2(t 1/ sin( t)5、设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户

16、二人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人户数是相互独立的，求 在五周内移民到该地区人口的数学期望和方差。解：设N(t)为在时间0，t内的移民户数，Y表示每户的人口数，则在0，tN(t)内的移民人数X(t)=Yii 1是一个复合泊松过程。Y是相互独立且具有相同分布的随机变量，其分布列为P(Y=1)= P(Y=4)=1/6P(Y=2)=P(Y=3)=1/3EY=15/6 , EY 2=43/6根据题意知N(t)在5周内是强度为10的泊松过程m x=10EY=10 15/6=25x (5)=10 eW=10 43/6=215/36、设X(t)和X(t)是分别具有参数入1和 入2的相互

17、独立的泊松过程，证明:Y(t)=X 1(t)+X 2(t)是具有参数入1 +入2的泊松过程。证明：Y(t)是独立增量过程，且PY(t+ t )-Y(t)=n=PX 1(t+ t )+X2(t+ t ) - X(t) - X2(t)=n=PX 1(t+ t ) - X1(t)+X 2(t+ t ) - X2(t)=n-nPX 2(t )-X2(t) n-i, X1(t )-X1(t) ii 0n= PX 2(t )-X2(t) n-i PX 1 (t )-X,t) ii 0e-入1 t(枪t)i!(n-i)!e-甞，n=0,1,27、设到达某商店顾客组成强度为 入的泊松过程，每个顾客购买商店的概

18、率为P, 且与其它顾客是否购买商品无关，若Yt，t 0是购买商品的顾客数，证明Yt , t 0是强度为入P的泊松过程。证明：设X(t) ,t 0表示到达商店的顾客数，i表示第i个顾客购物与否，即:1,第i个顾客购物，i0,第i个顾客不购物.则由题意知i, i=1，2,独立同分布，且与X(t)独立P i=1=p, P i=0=1-pX(t)因此，丫(t)=i是复合泊松过程，i 1EY(t)=入 tE( i)=入 pt ,Y(t)的强度 丫 =EY(t)/t=入 p.8、设在0,t内事件A已经发生n次，且0 s t ,对于0 k n,求P X(s) k X(t) n .解：利用条件概率及泊松分布得

19、:P X(S) k X(t)P X(s) k,X(t) n P X(s) k,X(t)-X(s) n-k n =一P X(t) nP X(t) nesek!n-k(t-s) (t - s) (n - k)!e sen!cn(：)k(1-；)n-k这是一个参数为n和s的二项分布t9、设 X(t) , t0是具有参数为的泊松过程，假定S是相邻事件的时间间隔,证明P S s1 s2S 3 =PS S2 ,即假定预先知道最近一次到达发生在 S1 秒,下一次到达至少发生在将来 S2秒的概率等于在将来S2秒出现下一次事件的无条件概率解：P S s1 s2S s1 =PX(Si S2)-X(sJ 0 0S2

20、)e 0!=eS2=1-P(SS2)= P(SS2)10、设在0,t内事件A已经发生n次，求第k次事件A发生的时间W的条件概率密度函数。Is1 s+h丄1 1tWkWn11、设Xi(t),t 0和X2(t),t0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时1间内平均出现的事件数分别为 入1和入2。记Wk为过程X1(t)的第k次事件到达 事件，W 为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求Pw(1 0是具有跳跃强度(工 0).求 EX(t)和 DX(t).1(t)21 COSt的非其次泊松过程0解：当t0时，由于W, tX t n ,故t解：由mX(t)=sds式得0Ex(t) mx(t)111 cos

21、 t ds02t11由 mX(t)=sds式知 DX(t)= mx(t)t sin t0213、设 Wn, n 1是与泊松过程X(t), t0对应的一个等待时间序列，试证明Wn服从参数为n与 的 分布,并请写出其概率密度证明：注意到第n个事件在时刻t或之前发生当且仅当到时间t已发生的事件数目至少是n,即：X(t) n Wn因此 P Wnt PX(t) neSj!对上式求导,得Wn的概率密度是:f Wn (t)j! j n(j-1)!t ( t)n-1(n-1)!sds的非其次泊松过程，W,n 014、设X(t),t0是具有均匀函数 m(t)=是等待时间序列。求Wn的概率密度。PWn t PX(

22、t) nj n J!上式对t求导。得到w的概率密度为fWm(t)e由于mt t。故Wn当t 0使购买商品的顾客数，证明Yt, t 0是强度为入p的泊松过程。解：设X (t) ,t 0表示到达商店的顾客数，E i表示第i个顾客购物与否， 前1,第i个顾客购物，即 i 0,第i个顾客不购物。则由题意知 E i,i=1,2独立同分布，且与 X (t ) 独立，P ( E i=1)=p, P(E i=0)=1-p,因此，YtX(t)i是复合泊松过程，EY(t)=入tE( E 1)=入pti 1 E(W)=n,即泊松过程第n次到达时间的数学期望恰好是到达概率倒数的n倍。 D(W)二亠，即泊松过程第n次到

23、达时间的方差恰好是达到概率倒数的n倍证明：(1)设Ti表示X (t) ,t 0第i-1次事件发生到第i次事件发生的时间 间隔，贝U Ti，i=1,n相互独立且服从均匀值为1/入的指数分布。Y(t)的强度入 Y=EY(t)/t=入t16、设X (t) ,t 0为具有参数入的泊松过程，证明1 1E -,DTi r，I=1,，nnn(1) DWn E TiETi-i 1i 1 n DWn D Tii 116、设X(t), t 0是具有参数0的泊松过程，试求其有限维概率分布族解：对任意的自然数n， 0 t1t2. tn及任意的非负整数匕*2,匕有:PX(t1)k1,X(t2)k2,.,X(tn)kn显

24、然k1 k2kn= PX(t1)k1,X(t2)-X(t1)k2-k1,.,X(tn)-X(tn-1)心-“=PX(tJ k1 PX(t2)-X(t1)k2-k1 . PX(tn)-X(tn-1)心叽=(tjk1e(t2J)k2k1e (t2-t1)(tn-tn-1)kn kn1e (tn-tn-1)kJ(k2kJ!(kn knJ= kne tntka-J2 k1(tn -tn-1)kn kn1=k1!(k2 k1)! (knkn1)!17、X(t), t 0是具有参数0的泊松过程,Tn，n 1是对应的时间间隔序列,试证明随机变量Tn(n1,2,.)是独立同分布的均值为 丄的指数分布.解：首先

25、注意到事件T1t发生当且仅当泊松过程在区间0,t内没有事件发生，因而 PT1 t PX(t) 0 e t,即 Ft1 (t) PT1t 1PT1t 1 e t,所以服从均值为1的指数分布.利用泊松过程的独立、平稳增量性质，有：PT2tT1s P在s,s t内没有事件发生T1s P在s,s t内没有事件发生PX(t s)-X(s)0P X(t) - X(0)0即Ft2 (t)PT2t 1 PT2 t 1 e t ,故T2也是服从均值为丄的指数分布.对于任意n1和t, Si(2Sz 0 ,有P TntTiSi,.,Tn-i Sn-1 P X(tSi. Sn-i)-X(SiS2Sn-l)0PX(t)

26、X(0)0e t,即 F/)PTnt1 e t所以对任一 Tn(n1),其分布是均值为丄的指数分布18.设 X t证明：,t 0是泊松过程，求其特征函数族iuX (t)iun lgx(u) E e ()e P X(t) n0iu n eiun e t ( t)e t( te )e een 0n!n 0n!e t expteiuexpt(eiu1)例3.8设X t ,t 0是具有跳跃强度1(t)2(1 COS t)的非齐次泊松过程 0求 E X t 和 D X t .解：EX (t) DX (t) mx(t)(s)ds110 2 (1 cos s)ds01 sin例3.10某镇有一小商店，每日上

27、午8:00开始营业，从8:00到11:00平均顾客到达率 线性增加，在8:00顾客平均到达5人/h ； 11:00到达率达到最高峰20人/h ;从上午 11:00到下午1:00平均顾客到达率为20人/h ;从下午1 :00到下午5:00顾客到达率 线性下降，到下午5:00时为12人/h，假定在不重叠的区间内到达商店的顾客数是相 互独立的，问在上午8:30至9:30时间内无顾客到达商店的概率，并求这段时间到达 商店的顾客数的数学期望。第四章1、设Xn，n T为马尔可夫链，试证明：X-7-PkP对任意整数n 0,1 | n和i,j I,n步转移概率pj证明:利用全概率公式及马尔可夫性，有p(n)

28、p X Xi P X m L X m n jPij PXm n JXm i_ _.PXm iPXm i,Xml k,Xmn j PXm i, X m lk IPXm i,Xm | kPXm iPXm n j Xm l k PXm l k Xm ik IP(k；-l)(ml)p(2(m)p(2pkn-l)k Ik I2、设质点在数轴上游动，每次游动一格，向右移动的概率为p,向左移 动的概率为q 1 p,这种运动称为无限制随机游动.以Xn表示时刻n 质点所处的位置，则Xn,n T是一个齐次马尔可夫链，试写出它的一 步和k步转移概率.解:显然Xn,n T的状态空间I 0, 1, 2,.,其一步转移概

29、率矩阵为P . q 0 p 0 .设在第k步转移中向右移了 x步，向左移了 y .0 q 0 p .步,且经过k步转移状态从i进入j,则：x y k, x-y j-i,从而x兰 回，y k-(j -i).由于x,y都只能取整数，所以k (j-i)必须2 2是偶数.又在k步中哪x步向右，哪y步向左是任意的，选取的方法有 ck种.于是(k)C；pxqy, k (j-i)为偶数,P ij0, k (j-i)为奇数.3、设昨日、今日都下雨，明日有雨的概率为0.7 ;昨日无雨，今日有 雨，明日有雨的概率为0.5 ;昨日有雨，今日无雨，明日有雨的概率 为0.4 ;昨日、今日均无雨，明日有雨的概率为 0.2

30、.若星期一、星期 二均下雨，求星期四下雨的概率.解：设昨日、今日连续两天有雨称为状态0(RR)，昨日无雨、今日有雨称为状态1(NR)，昨日有雨、今日无雨称为状态2(RN)，昨日、今日无雨称为状态3(NN)，于是天气预报模型可看作一个四状态的马尔 可 夫 链， 其 转 移 概 率 为： p 00 P R今R明R昨R今 P连续二天有雨P R明R昨R今0.7p01P N今R明R昨R今0(不可能事件)，p02P R今R明R昨R今P N明R昨R今10.70.3p03P N今N明R昨R今0(不可能事件),其中R代表有雨，N代表无雨.类似地可得到所在状态的步转移概率.于是它的步转移概率矩阵为:p00p01P

31、02P030.700.30Pp10P11p12p130.500.50厂p20P21p22p2300.400.6.p30p31p32p3300.200.8其两步转移概率矩阵为:0.700.300.700.300.490.120.210.180.500.500.500.500.350.200.150.30PPP00.400.600.400.60.200.120.200.4800.200.800.200.80.100.160.100.64由于星期四下雨意味着过程所处的状态为0或1,因此星期一、星期二连续下雨，星期四下雨的概率为：p p02)p02)0.49 0.12 0.61 .4、设质点在线段1,4上做随机游动，假设它只能在时刻n T发生移动, 且只能停留在1,2,3,4点上.当质点转移到2,3点时,它以13的概率 向左或向右移动一格，或停留在原处当质点移动到点1时,它以概率 1停留在原处当质点移动到点4时，它以概率1移动到点3.若以Xn表示质点在时刻n所处的位置，则Xn,n T是一个齐次马尔可夫链，其转移概率矩阵为:10001 31 31 3001 31 31 30010试画出各状态之间的转移关系图及标出相应的转移概率.解：由题意可得各状态之间的转移关系及相应的转移概率如下图所13