用导数解决的几类问题

1、用导数解决的几类问题导数与函数是高中内容的重要组成部分，是高考的热点， 同时也是高中学习的重点与难点。 它整合了高中所学的数形结合 思想、转化与划归思想与分类讨论思想， 是集这几大思想的统一 体，是高中数学从研究一次函数、二次函数、正比例函数、反比 例函数、指数函数、对数函数、幂函数图像与性质基础上，通过 导数对函数的单调性、 极值和最值的把握， 大体上描绘出函数的 图像，利用数形结合的方式来解好此类题型。 下面笔者将通过例 题的方式分析出这种题的解题方式。【考纲要求】1）导数在研究函数中的应用。了解函数的 单调性与导数的关系； 能利用导数研究函数的单调性， 会求函数 的单调区间（其中多项式函

2、数一般不超过三次）。了解函数在 某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大 值、极小值（其中多项式函数一般不超过 3 次），会求在闭区间 上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过 3 次）。 2）生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。3）定积分与微积分基本定理： 了解定积分的实际背景， 了解定积分的 基本思想，了解定积分的概念；了解微积分基本定理的含义。热点一：已知函数求极值或最值【例 1】求函数的极值：。【分析】 本题的步骤： 求定义域、求导函数、 求导函数零点、列表和求极值。本题是解决此类问题的“母题”。解法略。 热点二：利用导数研究函数单调性问题【例2】（20

3、10年山东文科数学）已知函数（R）。1）当时， 求曲线在点（ 2, ）处的切线方程。 2）当时，讨论的单调性。【分析】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利 用导数研究函数性质的能力。 考查分类讨论思想、 数形结合思想 和等价变换思想。解法略。热点三：导数与参数取值范围【例 3】设函数。1 ）若 =，求的单调区间。2）若当0时0,求的取值范围。解法略。热点四：恒成立问题【例 4】 （2009 年山东文科数学 ） 已知函数，其中。 1）当满 足什么条件时，取得极值？ 2）已知，且在区间上单调递增，试 用表示出的取值范围。【分析】本题为三次函数， 利用求导的方法研究函数的极值、 单调性和函数

4、的最值， 函数在区间上为单调函数， 则导函数在该 区间上的符号确定， 从而转为不等式恒成立， 再转为函数研究最 值。运用函数与方程的思想、 化归思想和分类讨论的思想解答问 题。解法略。热点五：导数应用题【例 5】（ 2009 年湖南理科数学）某地建一座桥，两端的桥 墩已建好， 这两墩相距米， 余下工程只需要建两端桥墩之间的桥 面和桥墩。经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为米 的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布， 所有桥墩都视为点， 且不考虑其他因素， 记余下工程的费用为万 元。 1）试写出关于的函数关系式； 2）当=640 米时，需新建多 少个桥墩才能使最小？【分析】导数在应用题中的应用。解法略。 热点六：零点应用问题【例6】已知函数（为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=是 区间上的减函数。 1）求的值。2）若上恒成立， 求 t 的取值范围。 3）讨论关于的方程的根的个数。【分析】利用导数研究函数图像问题。解法略。 热点七：探索性问题【例 7】设函数。 1）求的单调区间和极值。 2）是否存在实 数，使得关于的不等式的解集为 （0,+） ？若存在， 求的取值范围； 若