插板法专题讲义

1、“插板法”专题对应计数基础知识：1. 人类最早使用的计数方法，不是枚举，不是排列组合，也不是递推，而是对应。2. 对应的目的：化繁为简，通过简单的计数问题解决复杂的计数问题。3. 对应的常用思路：从整体观察问题，发现问题所对应的本质，不拘泥于其中细微的步骤。4. 常见对应方法：插板对应、方向对应、几何对应。5. 插板法：把 m个相同的球放入 n 个不同的篮子里不得为空：每个间隔至多插一个板子；板子不得相邻，不得插在两端。允许为空：n 个篮子就要补 n 个球，然后转变为每个篮子不得为空。例 1. 小高妈妈每天让小高吃 1 个鸡蛋或者 1 个鸭蛋，那么小高吃完家里的 4 个鸡蛋和 4 个鸭蛋共有多

2、少种吃法？思考：具体的考虑每天的选择，发现后面的种数会受到前面的影响，那么从整体考虑呢？具体的吃法和什么是对应的？其实，只要小高妈妈列出一个吃蛋的安排，事情就变得很简单了。 答疑编号 5721120101【答案】 70【解答】列出这 8 天的安排， 4 个“鸡”和 4 个“鸭”排成一列，这样的排法就对应着这 8 天的吃法。所以，共有（种）例 2.5 枚相同样式的华杯赛奖章颁发给 3 名学生，每个学生至少一枚， 则有多少种颁奖方式？思考：在低年级，这类问题枚举就可以解决。 但是如果数字更大， 枚举就很麻烦了。所以，我们可以从本题中寻找更一般的方法。想象这样一种场景， 老师把这 5 枚奖章排成一列

3、， 然后在间隔中划上两道竖线分割成三部分，于是奖章就分好了。 答疑编号 5721120102【答案】 6【解答】实际上，根据前面的思考，我们发现，把 5 枚奖章排成一列后，从它们的 4 个间隔中选 2 个，插入两块板，奖章就被分为了 3 个部分，我们可以规定最左边的就给学生 A，中间的给学生 B，最右边的给学生 C，于是这两块板的插法就对应着奖章的分法：（种）什么是插板法把 m个相同的球放入 n 个不同的篮子里不得为空：每个间隔至多插一个板子；板子不得相邻，不得插在两端。例 3.10 个相同的桔子放到 3 个不同的盘子里，每个盘子至少放 1 个，一共有多少种不同的放法？第 1 页“插板法”专题

4、 答疑编号 5721120103【答案】 36【解答】显然本题也是用插板法对应起来，共有（种）。思考：插板法适用于什么情况？例 4. 一部电视连续剧共 8 集，电视台要在周一到周四这 4 天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？思考：本题也是一道插板的题，相当于 8 个一样的小球放入 4 个不同的盒子，那么和前面的区别在哪里？我们发现可以有几天不播，那么这就和前面的不同了，如果还使用前面的方式，将会漏掉有几天不播的情况，怎么解决这个问题？ 答疑编号 5721120104【答案】 165【解答】本题实际上和 8 个相同的小球放入四个不同的盒子里是一样的，区别在于，盒子可以

5、为空。我们考虑另外一个问题： 12 个相同的小球，放入四个不同的盒子里，每个盒子里至少一个，有多少种放法？对于后者，我们可以先在每一个盒子里放入一个，于是问题就变成了前者，而且放法是对应的。所以共有（种），即原题中有165 种播法。5. 插板法：把 m个相同的球放入 n 个不同的篮子里允许为空：n 个篮子就要补 n 个球，然后转变为每个篮子不得为空。例 5. （1）数字和为 9，且不含数字 0 的四位数共有多少个？（2）数字和为 9，且小于 10000 的数有多少个？（3）数字和为 9 的四位数有多少个？思考：这道题看起来和前面没什么关系，你能把它和插板法对应起来吗？ 答疑编号 5721120

6、105【答案】（ 1）56【解答】（ 1）把 9 个一样的小球分到“千”“百”“十”“个”4个不同的盒子里，盒子不能为空，每一种分法, 就对应着一个本题所需要的四位数, 利用插板法 ,共有（种）例 5. （1）数字和为 9，且不含数字 0 的四位数共有多少个？（2）数字和为 9，且小于 10000 的数有多少个？（3）数字和为 9 的四位数有多少个？ 答疑编号 5721120106第 2 页“插板法”专题【答案】（ 2）220【解答】（ 2）本题和上题的区别在于，盒子可以为空，补上4 个球变为（ 1），利用插板法，共（种）例 5. （1）数字和为 9，且不含数字 0 的四位数共有多少个？（2）

7、数字和为 9，且小于 10000 的数有多少个？（3）数字和为 9 的四位数有多少个？ 答疑编号 5721120107【答案】 165【解答】（ 3）本题和（ 2）的区别在于，第一个盒子不能为空，所以只需要补上 3 个球变为（ 1），共有（种）例 6. 海淀大街上一共有 18 盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的 7 盏，但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？思考：看到不能相邻，你想到了什么方法？很好，看上去插空法是可以和本题对应起来的，但是要注意，我们排的是什么，插的又是什么，如果排的是路灯，那么这些路灯一样吗？看上去是个麻烦的事情。 答疑编号 5

8、721120108【答案】 792【解答】实际上，路灯早就在那站着了，我们并没有排路灯，也不用考虑路灯到底一不一样，我们实际上安排的是“亮”和“熄”这两种状态，所以本题相当于把 11 个“亮”和 7 个“熄”排成一列，每一种排法对应着一种方案，利用插空法，有（种）例 7. （1）有 10 个小朋友排成一列，要从中选出 3 个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？（2）有 10 个小朋友排成一个圈，要从中选出 3 个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？思考：（ 1）和上题类似，对于（ 2），和（ 1）有什么区别？我们发现，排成一个圈，会有很多旋转重合的情况出现，在对应时就会出问题，怎么处理这个

9、问题呢？ 答疑编号 5721120109【答案】（ 1）56；（ 2）50；【解答】（ 1）插空法即可， 7 个“不选”排成一列，从 8 个间隔中选 3 个插入“选”，有（种）（2）基本想法是先把 7 个“不选”排成一圈，然后插入3 个“选”，再对应起来。第 3 页“插板法”专题但是由于圆排列问题中，旋转是一个问题，为了能够对应起来，我们可以采用“钉人”的方式。比如就“钉住”其中的学生 A。如果学生 A 对应的是“不选”， 那么就先把“不选”排一圈，从 7 个间隔中选 3 个插“选”，有（种），这对应着学生A 没有入选的情况。如果学生 A 对应的是“选”， 那么先把这个“选”和7 个“不选”排

10、一圈， 从 6 个“不选”的间隔中，选2 个插“选”，有（种），这对应着学生A 入选的情况。所以共有 35+15=50（种）例 8. （1）一只青蛙沿着一条直线跳跃 4 次后回到起点。如果它每一次跳跃的长度都是 1 分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？（2）如果这只青蛙在一个方格边长为 1 分米的方格纸上沿格线跳跃 4 次后回到起点，每次跳跃的长度仍是 1 分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？思考：要想回到起点，对青蛙的跳跃有什么要求？ 答疑编号 5721120110【答案】（ 1）6；（ 2） 36；【解答】（1）青蛙必然是两步左， 两步右，因此只要把两个“左”和两个“右”排成一列，

11、每一种排法就对应着青蛙的一种跳法，有（种）（2）分为两类：第一类，上下左右各一步，相当于把“上”“下”“左”“右”排成一列，有（种）第二类，上下各两步或左右各两步, 类似（ 1）, 有（种）所以共 24+12=36（种）例 9. 如左下图所示，有两条平行线，如果每条直线上有3 个点，连出 3 条线段，从图中最多可以数出7 个三角形；如右下图所示，如果每条直线上有4 个点，连出 4 条线段，从图中最多可以数出16 个三角形。如果每条直线上有10 个点，连出 10 条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？ 答疑编号 5721120111【答案】 210【解答】实际上，三角形的 3 条边决定了这个三

12、角形。这三条边不同，这个三角形也就不同。但前提是它们能组成三角形。在第一个图中，有5 条直线，随便选 3 条，有种，但是这 10 种并不是所有第 4 页“插板法”专题的都能组成三角形，需要排除掉同时选到平行的两条线的情况，共3 种，所以是： 10 3=7 种第二个图也是一个道理，随便选有种，排除掉 4 种，有 204=16 种。所以 10 条线时，有种例 10. 在 88的方格表中，取出一个如图所示的由 3 个小方格组成的“ L”型，共有多少种不同的取法？思考：这样的图形总是处在一个怎样的更好数的图形中？它们是怎样的对应关系？ 答疑编号 5721120112【答案】 196【解答】实际上，每一

13、个“田”字型就对应着4 个“ L”型，所以数“田”字就行。在 88的格子中，“田”字有 77=49 个，所以“ L”型有 494=196（个）兴趣篇2、东东妈妈每天让东东吃1 个鸡蛋或 1 个鸭蛋，那么东东吃完家里的4 个鸡蛋和 4 个鸭蛋共有多少种吃法？【肯定是 8 天吃完。方法一：排列组合C（8,4 ）=70方法二：对应法中的插板。鸭蛋往鸡蛋里面插或鸡蛋往鸭蛋里面插，分成4 个，3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1.转载：以 4 个鸡蛋为间隔物，可以有5 个放鸭蛋的位置。情况一： 4 个鸭蛋放在一起，从5 个位置中任选 1 个， C(5,1)=5情况二： 4 个鸭蛋分成两组， 1、3

14、,2 、2,3 、1，从 5 个位置中任选 2 个， 3C(5， 2）=30情况三：4 个鸭蛋分成三组， 1、1、2,1 、2、1,2 、1、1，从 5 个位置中任选 2 个，3C(5，3）=30情况四： 4 个鸭蛋放在一起，从5 个位置中任选 1 个位置不放鸭蛋， C(5,1)=5所以一共有 5+30+30+5=70种吃法。方法三：标数法】【导引上的答案是“ 140”是错误答案，导引上每册都有几道题目有问题，不知道新版有没有纠正，所以学生在学习过程中到了一定程度后不能尽信书，敢于质疑，质疑是在全面思考之后有足够的把握】补充：（巨人尖子班期末考试）13.有 3 个鸡蛋和 2 个鸭蛋，每天只能吃

15、一种蛋，鸡蛋每天最多吃两第 5 页“插板法”专题个，而鸭蛋每天只能吃一个，直到吃完。那么一共有_种不同的吃法； ( 看成每次向上走 1、两步或者向右走1 步)3、常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4 局即获得比赛的胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？【方法 1：排列组合 C（7,4 ） * 2 =70.七局四胜，还可以分常昊胜或古力胜。方法 2：分类讨论。8、数字和为 9，而且不含数字0 的三位数共有多少个？四位数共有多少个？【插班法， 9 看成并排的 9 个苹果，求三位数可以看成三天来吃，每天至少吃一个。四位数也是如此。】9、有一批规格相同的均匀圆棒，每根

16、划分成相同的 5 节，每节用红、黄、蓝 3 种颜色中的一种来涂，相邻两节不能涂色，那么可以染成多少种不同的圆棒？【考虑对称性。圆棒因为可以颠倒过来看。如果不能颠倒，共有3*2*2*2*2=48 种，对称的有 3*2*2=12 种，48+12=60 60/2=30 种；还可以看成用1、2、3 三个数字组成 5 位数】补充 :有一批规格相同的均匀圆棒, 每根划分成相同的5 节 , 每节用红、黄、蓝 3 种颜色中的一种来涂 . 问可以得到多少转载：由于圆棒部分左右，因此旋转后相同的只能算作一种。为此，可以从中间一节着手。 5 节颜色一样是有： 3 种；左右对称时有： 3*2*3+3*1*2=24 种

17、； 左右不对称时有： 1、 5 节或 2、4 节不同有 3*3*3*2=54 种； 1、5 节和 2、4 节同时不同有 3*3*2*3=54 种；所以，全部有 3+24+54+54=135 种。或者：共有 3*3*3*3*3=243 种着色方式 , 其中有 3*3*3 种是对称的 . 因为圆棒可以反过来使用 , 必须去掉重复的 . 因此 , 共有 (243+27)/2=135 种10、给一个正四面体的 4 个面染色，每个面只允许用一种颜色，且 4 个面的颜色互不相同。现有 5 种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是一种方式）【此题如果有动画最好。 也可以自己制作粘贴

18、成一个正四面体。 操作一下对小学生比较好。四种颜色染正四面体，只有手性的不同，也就是两种，顺时针和逆时针的不同。共有 C（5,4 ）*2=10 种】拓展篇4、如图 20-4 所示，有两条平行线，如果每条直线上有 3 个点，连出 3 条线段，从图中最多可以数出 7 个三角形，【这里原题中出错了，写成了 5】；如图 20-5 所示，如果第 6 页“插板法”专题每条直线上有 4 个点，连出 4 条线段，从图中最多可以数出 16 个三角形。如果每条直线上有 10 个点、连出 10 条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？【观察分析。一条直线上有 3 个点时，就有 2+1=3 条线段，分别对应 3 个三

19、角形，另一条直线也是如此，也有 3 个三角形。以边上的线段为底的三角形共有 2C(N,2). 其次讨论内部的三角形 , 依然按线段来确定三角形，按增量分析，有 C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+.+C(N-1 ， 2）】n=10，90+1+3+6+10+15+21+28+36=210个】10、3 个男生和 7 个女生站成一排，要求每 2 个男生之间至少有 2 个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？【（ 1）先看 7 个苹果与 3 个隔板的放法。每两个隔板之间至少有两个苹果。那就去掉4 个苹果，相当于有两个苹果粘在后面两个隔板上，这样还剩了3 个苹果。三个板子可以分类： 3,2+1

20、,1+1+1 ；共有 20 种。20*P（3,3 ）*P（7，7）=604800（ 2） 10 个位置，进行编号，左右对称，各有 4 个，正上正下各有一个，正上方为 1，按顺时针编号。题目中没有说旋转后相同为同一种。所以不用旋转，是固定的。男生当成黑棋子，女生当成白棋子，这样看有多少种符合的方法。 黑棋子可以有 1，4,7 ；1,4,8 ；1,5,8 ；含有 2 的也有三种，含有3 的也有三种，之后后会重复。所以共有9*P（3,3 ）*P（7，7）。但答案是（ 3,3 ）*P（ 7， 7） =30240，没有考虑顺序问题，这是出题的歧义所在。需要出题更清晰一些。】12、用 4 种颜色为一个正方

21、体的 6 个面染色，要求每个面只能用 1 种颜色，且相邻面的颜色必须不相同。如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？【染色计数常用模型是正方体和正四面体，空间想象能力，对称思想。正方体考虑对面染色。 计数题目题目的清晰很重要。 虽然有时候会通过大量做题形成惯性思维而变得容易理解题意， 但这种方式理解对题意反而对学生的学习是一种束缚， 可以说是一种坑害。 出题一定要精确精准。 如果在理解题意上耽误太多时间那么就失去了做题的意义。此种题型开头需要注明是4 种颜色全用上还是可以全用也可以用其中一部分。同时“翻转”与旋转不同，此题最好加上“经过翻转或旋转后

22、颜色相同”本题解法按小于等于4 种来解。若要符合题意至少需要 3 种颜色，如果用 3 种颜色，就必须对面颜色相同。可以利用魔方来观察。而且只有一种方式，因为旋转后都一样。（ 1） 4 种里面选取 3 种颜色，有 C（4,3 ） =4 种。（ 2） 4 种颜色全用上。肯定有两个对面是不同颜色，其他两个对面是相同颜色。这样有 C(4,2 ）=6 种。共有 10 种染色方法。第 7 页“插板法”专题题目答案 230 种是错误的。如果用 6 种颜色（允许不全用）染正方体，符合题意的答案是 230 种，是摘自高中数学联赛的一道题目。补充一题：将正方体 ABCD-A1B1C1D1的六个面染色， 有 4 种

23、不同的颜色可供选择， 要求相邻的两个面不能染同一颜色，则不同的染色方法有（）A256 种B144 种C120 种D96 种考点：排列、组合的实际应用专题：计算题分析：首 先分类用 3 种颜色和用 4 种颜色，用三种颜色先分步： 4 种颜色中选 3 种有 4 种结果，每相对的 2 个面颜色相同，先涂 1 个面 3 种情况，涂对面 1 种情况，涂邻面 2种情况涂邻面的对面，涂剩下的 2 个面 1 种，当使用四种颜色， 6 个面 4 个颜色，相当于用 3 种颜色涂完之后把其中一面颜色，换成剩下的那个颜色，最后相加相乘得到结果解答：解：由题意知本题是一个分类与分步原理综合应用问题，首先涂法可分两类：用

24、 3 种颜色 和 用 4 种颜色用三种颜色先分步： 4 种颜色中选 3 种 N=4每相对的 2 个面颜色相同先涂 1 个面 3 种情况，涂对面 1 种情况涂邻面 2 种情况涂邻面的对面涂剩下的 2个面 1种此步情况数 N=432=24当使用四种颜色6个面 4个颜色相当于用 3 种颜色涂完之后把其中一面颜色换成剩下的那个颜色有243=72总情况数 24+72=96故选 D点评：本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想， 本题解题的关键是利用计数原理，不重不漏的表示出所有符合条件的事件数，本题是一个难题【注意此题八个点是标上了不同的字母】超越篇1、某工厂生产一批网聚，玩具为一条圆环上均匀安装着

25、13 个小球，其中 3 个是红球，10 个是白球。如果2 个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球，白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的，那么一共可以生产多少种不同的圆环？【“翻转”换为“翻转或旋转”或更贴切的词。方法为插空或分类枚举。分3 个红球一起， 2+1,1+1+1，三类，考虑对称性。分别有1 种， 5 种， 4+3+1=8种，共有 14 种】第 8 页“插板法”专题2、对于由 1 至 6 组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的 1 次操作：记首位数字为 k，则将数字 k 与第 k 位上的数字对换。 例如，245136可以进行两次操作： 2451

26、36-425136-125436. 请问：可以进行 5 次操作的六位数有多少个？【简单入手分析，或枚举分析，最终可以采用倒推分析法。最后的形式有12， 13， 1 4， 1 5， 16五种；之后单独讨论12，前一步会有21，之后再前一步，一直往前推。有2*3*4*5=120 种。】3、大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有 2 枚， 2 枚，3 枚。现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能相邻， 共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一圈呢？【涉及到了“圈”的问题。题目依然的没有说清楚。如果有圈之外的参考物，那就是有顺序或序号的。圆排列定义：从 n 个不同元素中不重复地取出 m（1mn

27、）个元素在一个圆周上，叫做这 n 个不同元素的圆排列。如果一个 m-圆排列旋转可以得到另一个 m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。“实质”用词不太精确，加注：翻转后相同的为同一种方法。比较好。圈的可以加注：旋转后相同的为同一种方法。计数题很多是难在出题不清楚，让学生产生恐惧，因为理解不了出题人的意思。这是害人之处。利用插空法。大圆圈代表蓝色，三角代表黄色，菱形代表红色。先放好大圆圈，之后再放置三角，最后放菱形。 ?先讨论大圆圈与三角的放置，同时考虑对称性，因为翻转后重合的是同一种。有：；此种有 5 种；5种；1 种；5+3+1=9种剩下的就会重复，但还有一种要记得，那就是；1种。总共 21 种

28、。排成一圈的，注意旋转或翻转后重合的为同一种。只有两种。4、有 8 个队参加比赛，采用如图 20-6 所示的淘汰制方式。问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？【理解题意，虽然给了一个图，但要你做的只是第一轮的排列方式。第 9 页“插板法”专题C(8,4 ）/2*C(4,2)/2*C（4,2 ） /2=315 种，也可以采用细致的分析。】6、动物园的门票 5 元 1 张，每人限购 1 张。现在有 10 个小朋友排队购票，其中 5 个小朋友只有 5 元的钞票，另外 5 个小朋友只有 10 元的钞票，售票员没有准备零钱。请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【标数法。 4

29、2*p(5,5)*p(5,5)=604800.也可以用其他方法】5、平面上 8 个点构成一个凸多边形，将这8 个点中任意 2 个点之间连接一条线段，已知任意 3 条线段都没有交于一点，请问:(1) 八边形内共连接了多少条线段？【两端点均为原凸多边形顶点】（ 2）这些线段在八边形内共有多少个交点？（ 3）所形成的图形中最多可以数出多少个三角形？【分析对应成四边形。（ 1） C（ 8,2 ） -8=20 条（ 2）任意四个顶点可以组成一个四边形，对角线相连得一个内部交点。C（8,4 ） =70 个点（ 3）三角形分四类：（对应成四边形，五边形，六边形）问三：按照三角形顶点的类别（顶点还是交点）分4

30、种情况1. 3个顶点组成 C(8,3)2. 2顶点 1 交点 每 4 个顶点对应 4 个这样的三角形C(8,4)X 43. 1 顶点 2 交点 每 5 个顶点对应 5 个这样的三角形 C(8,5) X 54. 3 个交点 每 6 个顶点对应 1 个这样的三角形 C(8,6) X 1共有 280+280+56+28=644个。7、经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打。 有一天共有 7 封信要打印，经理按 1 号信，2 号信，。，7 号信的顺序交给秘书。午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了 5 封信，她已经把 5 号信打好了，但未透露上午工

31、作的其他情况。问：（ 1）如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？（ 2）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？【最简单的方法是与标数法对应。来自资优：（ 1）每封信都有：“收信”和“打信”两步。因此5 封信共有 5 次收信和5 次打信。按照收信次数不少于打信次数，利用标数法，对角线以下标数。共有 42 种（ 2）由于上午已经打完第 5 封，故至少已经向右下走了一格，另外由于经理已经给了 5 封，故已经在收信方向上走了 5 格。因此按打印的封数来分别计算：如打印一封：则有20*1=20如打印二封：则有C（ 4,1 ）*14=56如打印三封：则有

32、C（ 4,2 ）*9=54第 10页“插板法”专题如打印四封：则有C（ 4,3 ）*5=20共 150 种，但书后答案是 152 种，是包含 5 号信没有打的情况，但题意说了“她已经把 5 号信打好了”，故正确答案应该是150 种。枚举分类法：来自百度：(1) 打信顺序可能情况（数字代表信的编号）1 开头 5432 4532 4352 4325 3542 3452 3425 3245 3254 2543 2453 2435 2345 2354 14种2 开头 5431 4531 4351 4315 3541 3451 3415 3145 3154 1543 1453 1435 1345 1354 14种3开头 5421 4521 4251 4215 2541 2451 2415 2145 2154 9种4开头 5321 3521 3251 3215 4 种5开头 4321 1 种 综上总计 42 种可能（ 2）分析情况，如果上午只打了1封信：剩下 4321 那么一共有： 5（76 在一起） +6X5/2（67 顺序可以不在一起） =20（这里之前算成 21 了）2封信：首先可能剩下的信有4 种， 321 421 431 432 ，然后每一种确定了之后他们的顺序也固定了