振动与波动复习[高教课堂]

1、复习复习 振动与波动振动与波动 15-1 简谐振动简谐振动 一、简谐振动的特征及其表达式一、简谐振动的特征及其表达式 1、振动方程、振动方程: d x dt 2 2 =+ 2x 0 k m = 圆频率圆频率 A = x0 v 0 + 2 2 2 = j v 0 x0 arctg () j =t+cos()xA 2、表达式、表达式: 4、振幅、振幅、 初相位初相位: 1) 能证明能证明 系统是否系统是否 为为简谐振简谐振 动动及求出及求出 圆频率。圆频率。 2) 能据条能据条 件写出件写出振振 动方程。动方程。 3、动力学特征、动力学特征: F = kx 二、谐振动的振幅、周期、频率和相位二、谐

2、振动的振幅、周期、频率和相位 1.振幅、相位和初相振幅、相位和初相 Ax+ = cos( )tj j 初相初相 (t =0 )时刻的相位时刻的相位 + ()tj 相位相位( 或周相或周相 )= A振幅振幅(位移最大值的绝对值位移最大值的绝对值) 2.周期、频率周期、频率 T = 2 n T = 1 n=2 T角频率角频率周期周期 3.振动能量振动能量 动能和势能互相转换，总能量动能和势能互相转换，总能量 E=kA2/2。 三、旋转矢量、相位差三、旋转矢量、相位差 x 0 A M P x (t)+j M 点在点在x 轴上投影轴上投影 点点P 的运动的运动规律：规律： xt)(cos =+ Aj

3、15-5 同方向谐振动的合成同方向谐振动的合成 一、同方向同频率振动的合成一、同方向同频率振动的合成 1.合振动振幅合振动振幅 1 22 =AAAAA+ 22 2 12 cos( 1) jj coscos 1 2 = AA + +1 1 1 tg sinsin 2 22 AAjj jj j2.合振动初相合振动初相 3.合振动的加强与减弱合振动的加强与减弱 1 2 A A 合振动加强合振动加强 1 合振动减弱合振动减弱 AA 2 12= AAA 12= AAA+ (2k+1) 12 = 若若j j = 若若2k 12 jj 、 +( k =012 . 、 + ) 、 +( k =012 . 、

4、+) 1 22 =AAAAA+ 22 2 12 cos( 1) jj 如图所示，轻质弹簧的一端固定，如图所示，轻质弹簧的一端固定， 另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量 为为m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下 自由振动。已知弹簧的劲度系数为自由振动。已知弹簧的劲度系数为k,滑轮半滑轮半 径为径为R 转动惯量为转动惯量为J。 (1)证明物体作简谐振动证明物体作简谐振动; (2)求物体的振动周期；求物体的振动周期； (3)设设t = 0时，弹时，弹 簧无伸缩，物体也无簧无伸缩，物体也无 初速，写出物体的振初速，写出物体的振

5、 动表式。动表式。 M k m 返回结束 R =0 T 2 RT 1 Tbk 2= T 1= Tbk 1= 解：解： 在静平衡时有：在静平衡时有： T 2 T 1 g T 2 m J k m x o b 静平衡位置静平衡位置 gm =0 T 2 = gm b k 返回结束 取静平衡位置为坐标原点取静平衡位置为坐标原点 在任意位置时有：在任意位置时有： = J 2 + k mR 返回结束 J m x o b 静平衡位置静平衡位置 x mg N Mg f 2 2 2 22 22 1 ()(), . 0 d x k xb RmgRmRJ R dt kbmg d xkR x dtmRJ 整体法整体法:

6、 Tbk 1 () + = x JR=T2RT1 取静平衡位置为坐标原点取静平衡位置为坐标原点 J k m x o b 静平衡位置静平衡位置 x 在任意位置时有：在任意位置时有： T 2 T 1 g T 2 m a 2 d x =R 2 dt J 2 + + 2 d x =02 dt kx mR = J 2 + k mR 返回结束 隔离体法隔离体法: 1:一一质质量量 m ，横横截截面面积积 s 的的正正方方体体木木块块，浸浸在在密密度度为为 的的液液体体中中，在在其其上上面面系系一一 弹弹性性系系数数为为 k 的的轻轻质质弹弹簧簧， 木木块块处处于于平平衡衡状状态态时时，弹弹簧簧 为为自自由

7、由长长度度。 （1）证证明明当当木木 块块在在竖竖直直方方向向有有偏偏离离平平衡衡位位 置置的的位位移移后后，木木块块作作简简谐谐振振 动动； （2）求求固固有有频频率率。 2:2:一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动: : x1=0.04cos(2t+/6)mx1=0.04cos(2t+/6)m x2=0.03cos(2tx2=0.03cos(2t- -5/6)m5/6)m 求合振动的振幅和初相位求合振动的振幅和初相位(式中式中 x以以 m计计, t 以以 s 计计) x o x 2 0 2 ()() d x fgs lxkxmggsk xm dt

8、 0 : , gsk gslmg m 注 平衡时是简谐振动 且 = 3:3:质点沿质点沿 X X 轴作简谐振动轴作简谐振动 ， 振幅为， 振幅为 0.10m0.10m， 周期为， 周期为 2s2s， 已知已知 t=0t=0 时，时， 位移位移 x x0 0 =+0.05m =+0.05m，且向，且向 X X 轴正方向运动。轴正方向运动。 (1)(1)写出该质点的振动表达式。写出该质点的振动表达式。 (2)(2)如质点质量如质点质量 m=0.2kgm=0.2kg，求它的总能量。，求它的总能量。 4:4:一质点作简一质点作简 谐振动时的谐振动时的 x- -t t 曲线如图所示。曲线如图所示。 求求

9、: :它的初相它的初相 和振动表达式和振动表达式. . t(s) -0.1 x(m) 2 0 0.05 0 3 () 11 23 , 32012 11 0.01cos() 123 t xt j j A2 A0 x 0 2 :, 3 0.10cos() 3 T xt j 由图可知 2222 11 0.001 22 EkAmAJ x 一质点同时参与两个在同一 直线上的简谐振动: x1=0.04cos(2t+/6)m x2=0.03cos(2t-5/6)m 试求其合振动的振幅和初相 位(式中x以m计, t 以s计) 。 一质点同时参与两个在同一直线上 的简谐振动: x1=0.06cos(5t+/2)

10、 (SI) x2=0.02sin(-5t ) (SI) 它们的合振动的振幅，初相位。 一质量为m的质点作简谐振动时的 x-t曲线如图所示。由图可知，它 的初相为_,t =3 s 时，它 的速率为_. t(s) -0.1 0.1 x(m) 0 4 2 3 1 一质量为m的质点作简谐振动时的 x-t曲线如图所示。由图可知，振 动系统动能的最大值为_, 势能的最大值为_. t(s) -0.1 0.1 x(m) 0 4 2 3 1 有一个和轻弹簧相联的小球，沿x 轴作振幅为A的简谐振动，其表式用余 弦函数表示。若t =0 时，球的运动状态为过平衡位置向x 负方向运动,则 振动表达式为_. 图中用旋转矢

11、量法表示了一个简谐振动，旋 转矢量的长度为 0.04m,旋转角速度=4 rad/s。 此简谐振动以余弦函数表示的振动方 程为 x=_. T=0 x 12 拍频拍频 = 11 x = A cos2t 2 2x = A cost2 x = xx +12 21 211 二、同方向不同频率振动的合成二、同方向不同频率振动的合成 拍拍* 1122 = 2A cos 2() 2 cos tt2 + 2 一种特殊情况一种特殊情况拍现象拍现象 一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。 = k = 1 8 (2k+1) (2k+1) sint + 2 A2A x x t

12、=+ 2 AA xsin t k = 1 8 2k (2k)2-1 cost 2A x t k =1 k k sint 2 A = x (-1)k+1 x t 三三. 振动的分解振动的分解* 常见振动的傅立叶展开 2 4A = x 2 A k =1 8 (2k+1) (2k+1) cost 2 x t = x 2A 4A k =1 2k (2k)2-1 cost x t A = x 2 Ak sint k k =1 x t 15-6 相互垂直谐振动的合成相互垂直谐振动的合成* 一、同时参与两个频率相同的分振动：一、同时参与两个频率相同的分振动： 二、合成后质点的轨迹方程二、合成后质点的轨迹方程

13、 )x 1+=A cos (t 1 j y 2+=A cos ()t 2 j A ( xxyy2 2 22 += AAAA cos() 2 sin 2 12 jj 12 jj 1212 1：21：32：3 第十六章机械波与电磁波第十六章机械波与电磁波 16-1 机械波的产生与传播机械波的产生与传播 1. 波源波源 ， 2. 媒质。媒质。 横波：横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直质点的振动方向和波的传播方向垂直 纵波：纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行质点的振动方向和波的传播方向平行 二、机械波的分类二、机械波的分类 一、产生机械波的条件一、产生机械波的条件 三、媒质的形变三、媒质的形变

14、* 体积变形体积变形拉伸变形拉伸变形剪切变形剪切变形 V=VV V V B p = V V 媒质的体积变形媒质的体积变形 根据实验，应变与应力成正比，即：根据实验，应变与应力成正比，即： 容变模量容变模量 B 对于给定的媒质是一常量对于给定的媒质是一常量 体变模量体变模量B 应变（胁变）应变（胁变） 体积增量体积增量 应力（胁强）应力（胁强） V p p V V p S f = 返回结束 媒质的拉伸变形媒质的拉伸变形 ll ff Y l = S f l 根据虎克定律，应力与应变成正比，即：根据虎克定律，应力与应变成正比，即： 弹性模量弹性模量 Y 对于给定的媒质是一常量对于给定的媒质是一常量

15、S f =应力应力ll应变应变 Y 杨氏弹性模量杨氏弹性模量 返回结束 媒质的剪切变形媒质的剪切变形 应力与应变成正比，即：应力与应变成正比，即： 弹性模量弹性模量 G 对于给定的媒质是一常量对于给定的媒质是一常量 G 切变弹性模量切变弹性模量 qG= S f 应变应变 q 切向应力切向应力 Sf q S f f 返回结束 1.流体流体（气体、液体）（气体、液体） 3.固体固体 u = B u = p RT = Mmol 2.对于理想气体对于理想气体 u = Y 纵波纵波 u = G 横波横波 四、波的传播速度四、波的传播速度* 比热容比比热容比 媒质的密度媒质的密度纵波纵波 = T u l

16、n= ul 1 = T n n= ul ll l nl个个 五、周期、频率、波长、波速之间的关系五、周期、频率、波长、波速之间的关系 返回结束 16-2平面简谐波平面简谐波 波动方程波动方程 一、平面简谐波的波动表达式：一、平面简谐波的波动表达式： x x u y oB =tcosy x u A)(j+ tx T A = cos()2 l j+y t x A = cos()2 l j+ny kx = Acost)(j+y = t +cosy x u A)(j +负方向传播负方向传播 2,1 2,1 2 : k x j l 角波数 负、正符号依次对应正向和负向传播的波。负、正符号依次对应正向和负

17、向传播的波。 二、重要关系式：二、重要关系式： 2 :(0,0) :0,02 : :0,0 2 :2, 2 : At Tt x B k xx Cf T u DuTu f j j jj lj l 正向波 反向波 1. =x1 (常数常数)x 三、波动表达式的物理意义三、波动表达式的物理意义 表示表示 x1 处质点的振动表达式处质点的振动表达式 tt = (常数常数) 1 2.表示在表示在 时刻的波形表达式时刻的波形表达式 t 1 四、波动方程：四、波动方程： ux 2 t = yy 2 22 1 2 五、五、基本要求基本要求 1.知道波动表达式的物理意义及一般形式。知道波动表达式的物理意义及一般

18、形式。 2.能根据已知条件熟练地写出波动表达式。能根据已知条件熟练地写出波动表达式。 3. 熟练地掌握波动相位的变化趋势：熟练地掌握波动相位的变化趋势： a. 随着时间增大，质点的相位也随着增大。随着时间增大，质点的相位也随着增大。 b. 沿着波传播方向各质点的相位逐点减小。沿着波传播方向各质点的相位逐点减小。 * *已知坐标原点的振动表达式，写波动表达式：已知坐标原点的振动表达式，写波动表达式： （1 1）坐标轴上任选一点，求出该点相对参考点的）坐标轴上任选一点，求出该点相对参考点的 振动落后（或超前）振动落后（或超前） 的时间。的时间。 （2 2）将参考点的振动表达式中的）将参考点的振动表

19、达式中的“ “ t ”t ”减去减去 （或加上）（或加上） 这段时间，即为该波的波动表达式。这段时间，即为该波的波动表达式。 （3 3）若有半波损失，则应在位相中再加）若有半波损失，则应在位相中再加 。 * *已知波形曲线写波动表达式：已知波形曲线写波动表达式： 由波形曲线确定波的特征量：由波形曲线确定波的特征量：A A， ，j j 则可写波则可写波 动表达式动表达式（求（求 j j0 0要熟练运用旋转矢量这个工具）要熟练运用旋转矢量这个工具） 注意：建立入射波和反射波的波动表达式时，要用注意：建立入射波和反射波的波动表达式时，要用 同一坐标系和相同的时间起点。同一坐标系和相同的时间起点。 波

20、动表达式建立的方法波动表达式建立的方法（參量有五个（參量有五个） 1: 一一 平平面面简简 谐谐波波在在 t = 0 0 时时 的的波波形形 曲曲线线如如 图图所所 示示，波波速速 u = 0 0. .0 08 8 m/s，试试 写写出出该该波波的的波波动动表表达达式式。 0.2 x/m o y/m 0.4 u 0.04 0.6 0 , , . . A ul j 已知 只需求出 v A y 0 0 1 , 22. 2 cos () 1 0.04cos0.4 (12.5 ) 2 u f x yAt u tx j l j 2:2:一平面简谐波沿一平面简谐波沿 x x 轴正向传播， 波的振幅轴正向传

21、播， 波的振幅 A=10cmA=10cm， 波的圆频率波的圆频率 =7=7rad/srad/s，当，当 t=1.0t=1.0 时，时，x=10cmx=10cm 处的处的 质点正通过其平衡位置向质点正通过其平衡位置向 y y 轴负方向运动，而轴负方向运动，而 x=20cmx=20cm 处的处的 b b 质点正通过质点正通过 y=5.0cmy=5.0cm 点向点向 y y 轴正方向运动。设轴正方向运动。设 该波波长该波波长10cm10cm，求该波的表达式。，求该波的表达式。 12 ,1,1 11 ()2 112 23 , 2320 10 x tx t k j j l 205 1010. 5 12

22、2 6 kk k l 20 24. 5 6 cml 2 (10) 11 10cos7 (1) 10cos7 () 242843 xx ytt A(x =10,t =1) A(x =20,t =1) y 3:3:某机械波的波动表达式为某机械波的波动表达式为 y = = 0.00.05 5 cos(cos(100100t - - 2 2x) (SI),) (SI), 求求: :（1 1）此波的振幅、波速、频率和波）此波的振幅、波速、频率和波 长； （长； （2 2） 质点的最大振动速度和最大振动加速度； （） 质点的最大振动速度和最大振动加速度； （3 3） 某时刻某时刻 x1 1=0.2 m=0

23、.2 m 和和 x2 2=0.7 m=0.7 m 处两质点振动的位相差。处两质点振动的位相差。 4 4: :一一平平面面简简谐谐波波沿沿 X X 轴轴 正正向向传传播播，其其振振幅幅 为为 A A， 频频率率为为，波波速速为为 u u。设设 t t= =0 0 时时刻刻的的波波形形曲曲 线线如如图图 所所 示示 。 求求 : :t t= =0 0. .离离 原原 点点 为为 3 l 处处质质点点的的振振动动相相位位。 x y o 3 l v 0,0 ,0 3 0,0 12 . 2 0 3 l jj j l l ,0 3 211 () 326 l j 11 122 maxmax 0.70.20.

24、70.2 100100 1) 0.05 ,50,50,1 . 22 2) 5 (), 0.25 (). 2 3)()20.5() u Am umsfsm f vAmsaAms xxrad l jjj l 16-3 波的能量波的能量 波的强度波的强度 一、能量密度一、能量密度 1.能量密度能量密度: dV w = dW u Asin() 2 = 22 t x 2.平均能量密度平均能量密度（周期平均）周期平均）w 2 A 22 = 1 二、波的强度二、波的强度 1.能流能流P 2.平均能流平均能流P 3.波的强度波的强度 I （能流密度）（能流密度） P = S w u wP =S u wI =u

25、 1 2 22 u=A 16-5 电磁波电磁波 一、平面电磁波的波动方程一、平面电磁波的波动方程 x E 2 2 E 2 2 t m =e x H 2 2 H 2 2 t m =e E 及及H 是以波的形式在空间传播是以波的形式在空间传播 u = me 1 00 1 C e m v E H 2. E 与与 H 同步变化同步变化 3.电磁波是一横波，电磁波是一横波， 4. 电磁波的偏振性。电磁波的偏振性。 （E 及及H 都在各自的平面内振动。）都在各自的平面内振动。） v E H EH= 1. 且三者成右旋关系。且三者成右旋关系。 E、H、v 两两垂直，两两垂直， v E H 二、电磁波的性质二

26、、电磁波的性质 Ewe 1 2 = 2 Hwm 1 2 = 2 电场能量与磁场能量体密度分别为：电场能量与磁场能量体密度分别为： 电磁场能量体密度为：电磁场能量体密度为： w =wewm +E 1 2 2 H 1 2 = 2 + 三、电磁波的能量三、电磁波的能量 四、坡印廷矢量四、坡印廷矢量(辐射强度矢量辐射强度矢量) S = EH + E H 平均辐射强度平均辐射强度: 00 1 2 SE H 16-6 惠更斯原理惠更斯原理 都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻 一、惠更斯原理一、惠更斯原理 惠更斯原理：惠更斯原理：波动所到达的媒质中各点，波动所到达的

27、媒质中各点， 所有这些子波的包迹便是新的波阵面。所有这些子波的包迹便是新的波阵面。 16-7 波的叠加原理波的叠加原理 一、波的叠加原一、波的叠加原 理理 在几列波相遇的区域中，质点的振动是各列波在几列波相遇的区域中，质点的振动是各列波 单独传播单独传播 时在该点引起的振动的合成。时在该点引起的振动的合成。 二、波的干涉二、波的干涉 1.相干波源：若有两个波源，它们的振动相干波源：若有两个波源，它们的振动 方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两个方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两个 波源为相干波源。波源为相干波源。 rr = 2 2 21 1 ( ) jj l 2.相位差相位差 = 12

28、若：若：则有：则有： jj ) 2 1 = rr ( 2 l 波程差波程差 1 rr 2= kl 波程差波程差r 1 ()r 2 2k 2 =+1 l 干涉加强干涉加强AAA=+ 21 干涉减弱干涉减弱AAA= 21 +2k(1) = ) 2 1 = rr ( 2 l 若若 2k = )2 1 = rr ( 2 l 若若 一对振幅相同的相干波，在同一条直线上，一对振幅相同的相干波，在同一条直线上， 三、驻波三、驻波 (设初相均为零设初相均为零) 沿相反方向传播时，叠加而成的波。沿相反方向传播时，叠加而成的波。 2.波腹位置：波腹位置： 3.波节位置：波节位置： 相邻两波节（或波腹）的距离相邻两

29、波节（或波腹）的距离 1.振幅：振幅： AA x cos = 22 l 2kx = 4 l xx k+1k= 2 l 2k+1 () x =2 2 l 2 x = 2k 2l 2k+1 = )(x 4 l 入射波到达两种媒质分界面时发生入射波到达两种媒质分界面时发生相位突变称为半波损失相位突变称为半波损失 四、半波损失四、半波损失uu 22 11 16-8 多普勒效应多普勒效应 一、波源不动一、波源不动, ,观察者相对于媒质运动观察者相对于媒质运动 r ns n() u u = vr 二、观察者不动二、观察者不动,波源相对于媒质运动波源相对于媒质运动 u s n = vs u () r n +

30、 + r ns n() u = vr uvs 三、观察者与波源同时相对于媒质运动三、观察者与波源同时相对于媒质运动 1 1: : 一一 平平 面面 简简 谐谐 波波 在在原原 点点处处 的的 振振 动动方方 程程为为 y0 0=0 0. .2 2c co os s2t t， 原原点点距距疏疏 密密两两 种种 媒媒 质质的的 界界面面 为为 2 2. .2 25 5 米米，波波速速为为 1 10 00 0m m/ /s s，若若反反射射后后振振幅幅不不变变，求求 反反射射波波引引起起的的 P P 点点的的振振动动方方程程。 2.25 疏 o 1.5 x P u 密 2 2: :在在弹弹性性媒媒质

31、质中中有有一一沿沿 x x 轴轴正正向向传传播播的的平平面面波波，其其 波波动动方方程程为为 y y= =0 0. .0 01 1c co os s( (4 4t t- - x x- -0 0. .5 5) ), ,若若在在 x x= =5 5. .0 00 0m m 处处有有一一媒媒质质分分界界面面，且且在在分分界界面面处处位位相相突突变变，设设反反 射射后后波波的的强强度度不不变变，试试写写出出反反射射波波的的波波动动表表达达式式。 x x1 x2 xP= x1 +x2=4.5-x 4.5 0.2cos2 ()(2.25 ) 100 347 0.2cos2 ()0.2cos(2) 1005

32、0 x ytxm ytt 反 反,x=1.5 0.01cos4(10) 2 0.01cos(410) 2 :,5. ytx tx x 注 仅适应反射波 且 3 3: :如如果果在在固固定定端端处处反反射射的的反反射射波波表表达达式式为为 y y2 2 = = A A c co os s( (t t- -x x/ /) )，设设反反射射波波无无能能量量损损失失， 求求:1)入入射射波波的的表表达达式式， 2) 形形成成的的驻驻波波的的表表达达式式. 4:一一平平面面简简谐谐波波在在弹弹性性媒媒质质中中传传播播，在在某某一一瞬瞬时时， 媒媒质质中中某某质质元元正正处处于于平平 衡衡位位置置， 此此时时它它的的动动能能 _，势势能能_（填填最最大大， 最最小小） 最大最大最大最大 21 cos( )(0), cos( )(0). xx yAtxyAtx ll ox 12 2 cos(2)cos( ). 22 x yyyAt l (21)(),(0,1,2) 4 xkk l 波腹(),(1,2) 2 k xk l 波节 5 5: :波波源源位位 于于同同一一介介质质中中的的A A， B B 二二点点( (如如图图) )， 其其 振振幅幅相相等等， 频频率率均均为为1 10 00 0 H Hz z， B B比比